第九讲矩阵微分方程 1
第九讲 矩阵微分方程 1
一、矩阵的微分和积分 1.矩阵导数定义：若矩阵A(t)=(a(t)mxn的每一个元素a,0是变量1 的可微函数，则称A(t)可微，其导数定义为 (da mxn 由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。 2.矩阵导数性质：若A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵，则 (1) 40±o- dA,dB dt 2
一、矩阵的微分和积分 1. 矩阵导数定义：若矩阵 ( ) ( ( )) At a t = ij m n× 的每一个元素 ( ) ij a t 是变量 t 的可微函数，则称 A t( )可微，其导数定义为 ( ) ij m n dA da A t dt dt × = = ′ 由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。 2. 矩阵导数性质：若 A t( ),B t( )是两个可进行相应运算的可微矩阵，则 （1） [ ( ) ( )] d dA dB At Bt dt dt dt ± =± 2
d dB (2) A(t)B(t)]= dA B dt dt dt A (3) d dt a()A(t)= aA+a dr (4) )加-4 ased）-4sn(国 i(sin(u》=Acos(A0) (A与t无关) 此处仅对d(e”)=Ae=e“A加以证明 dt 证明： 3
（2） [ ( ) ( )] d dA dB At Bt B A dt dt dt = + （3） [ ( ) ( )] d da dA at At A a dt dt dt = + （4） ( ) (cos sin ( )) ( ) d d tA tA tA e Ae e A tA A tA dt dt = = = − (sin cos ( )) ( ) d tA A tA dt = (A 与 t 无关) 此处仅对 ( ) d tA tA tA e Ae e A dt = = 加以证明 证明： 3
品e)-+++5+)4++f =A1+A+2A+)=Ae 21 又=(U+A++A=e4A 21 3.矩阵积分定义：若矩阵A(t)=(a,(t)mn的每个元素a(t)都是区间 [to,t]上的可积函数，则称A(t)在区间[t,t]上可积，并定义A(t)在 [to,4]上的积分为 aoh-ona）nn 4.矩阵积分性质 4
1 1 22 33 2 23 1 () ( ) 2! 3! 2! d d tA e I tA t A t A A tA t A dt dt = + + + + =+ + + 1 2 2 ( ) 2! tA = ++ + = A I tA t A Ae 又 1 2 2 ( ) 2! tA =++ + = I tA t A A e A 3. 矩阵积分定义：若矩阵 ( ) ( ( )) At a t = ij m n× 的每个元素 ( ) ij a t 都是区间 0 1 [,] t t 上的可积函数，则称 A t( )在区间 0 1 [,] t t 上可积，并定义 A t( )在 0 1 [,] t t 上的积分为 ( ) 1 1 0 0 ( ) ( ) t t ij t t a t dt m n A t dt = × ∫ ∫ 4. 矩阵积分性质 4
(1)∫[A0)±B0]t=A0d±B0d (2 LA()B-di)B.Bdi (3) aAd=M.广4h=4o-A回 二、一阶线性齐次常系数微分方程组 设有一阶线性齐次常系数微分方程组 5
（1） 1 1 1 0 0 0 [ ( ) ( )] ( ) ( ) t t t t t t A t B t dt A t dt B t dt ±= ± ∫ ∫∫ （2） ( ) ( ) 1 11 1 0 00 0 [ ( ) ] ( ) , [ ( )] ( ) t tt t t tt t A t B dt A t dt B AB t dt A B t dt = = ∫ ∫∫ ∫ （3） ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) t b a a d A t dt A t A t dt A b A a dt ′′ ′ = = − ∫ ∫ 二、 一阶线性齐次常系数微分方程组 设有一阶线性齐次常系数微分方程组 5
=a0+a20++ar.0 dt 2=0+anx0++a0 d =a0+a2,)+…+a0 式中1是自变量，x,=x,(t)是t的一元函数(i=1,2,…,n), a,(i,j=1,2,…,n)是常系数。 令 6
1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 11 2 2 () () () () () () () () () n n n n n n n nn n dx axt ax t ax t dt dx axt ax t a x t dt dx axt a x t a x t dt = + ++ = + ++ = + ++ 式中 t 是自变量， ( ) i i x xt = 是 t 的一元函数( 1,2, , ), i n = ( , 1,2, , ) ij a ij n = 是常系数。 令 6
d42 x()=[x(t),x2(t),…,xn(t)],A= 021 02 02n an2 则原方程组变成如下矩阵方程 奇 其解为 x(t)=e"x(0)=e"c 更一般的 >x(t)=e-64x(to) 对该解求导，可以验证 7
T 1 2 ( ) [ ( ), ( ), , ( )] n xt x t x t x t = ， 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn aa a aa a A aa a = 则原方程组变成如下矩阵方程 ( ) dx Ax t dt = 其解为 ( ) (0) tA tA xt e x e c = = → 更一般的 0 ( ) 0 () ( ) tt A xt e xt − = 对该解求导，可以验证 7
0=4ec=A0且t=0时，x(0)=e4c=lc=c=x0) dt 表明x()确为方程的解，积分常数亦正确。 d二 例：求解微分方程组 dt 初始条件为 d2二一1 dt 解4[日小=4→a- 8
( ) ( ) dx t tA Ae c Ax t dt = = 且t = 0时， 0 ( ) (0) A x t e c Ic c x = = = = 表明 x(t)确为方程的解，积分常数亦正确。 例：求解微分方程组 1 2 2 1 dx x dt dx x dt = = − ， 初始条件为 1 1 2 2 (0) (0) x r x r = 解： 0 1 1 0 A = − ， ( ) tA fA e = → ( ) t f e = λ λ 8
1°求出A的特征多项式，() =(22+1)=(2-元+)， j=√-1 2=j,m1=1入2=-j,m2=1 2°定义待定系数的多项式g(2)=c0+c2 3°解方程 g()=f()-el=cost+jsint=co+je g()=f()=e=cost-jsint=co-jc Co=cost c sint 40 9
o 1 求出 A 的特征多项式， 1 2 ( ) ( 1) ( )( ) 1 j j − = = += − + λ ϕ λ λ λ λ λ ， j = −1 1 12 2 λ λ = = =− = jm jm , 1; , 1 o 2 定义待定系数的多项式 0 1 g cc ( ) λ λ = + o 3 解方程 1 1 0 1 2 2 0 1 ( ) ( ) cos sin ( ) ( ) cos sin jt g f e t j t c jc jt g f e t j t c jc = = = + =+ − = = = − =− λ λ λ λ 0 1 cos sin c t c t = = o 4 9
w-ow-[g[a,-[ =f(4)=e4 n-月Hg- 三、一阶线性非齐次常系数微分方程组 10
0 1 cos 0 0 sin cos sin ( ) 0 cos sin 0 sin cos ( ) t t tt g A cI cA t t tt tA fA e =+= + = − − = = 11 2 1 22 1 2 cos sin cos sin ( ) ( ) (0) sin cos cos sin ( ) t t r r t r t xt tA xt e x t t r r t r t xt + = = = = − − 三、 一阶线性非齐次常系数微分方程组 10
