第十四讲 Penrose广义逆（Π)
第十四讲 Penrose 广义逆（Π） 1
一、{1}-逆与{1,2}-逆 定理1：设Y,Z∈AI},则YAZ∈A1,2 证：已知AYA=AZA=A故 (①A(YAZA=AZA=A; (ii） (YAZ)A(YAZ)=YAYAZ-YAZ. 定理2：给定矩阵A及Z∈A{1},则Z∈A{1,2}的充要条件是 rankA=rankZ 证：必要性.Z∈A{1,2}则 (①AZA=A; (ii)ZAZ=Z →A∈Z{1,2 而由rankA()≥rankA可知rankZ≥rankA,rankA≥rankZ 2
一、{1}-逆与{1,2}-逆 定理 1： 设 Y , Z ∈A{1}, 则 YAZ∈A{1,2}. 证 ：已知 AYA = AZA = A 故 (i) A(YAZ)A = AZA = A ; (ii) (YAZ)A(YAZ)=YAYAZ=YAZ . 定理 2：给定矩阵 A 及 Z∈A{1} ，则 Z∈A{1,2}的充要条件是 rankA rankZ = 证 ：必要性. Z∈A{1,2} 则 (i) AZA=A; (ii) ZAZ=Z →A∈Z{1,2} 而由 rankA(1) ≥rankA 可知 rankZ≥rankA , rankA≥rankZ 2
→rankZ=rankA 充分性. 因为R(ZA)sR(Z),而rankZ=rankA,Z∈A{I} rank(ZA)=rank(A)=rank(Z) →R(ZA)=R(Z Ve∈Cm,3u∈C",使ZAu=Ze →ZA[u1u2…um]=Z[ee2…enm] 令[ee2…em]Hlm,[h42…um]=U(4,=n维，e,=m维) →3U使Z=ZAU 故 ZAZ-ZA(ZAU)-ZAU-Z →Z满足Penrose方程(i) 可见，Z∈A1,2} 二、{1}-逆与{1,2,3}-逆、{1,2,4}-逆 3
⇒rankZ=rankA 充分性. 因为 R(ZA)⊆R(Z) , 而 rankZ=rankA , Z∈A{1} 故 rank(ZA)=rank(A)=rank(Z) →R(ZA)=R(Z) ∀e∈C m , ∃u ∈Cn ,使 ZAu =Ze → ZA[ 1 u 2 u m u ]＝Z[ 1 2 m ee e ] 令 [ 1 2 m ee e ]=I m , [ 1 u 2 u m u ]=U ( i u =n 维， j e ＝m 维) ⇒ ∃U 使 Z=ZAU 故 ZAZ=ZA(ZAU)=ZAU=Z →Z 满足 Penrose 方程(ii) 可见 , Z∈A{1,2}. 二、{1}-逆与{1,2,3}-逆、{1,2,4}-逆 3
引理：对任意m*n阶矩阵A均有rank(AHA)=rankA=rank(AAH) 证：Hx∈N(A),即Ax=O,则AHAx=0→N(A)CN(AHA) 另一方面Vx∈N(AHA),则 xHAH Ax=-0=(Ax)(Ax)→Ax=0→N(AHA)∈N(A) N(AHA)=N(A),又AHA与A的列数均为n, dimN(A)-n-rankA,dim N(4 A)=n-rank(44) →rank(AHA)=rankA. A←→AH,则rank(AAH)=rank A=rankA 定理3： 给定矩阵A,则Y=(AHA)0AH∈A{1,2,3} 4
引理：对任意 m*n 阶矩阵 A 均有 rank(AH A) = rankA = rank(AA H ) 证： ∀ x∈N(A) , 即 A x =0 , 则 A H A x =0 →N(A)⊆N(A H A) 另一方面 ∀ x∈ ( ) H NAA ，则 H H x A Ax=0＝( ) H Ax ( Ax) ⇒ Ax = 0 → ( ) ( ) H NAA NA ⊆ ( ) ( ) H ∴ = NAA NA ，又 H A A与 A 的列数均为 n , dimN(A)=n－rankA , dim ( ) H NAA =n－rank( ) H A A ⇒ rank( ) H A A ＝rankA . A H ↔ A , 则 rank( ) H AA =rank H A =rankA. 定理 3： 给定矩阵 A , 则 Y= (1) ( ) H H AA A ∈A{1,2,3} 4
Z=A(AAH)0∈A{1,2,4} 证：显然R(AHA)CR(AH),又由引理可知R(AHA)=R(A), 即存在U使AH=AHAU→A=UHAH A (i) AYA=(UH AH A)[(AHA)0AH]A=UHAA=A满足()→Y∈A{I 可见rankY≥rankA 但ankY=ank(AA)PA"）s rank=-rankA. 即rankY=rankA. →Y∈A{L,2} AY=(UHAA)(AA)A"=UHAA(AA)A"AU =U (AHAU=(AY) 5
Z= (1) ( ) H H A AA ∈A{1,2,4} 证：显然 R( ) H A A ⊆R( H A ) , 又由引理可知 R( ) H A A ＝R( H A ) ， 即存在 U 使 H A ＝ H A AU → A= H H U AA AYA=( H H U AA)[ H (1) H (A A) A ]A ( )i = H H U AA=A 满足(i) →Y∈A{1} 可见 rankY≥rankA 但 rankY＝rank(( ) ) (1) H H AA A ≤ rank H A =rankA. 即 rankY＝rankA. →Y∈ A{1,2} AY=( H H U AA) (1) ( ) H H AA A = H H U AA (1) ( ) H H AA A AU = H U ( ) H A AU = ( ) ( ) H AY 5
→Y∈A{3} 综合之，即Y∈A{1,2,3} 同理可证另式。 三、关于A 定理4：给定矩阵A,A什=A1,4)A41,3) 证：(I)油定理1知，A,)AA,)=X∈A{1,2} 2AX-4444343)(440)"(4X) (③)XA=A,利AA)A=A4,A二(A,A0H=(X4)” →X∈A{1,2,3,4}=A 6
⇒ Y∈ A{3} 综合之，即 Y∈A{1,2,3} 同理可证另式。 三、关于 A+ 定理 4：给定矩阵 A , A+ = (1,4) A (1,3) AA 证：(1)由定理 1 知 ， (1,4) A (1,3) AA ∆ = X∈A{1,2} (2) AX= A (1,4) A (1,3) AA i = (1,3) AA iii = ( (1,3) AA ) H =( ) H AX (3) XA= (1,4) A (1,3) AA A i = (1,4) A A iv = ( ( ) (1,4) ) H H A A XA = ⇒ X∈A{1,2,3,4}= + A 6
定理5：给定矩阵A,则 (1)rank 4"=rankA (2)(A)=A (3)(AH)=(A)H,(A)=(A)H (4)(AA)=4(4)(A4)=(4)A (5)A=(AA)A=A(AA) (6)R(A)=R(A),N(A)=N(A) 证：(I)A∈A{L,2}→rank A'=rankA (2)Penrose方程中（①←→(ii,(ii)←→(iv)互为对称 故 (A)=A 7
定理 5： 给定矩阵 A，则 (1) rank A+ =rankA (2) ( ) A+ +=A (3) ( ) H A + =( )H A+ , () () T T A A + + = (4) ( ) () H H AA A A ++ + = , ( )() H H AA A A + ++ = (5) () () H HHH A A A A A AA ++ + = = (6) ( ) ( ), ( ) ( ) H H RA RA NA NA + + = = 证：(1) A+ ∈A{1,2} → rank A+ =rankA (2) Penrose 方程中 (i)↔(ii), (iii)↔(iv) 互为对称 故 ( ) A+ +=A. 7
(3) 直接采用四个方程验证即可。 (4) 同上。 (5) 证X=(AH)AH，由定理3知X∈A{1,2,3},且 XA=(AA)AA=((AA)AA)=(XA) 个 (4A)当然是(A”A) →X∈A{1,2,3,4 另式同理可证。 (5) (6)R(A)=R(A"(A4))R(4) 8
(3) 直接采用四个方程验证即可。 (4) 同上。 (5) 证 X=( ) H H AA A+ , 由定理 3 知 X∈A{1,2,3} ,且 XA=( ) (( ) ) ( ) H H H HH H A A A A A A A A XA + + = = ↑ ( ) H A A + 当然是( ) (4) H A A ⇒X∈A{1,2,3,4} 另式同理可证。 (6) R( A+ ) (5) = R( ( ) H H A AA + )⊆R( H A ) 8
N(A)=N((A)*N(A),rank 4*=rankA=rank 4 .R(A)=R(A)N(A)=N(4) 推论1：若A∈CW”(列满秩矩阵)，则A+=(AHA)AH A∈C”(行满秩矩阵)，则A=AH(AAH)1 推论2：对非零列向量a,a*=(a”a)a“; 对非零行向量B,B*=B“(BB"):aHα，BB"均为数。 A,B可逆，则(AB)=BA,但一般(AB)≠BA 年4-日a-na9] 9
N( A+ )= (( ) ) H H N AA A+ ⊇ N( H A ) ,而 rank A+ =rankA＝rank H A ∴ R( A+ )=R( H A ) ,N( A+ )=N( H A ) 推论 1：若 m n A Cn × ∈ (列满秩矩阵) ，则 H 1H ( ) + − A AA A = m n A Cm × ∈ (行满秩矩阵) ，则 H H1 ( ) + − A A AA = 推论 2： 对非零列向量 α ，α+ ( ) 1 H H αα α − = ； 对非零行向量 β ， β+ ( ) 1 H H β ββ − = ； , H H α α ββ 均为数。 A,B 可逆，则 1 11 ( ) AB B A − −− = ,但一般( ) AB B A + ++ ≠ 如 A = [1 0], 1 1 B = , AB = [1], BA= 1 0 1 0 9
uw.4-日B-[及引B-[ 四、广义逆的计算 1、由Hermite标准形求{1-逆 任何矩阵都可由初等行变换化为Hermite标准形。设A∈Cmx",存 在满秩矩阵E∈Cmm,使EA=B(Hermite标准形)，采用置换矩阵P: P=[e,e%…|其它e,]m 10
( ) AB + =[1] , 1 0 A+ = , 1 1 2 2 B+ = , 1 2 B A+ + = 四、广义逆的计算 1、由 Hermite 标准形求{1}-逆 任何矩阵都可由初等行变换化为 Hermite 标准形。设 m n A Cr × ∈ ，存 在满秩矩阵 m m E Cm × ∈ ，使EA B = （Hermite 标准形）,采用置换矩阵P： 1 2 | l l i n n Pee e × = 其它 0 0 r I K EAP = 10
