上海交通大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第八章 拉普拉斯变换（Laplace变换）

上降文通大￥ SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 第八章Laplace变换 上海交通大学数学系唐异垒 漏 v 长6州 SHANG 1日

第八章 Laplace变换 上海交通大学数学系 唐异垒

上游究通大学 §8.1 Laplace变换的概念 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY t At)u(t)e-or t FIf(Du(i)e-f(t)ed =5"f()erdt （p=+i

t f(t) O t f(t)u(t)e-st O §8.1 Laplace变换的概念 ( ) 0 [ ( ) ( ) ] ( ) t i t F f t u t e f t e dt s s   - -      0 ( ) pt f t e dt p i s   -    

上游充通大学 8.1.1 Laplace变换的定义 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 设f(t)是[0，+o)上的实（或复）值函数，若对复数 p=o+io,F(p)=。f(t)edtp平面的某 一区域内收敛，则称其为f(t)的Laplace变换，记为 [f)Ip)=。f()edt. f(t)称为F(p)的Laplace逆变换，记为f(t)=卫'[F(p)川 F(p)称为像函数，f(t)称为原像函数

8.1.1 Laplace变换的定义 1 ( ) ( ) Laplace ( ) [ ( )] ( ) ( ) . f t F p f t F p F p f t - 称为 的 逆变换，记为  称为像函数， 称为原像函数 L

上游充更大警 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 定义（指数级函数）： 对实变量的复值函数f(t),若存在M>0及实数o。,使得 f(t)≤Me,∀t≥0 则称f()为指数级函数，o称为增长指数 例如： u(t)≤1e,M=l,o。=0; e≤1eRc,M=L,。=Rek sin ket≤1e,M-l,o。k5 t≤nle,M=n,o。=l. 非指数级函数，如 /2 e

定义(指数级函数)： 则称 为指数级函数， 称为增长指数 对实变量的复值函数 若存在 及实数 使得 c t c f t f t Me t f t M c s s s ( ) ( ) , 0 ( ), 0 ,     例如： Re  | | 1 , 1, Re ; sin 1 , 1, | |; ! , !, 1. kt k t c k t c n t c e e M k kt e M k t n e M n s s s               非指数级函数，如 . 3 / 2 t e 0 ( ) 1 , 1, 0; t c u t e M s     

上浒充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSIT 8.1.2 Laplace变换存在定理 设f(t), t≥0满足： ●f(t)在t≥0的任一有限区间上分段连续： ●f(t)是指数级函数（增长指数为o) 则在半平面Rep=o>o内必存在f(t) 的Laplace变换F(p)=。f(t)e'd,且积分 绝对收敛，函数F(p)解析

( ) ( ) 0 ( ) ( ) c f t f t t f t s     设 ， t 0满足： 在 的任一有限区间上分段连续； 是指数级函数 增长指数为 ； 8.1.2 Laplace变换存在定理 0 Re ( ) Laplace ( ) ( ) , ( ) . c pt p f t F p f t e dt F p s s  -     则在半平面 内必存在 的 变换 且积分 绝对收敛，函数 解析

上游充通大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 证明：（积分的绝对收敛性） 设f(t)≤Me→ F(p≤fed≤0Me'eo"dt -Meo-加 0-0c 0 M -0。 (Rep=o>o.). 注：当f()满足定理条件时，limF(p)=0. Rep→+o0

证明：   ( ) 0 0 ( ) = Re . c t c c t M e dt c c M p M e s s s s s s s s s s   - - - -     - -  - (积分的绝对收敛性） Re ( ) lim ( ) 0. p f t F p  注： 当 满足定理条件时，  ( ) c t f t Mes 设   0 0 ( ) ( ) c pt t t F p f t e dt Me e dt s s   - -    

上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (F(p)的解析性)： 在Laplace?变换式的积分号内对p求导，则 acla=foean 而|-tf(t)e-pMie-(Rep-.r →[0e]≤Mema Rep=o>Gc) M (Re p-o) nrp)5fme= roe--aea1=40 像函数的微分性质

0 0 (Re ) d ( ) e d ( ) e d , d p | ( ) e | e . c pt pt p t p t f t t tf t t tf t Mt s   - - - - -    -   -    而 R e  (Re ) 2 0 0 d ( ) e d e d . d (Re ) c c p p t p t c M f t t Mt t p p s s s s     - - -        -   (F(p)的解析性): 0 0 d [ ( ) e ]d ( ) e d [ ( )]. d pt pt f t t tf t t L tf t p   - -   -  -   在Laplace变换式的积分号内对p求导, 则 --- 像函数的微分性质 0 d d ( ) ( )e d d d pt F p f t t p p  -   

上浒充通大警 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 注1：增长指数不唯一 记o是使f(t)≤Me(付t≥0)成立的最小的 增长指数，则称其为收敛坐标，称Rep=o为 收敛轴，F(p)在Rep=o>o内解析. 注2：若L[f(t)]=F(p),o是F(p)的所有奇点的 实部的最大值，则σ为收敛坐标

  实部的最大值，则 为收敛坐标 若L 是 的所有奇点的 0 0 ( ) ( ), ( ) s 注2： f t  F p s F p   ( ) Re . Re ( ) 0 0 0 0 收敛轴， 在 内解析 增长指数，则称其为收敛坐标，称 为 记 是使 成立的最小的 s s s s s       F p p p f t Me t t c 注1：增长指数不唯一

上海充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSIT 8.1.3常用函数的Laplace变换 十00 Iclu()]=eMd=-Lem 4月 e(k-p) 1+0 2-eera-1d k-p 1 (Rep>Rek)

8.1.3 常用函数的Laplace变换   1 1 p 或记L      0 0 1 1 1. ( ) Re 0 pt pt u t e dt e p p p   - -   -    L ( ) ( ) 0 0 0 2. k p t kt kt pt k p t e e e e dt e dt k p  -   - -        -   L   1 Re Re p k p k   -

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               p k  p k p k t p k p k k k t p k p k p k t p k p k k k t cosh Re Re sinh Re Re cos Re Im 3. sin Re Im , 2 2 2 2 2 2 2 2  -   -        L L L L