第十二讲 满秩分解与奇异值分解
第十二讲 满秩分解与奇异值分解 1
一、矩阵的满秩分解 L.定义：设A∈C,m"(>O),若存在矩阵F∈Cm及G∈C,”,使得 A=FG,则称其为A的一个满秩分解。 说明：(1)F为列满秩矩阵，即列数等于秩；G为行满秩矩阵，即行 数等于秩。 (2)满秩分解不唯一。D∈C(r阶可逆方阵)，则 A=FG=F(DD)G=(FDD'G)=FG,且F∈C,m',G∈C” 2.存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩矩阵 证明：采用构造性证明方法。设A∈C,”，则存在初等变换矩阵 E∈C", 2
一、矩阵的满秩分解 1. 定义：设 ( 0) m n AC r r × ∈ > ，若存在矩阵 m r F Cr × ∈ 及 r n G Cr × ∈ ，使得 A FG = ，则称其为 A的一个满秩分解。 说明：（1）F 为列满秩矩阵，即列数等于秩；G 为行满秩矩阵，即行 数等于秩。 （2）满秩分解不唯一。 r r D Cr × ∀ ∈ （r 阶可逆方阵），则 1 1 1 1 A FG F DD G FD D G FG ( ) ( )( ) − − = = = = ，且 1 1 , mr rn FC GC r r × × ∈ ∈ 2. 存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩矩阵 证明：采用构造性证明方法。设 m n A Cr × ∈ ，则存在初等变换矩阵 m m E Cm × ∈ ， 2
G1r行 使EA=B= 其中G∈C 0(m-r)行 将A写成A=EB,并把E分块成E=[F|S],其中 r列(m-r)列 F∈Cm =FG 是满秩分解。 3.Hermite标准形（行阶梯标准形） 3
使 ....... ( ) G r EA B O mr = = − 行 行 ， 其中 r n G Cr × ∈ 将 A写成 1 A EB− = ，并把 1 E− 分块成 [ ] 1 ( ) | r mr EFS − − = 列 列 ，其中 m r F Cr × ∈ . . .... . G A F S FG O ∴ = = 是满秩分解。 3. Hermite 标准形（行阶梯标准形） 3
设B∈Cm"(r>O),且满足 (1) B的前r行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行）， 且第一个非零元素为1，而后(m-r)行的元素全为零（称为 零行)： (2) 若B中第i行的第一个非零元素（即1）在第j,列 (i=1,2,,r),则 方<j2<.<j, (3) 矩阵B的第j列，第j2列，，第j,列合起来恰为m阶单位 方阵Im的前r列（即j2,,j列上除了前述的1外全为0） 则称B为Hermite标准形。 4
设 ( 0) m n BC r r × ∈ > ，且满足 （1） B的前r 行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行）， 且第一个非零元素为 1，而后( ) m r − 行的元素全为零（称为 零行）； （2） 若 B 中 第 i 行的第一个非零元素（即 1 ）在第 i j 列 ( 1,2,..., ) i r = ，则 1 2 ... r jj j < << ; （3） 矩阵B的第 1 j 列，第 2j 列，…,第 rj 列合起来恰为m阶单位 方阵 m I 的前r 列（即 1 2 , ,..., r jj j 列上除了前述的 1 外全为 0） 则称B为 Hermite 标准形。 4
[1200-1 3 0 0102 2 例1B1= 0001-11 ∈C36 为Hermite标准形 000000 L00000 0 5×6 0 0102 0 001 3 B2 也是Hermite标准形 0 0 00 0 00 00 x5 5
例 1 5 6 1 3 5 6 1200 13 0010 2 2 0001 11 0000 0 0 0000 0 0 B C × × − = − ∈ 为 Hermite 标准形 4 5 2 2 4 5 00102 00013 00000 00000 B C × × = ∈ 也是 Hermite 标准形 5
4.满秩分解的一种求法 设A∈Cmx”, (1)采用行初等变换将A化成Hermite标准形，其矩阵形式为 EA=B,其中B为Hermite标准形定义中给出的形状； (2)选取置换矩阵P 1°P的第i列为e,即该列向量除第j,个元素为1外，其余 元素全为零(i=1,2,.,r),其中j,为Hermite标准形中每行第一 个非零元素（即1）所在的列数： 2°其它(n-r)列只需确保P为置换矩阵即可(P的每一行， 每一列均只有一个非零元素，且为1)： 6
4. 满秩分解的一种求法 设 m n A Cr × ∈ ， （1）采用行初等变换将 A化成 Hermite 标准形，其矩阵形式为 EA B = ，其中B为 Hermite 标准形定义中给出的形状； （2）选取置换矩阵 P 1 P的第i列为 i j e ，即该列向量除第 i j 个元素为 1 外，其余 元素全为零( 1,2,..., ) i r = ,其中 i j 为Hermite标准形中每行第一 个非零元素（即 1）所在的列数； 2 其它( ) n r − 列只需确保P为置换矩阵即可（P的每一行， 每一列均只有一个非零元素，且为 1）； 6
3°用P右乘任何矩阵（可乘性得到满足时），即可将该矩阵 的第列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第列 4令P=[I],即R=[eee,]∈C,m r列(n-r)列 (3)令G=B的前r行∈C”,F=AP∈C,则A=FG 明：1=B-[84=1y8-FC G∈C”,G已知，但F=?,当然可以通过求出E,E再将E分块 得到，但这样G就没必要采用Hermite标准形形式，注意到BP= 7
3 用P右乘任何矩阵（可乘性得到满足时），即可将该矩阵 的第 i j 列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第i列 4 令 [ 1 ] ( ) | * r nr P P − = 列 列 ，即 1 2 1 ... r n r j jj r n r P e ee C × × = ∈ （3）令G B = 的前r 行 r n Cn × ∈ ， 1 m r F AP Cr × = ∈ 则 A FG = 证明： G EA B O = = ， [ ] 1 | G A E B F S FG O − = = = 则 m r F Cr × ∈ ， r n G Cr × ∈ ，G 已知，但F = ?，当然可以通过求出 1 E E, − 再将 1 E− 分块 得到，但这样G 就没必要采用 Hermite 标准形形式，注意到 1 r I BP O = ， 7
则-Ea所=51-F 证毕 1230 例2A= 021-1求其满秩分解 1021 解：（1)首先求出A的秩。显然，前两行互相独立，而第三行可由第一 行减去第二行得到，故r=2。 (2)进行初等变换将A化为Hermite标准型。 8
则 [ ] 1 1 1 | r I AP E BP F S F O − = = = 证毕 例 2 123 0 021 1 102 1 A = − 求其满秩分解 解：（1）首先求出 A的秩。显然，前两行互相独立，而第三行可由第一 行减去第二行得到，故r = 2。 (2)进行初等变换将 A化为 Hermite 标准型。 8
1 230.100 [411]= 0 21-1.010(3)-(1+(2) 1021.001 Γ123 0.100 021- 1.010)-(2) 0 000.-111 「1021.1-10 021-1.010 (2)/2 0 000.-1-11 9
[ 3 ] 123 0 .100 | 0 21 1.01 0 102 1 .001 A I = − (3) (1) (2) → − + 123 0 . 1 00 0 21 1. 0 1 0 000 0 . 111 − − (1) (2) → − 102 1 . 1 10 0 21 1. 0 1 0 000 0 . 1 11 − − − − (2) / 2 → 9
10 2 1.1 -1 0 0 11/2 -1/2.0 1/2 0 00 0 0 .-1 11 即 1 -1 0 E= 1/20 -1 11 「102 1 B= 102 17 -1/ 10
10 2 1 . 1 1 0 0 1 1/2 1/2 . 0 1/2 0 00 0 0 . 1 1 1 − − − ， 即 1 10 0 1/2 0 111 E − = − , 10 2 1 0 1 1/2 1/2 00 0 0 B = − , 10 2 1 0 1 1/2 1/2 G = − 10