第七讲矩阵级数与矩阵函数
第七讲 矩阵级数与矩阵函数 1
一、矩阵序列 1.定义：设有矩阵序列{A},其中A=(a),且当k→oo时 a→a,则称{A}收敛，并把A=(a)叫做{4}的极限，或称 {A}收敛于A,记为 limA=A或A)→A k-oc 不收敛的矩阵序列则称为发散的，其中又分为有界和无界的情况。 对于矩阵序列{A},若存在常数M>0,使得对一切k都有 a<M 则称{4}为有界的。 2
一、 矩阵序列 1. 定义: 设有矩阵序列{ } ( ) k A , 其中 ( ) () () k k A a = ij , 且当 k → ∞ 时 ( ) k ij ij a a → , 则称{ } ( ) k A 收敛, 并把 A a = ( ij) 叫做{ } ( ) k A 的极限, 或称 { } ( ) k A 收敛于 A, 记为 ( ) lim k k A A →∝ = 或 ( ) k k A A →∝ → 不收敛的矩阵序列则称为发散的，其中又分为有界和无界的情况。 对于矩阵序列{ } ( ) k A ，若存在常数M > 0，使得对一切 k 都有 ( ) k ij a M< 则称{ } ( ) k A 为有界的。 2
2.收敛矩阵序列的性质： 设{4}，{B}分别收敛于A,B则 ()aA+BB之aA+BB (2)A)B)→AB (3)若(A),A存在，则()→A (4)PAQ→PAg 3收敛矩阵的定义：设A为方阵，若当k→∝时A→0，则称A为收敛 矩阵。 3
2. 收敛矩阵序列的性质: 设 { } ( ) k A ,{ } ( ) k B 分别收敛于 A,B则 (1) () () k k k A B AB →∝ α β αβ + →+ (2) () () k k k A B AB →∝ → (3) 若 () 1 1 ( ), k A A − − 存在，则 () 1 1 ( ) k k A A − − →∝ → (4) ( ) k k PA Q PAQ →∝ → 3 收敛矩阵的定义: 设 A为方阵,若当k →∝时 0 k A → , 则称 A为收敛 矩阵。 3
[定理]方阵A为收敛矩阵的充要条件是A的所有特征值的模值均小于 1. 证明：对任何方阵A,均存在可逆矩阵P，使得 A=PJP- 其中J为A的Jordan标准形 TA 1 0 J2 ，J 2 0
[定理] 方阵 A为收敛矩阵的充要条件是 A的所有特征值的模值均小于 1. 证明: 对任何方阵 A,均存在可逆矩阵P, 使得 1 A PJP− = 其中 J 为 A的 Jordan 标准形 1 2 s J J J J = , 1 0 1 0 i i i i J = λ λ λ 4
「J Ak=PJKP-=P J P-1 2k2 k! … (m,-1)(k-m,+1)川 J= 。 当k>m A→0就等价于J→0(i=1,2,S),等价于2→0(i=1,2,,)
1 1 1 2 k k k k k s J J A PJ P P P J − − = = 1 1 ! ... ( 1)!( 1)! , i k k k m i i i i i k i k k m km J − − + − −+ = λ λ λ 当 i k m> 0 k A → 就等价于 0( 1,2,..., ) k i Ji s → = , 等价于 0( 1,2,..., ) k i λ → =i s , 5
而这只有2<1才可能也必能。 [得证] 二、矩阵级数 1.定义：矩阵序列{A}的无穷和A仙+A2+…+A)+…叫做矩阵 级数，记为2A山。而S=之4称为其部分和，若矩阵序列 k=1 k=1 {S}收敛，且有极限S,则称该矩阵级数收敛，且有和S.记为 00 S=∑A k=1 不收敛的矩阵级数称为是发散的。 6
而这只有 1 λi < 才可能也必能。 [得证] 二、 矩阵级数 1.定义: 矩阵序列{ } ( ) k A 的无穷和 (1) (2) ( ) k AA A + ++ + 叫做矩阵 级数, 记为 ( ) 1 k k ∞ = ∑A 。而 ( ) () 1 N N k k S A = = ∑ 称为其部分和, 若矩阵序列 { } ( ) N S 收敛,且有极限S , 则称该矩阵级数收敛,且有和S . 记为 ( ) 1 k k ∞ = S A = ∑ 不收敛的矩阵级数称为是发散的。 6
若矩阵级数∑A)的所有元素∑α均绝对收敛，则称该级数为绝 k=1 k=1 对收敛。 2.绝对收敛矩阵级数的性质 (1) 绝对收敛矩阵级数一定收敛，且任意调换它的项所得的级数仍收 敛，且其和不变。 (2)】 四绝对收敛，则吃P4Q也绝对收敛且等于P2AQ。 k=1 k=1 (3) ∑A,∑B均绝对收敛，且和分别为SS,则 k=1 7
若矩阵级数 ( ) 1 k k A ∝ = ∑ 的所有元素 ( ) 1 k ij k a ∝ = ∑ 均绝对收敛,则称该级数为绝 对收敛。 2. 绝对收敛矩阵级数的性质 (1) 绝对收敛矩阵级数一定收敛，且任意调换它的项所得的级数仍收 敛,且其和不变。 (2) ( ) 1 k k A ∝ = ∑ 绝对收敛，则 ( ) 1 k k PA Q ∝ = ∑ 也绝对收敛且等于 ( ) 1 k k P AQ ∝ = ∑ 。 (3) ( ) 1 k k A ∝ = ∑ , ( ) 1 k k B ∝ = ∑ 均绝对收敛,且和分别为 1 2 S S, 则 7
2空4)=S的 i-1 三、方阵的幂级数 A为方阵，∑c4,(4°=D称为A的幂级数. ∑A称为A的 k=0 Neumann级数。 l.Neumann级数收敛的充要条件 [定理]Neumann级数收敛的充要条件是A为收敛矩阵，且在收敛时其和 为(I-A)。 证明：[必要性] 8
() ( 1 ) 1 2 1 1 ( ) k i ki k i A B SS ∝ + − = = ∑ ∑ = 三、 方阵的幂级数 A为方阵, 0 0 ,( ) k k k cA A I ∝ = ∑ = 称为 A的幂级数. 0 k k A ∝ = ∑ 称为 A的 Neumann 级数。 1. Neumann 级数收敛的充要条件 [定理] Neumann 级数收敛的充要条件是 A为收敛矩阵,且在收敛时其和 为 1 ( ) I A − − 。 证明: [必要性] 8
级数∑A心收敛，其元素为 k=0 6+(A+(42)+(A)+… 显然也是收敛的.作为数项级数，其通项趋于零是级数收敛的必要条 件。故 (4)之0，即A之0 也就是说A为收敛矩阵。 [充分性] A为收敛矩阵，则其特征值的模值均小于1。设A的特征值为入， 9
级数 0 k k A ∝ = ∑ 收敛, 其元素为 2 3 () ( ) ( ) δ ij ij ij ij ++ + + AA A 显然也是收敛的. 作为数项级数, 其通项趋于零是级数收敛的必要条 件。 故 () 0 k ij k A →∝ → ，即 0 k k A →∝ → 也就是说 A为收敛矩阵。 [充分性]: A为收敛矩阵, 则其特征值的模值均小于 1。 设 A的特征值为λ , 9
(I-)的特征值为4.则由 det(ul-(1-A))=det((u-1)1+A)=(-1)"det((1-)I-A) 可见1-4=2→4=1-九 故0<4<2→4≠0，(I-A)的行列式不为零，(I-A)存在 (I+A+A2+.+(I-A)=I-4+ 右乘(I-A)得 I+A+A2+.+A=(I-A+1I-A) 当k→c时，A+→0，故A+(I-A)→0.所以 ∑A=lim∑A=(1-A0 kC i=0 i=0 10
( ) I A − 的特征值为µ. 则由 det( ( )) det(( 1) ) ( 1) det((1 ) ) n µµ µ I IA IA − − = − + =− − −I A 可见1 1 − = → =− µλ µ λ 故020 < <→ ≠ µ µ , ( ) I A − 的行列式不为零, 1 ( ) I A − − 存在. 而 2 1 ( ... )( ) k k I AA A IA IA + + + + + − =− 右乘 1 ( ) I A − − 得 2 1 1 ... ( )( ) k k I AA A IA IA + − ++ ++ = − − 当k →∝时, 1 0 k A + → , 故 1 1 ()0 k A IA + − − → . 所以 1 0 0 lim ( ) k i i k i i A A IA ∝ − →∝ = = ∑ ∑ = = − 10