上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY §5.2留数理论的应用
§5.2 留数理论的应用
上降充通大 b SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 用留数计算实积分「f(x)dx(a,b∈R步骤： a 1.f(z)=f(x),z∈R即实函数←→复函数。 2.变定积分为回路积分一部分。)在回路1上连续，在1 所围绕的区域内只有有限个奇点。 5e)k寸ra+人fe2 a b 3.利用留数定理，计算f)在所围绕的区域内奇点的 留数和
2.变定积分为回路积分一部分。f(z)在回路l上连续，在l 所围绕的区域内只有有限个奇点。 0 a 1 b l 2l ∫ ∫ ∫ = + 2 ( ) ( ) ( ) l b a l f z dz f x dx f z dz 用留数计算实积分∫ f x x a b∈R)步骤： b a ( )d ( , 1. f (z) = f (x), z ∈R. 即实函数 ↔ 复函数。 3. 利用留数定理，计算f(z)在l所围绕的区域内奇点的 留数和
上降充通大学 1.形如 R(coso,sin0)do 的积分， SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 其中R(cos(0),sin(O)为cos(0)与sin(O)的有理函数， 在(0,2π)上连续 :e则m0方e-e-w0c- 2z →Rcos0,sin)d0=艇 z2+12-1 =1 22 2iz z=1 =2πi∑Res[f(a),2] k=1 其中z(k=1,2,n)为单位圆盘z<1内的f(z)的 孤立奇点
∫ 2π 0 R(cosθ,sinθ )dθ 2 2 1 11 1 e , sin (e e ) , cos (e e ) 2 22 2 i i i z z i i z i iz z θ θ θ θ θ θ θ − − − + 令 = = −= = += 则 2 0 2 2 ||1 ||1 1 1d (cos ,sin )d , ( )d 2 2 z z zz z R fz z z iz iz R π θ θθ = = + − ⇒= = ∫ 蜒∫ ∫ 1.形如 的积分, 其中zk(k=1,2,...,n)为单位圆盘|z|<1内的f(z)的 孤立奇点. 1 2 π Res[ ( ), ] n k k i fz z = = ∑ R(cos( ),sin( )) cos( ) sin( ) θθ θ θ π 其中 为 与 的有理函数， 在(0,2 )上连续
上降充通大学 例计算十= SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 2π cos 20 1-2pcos0+p2 d8(0<p<1) 解：由于0<p<1,被积函数的分母在0≤2π内不为零， 因而积分存在.由于 c0s20=(e2104e-2i0/2=(z2+z2)/2,因此 2 I= +z2 1 2 z=1 1-2p 2+2 2 iz 2 +p 1+z4 2iz(1-pz)(z-p) z=f(a)dz 、( z=1
解: 由于0<p<1, 被积函数的分母在0≤θ≤2π内不为零, 因而积分存在. 由于 cos2θ=(e2iθ+e−2iθ )/2=(z2+z−2)/2, 因此 2 2 0 cos 2 : d (0 1). 1 2 cos I p p p π θ θ θ = < < − + 例 计算 ∫ 2 2 1 2 ||1 1 d 2 1 2 2 z z z z I z z iz p p − − = + =⋅ ⋅ + −⋅ + ∫ 4 2 ||1 ||1 1 d ( )d 2 (1 )( ) z z z z fz z iz pz z p = = + = = − − ∫ ∫
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 被积函数三个极点z=0,p,1p只有前两个在圆周z=1 内，其中z=0为二阶极点，2=p为一阶极点. ( 1+z4 2iz2(1-pz)(z-p) lim (z-pz2-p+p2z)4z3-(1+z4)1-2pz+p2) z-→0 2i(z-pz2-p+p2z) 1+p2
被积函数三个极点z=0, p, 1/p只有前两个在圆周|z|=1 内, 其中z=0为二阶极点, z=p为一阶极点. , 2 1 2 ( ) ( )4 (1 )(1 2 ) lim 2 (1 )( ) 1 d d Res[ ( ),0] lim 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2 0 2 4 2 0 ip p i z pz p p z z pz p p z z z pz p iz pz z p z z z f z z z + = − − − + − − + − + − + − − + = ⋅ → →
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 计算I= 2π0 解：令0= 2π9 →I= 、d (5-3sin0 令z=ei0→I=- iz11(3z-)2(z-30) -dz i 被积函数在z<内只有一个二阶极点：z= -3 1-2mee-2a6)Aa
例 3 ∫ − Ι = α ϕ α πϕ 0 2 2 5 3sin 1 计算 d ( ) ∫ − = ⇒ Ι = π θ π θ α α πϕ θ 2 0 2 5 3sin 1 2 2 令 d ∫ = − − = ⇒ Ι = − 1 2 2 (3 ) ( 3 ) 2 z i dz z i z i z i z e π θ α 令 3 1 i 被积函数在 z < 内只有一个二阶极点：z = α π α π π 64 5 256 2 5 ] 2 3 2 Res[ ( ), = − Ι = = − i i i i f z 解：
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY Reslf(=).O]=- +p2 2p21 Rap小-e-p 1+z4 2iz2(1-pz(2-p) 1+p4 2p2(1-p2)1 因此 1=2πi 1+p 1+p4 2πp2 p+ ip21-p2)1-p2
2 2 1 Res[ ( ),0] , 2 p f z ip + = − 4 2 4 2 2 1 Res[ ( ), ] lim ( ) 2 (1 )( ) 1 , 2 (1 ) z p z fz p z p iz pz z p p ip p → + = −⋅ − − + = − 24 2 2 22 2 11 2 π 2 π 2 2 (1 ) 1 pp p I i ip ip p p + + =− + = − − 因此
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSIT 形如1=」(x)dx的积分. 设孔z)是有理函数P(z)/Q(z),Q(z)在实轴上无零点， 且次数degQ(a)≥2+degP(z)。 即f(z)在上半平面除有限个奇点1,22，…，2n外 解析，在实轴上也解析，且 limzf(z)=0, z>00 Imz≥0 则f(x)dk=2m∑Resf(e),kJ k=1 .23 列 R R
设f(z)是有理函数P(z)/Q(z)，Q(z)在实轴上无零点， 且次数degQ(z) ≥2+ degP(z) 。 ( ) 2 Res[ ( ), ]. 1 ∫ ∑= ∞ ∞ = n k k f x dx πi f z z ＋ － 则 lim z f (z) = 0, Im ≥ 0 → ∞ z z z1 z2 z3 y CR −R O R 2. I fx x ( )d . +∞ −∞ = 形如 ∫ 的积分 1 2 (z) , , , , n 即f 在上半平面除有限个奇点zz z 外 解析 在实轴上也解析，且
上游充通大淫 大圆弧引理 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 设f(z)在圆弧Co:z=a+pe上连续，a≤0≤B, 且lim(z-a)f(a)=A,则 z→00 imf()d=B-)4. 需证：〔，f(e)dk-(B-)A p0→0 证明：由题设知 Vε>0,3M>0,当|z-a>M时，有 (z-a)f(2)-A<6
大圆弧引理 需证： | ( ) − ( − ) | →0 →∞ ∫ ρ ρ f z dz i β α A C 证明：由题设知 ( ) ( ) . 0, 0, | | ε ε − − ∃ > − > z a f z A M 当 z a M 时，有 () : , , lim( ) ( ) lim ( ) ( ) . i z C fz C z a e z afz A f z dz i A ρ θ ρ ρ ρ αθ β β α →∞ →+∞ = + ≤ ≤ − = = − ∫ 设 在圆弧 上连续 且 ，则
上游充通大 小圆弧引理 设f(z)在圆弧Cp:z=a+pe0上连续， a≤0≤B,且lim(z-a)f(z)=A, z→ 则 ef(dB-a)A
小圆弧引理 lim ( ) ( ) . , lim( ) ( ) ( ) : , 0 f z dz i A z a f z A f z C z a e C z a i ∫ = − ≤ ≤ − = = + → + → ρ β α α θ β ρ ρ θ ρ 则 且 ， 设 在圆弧 上连续
