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第五章 留数
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 纲要： 1留数及留数定理 2留数理论的应用
纲要: 1 留数及留数定理 2 留数理论的应用
上游充通大学 §5.1留数及留数定理 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 5.1.1定义 f(z)在孤立奇点z的某去心邻域0<2-z<R 内解析，且有Laurent展式： f(2)=..+c-n(2-20)+.+c-1(2-20)1 +Co+C1(2-20)+.+Cn(2-20)”+.…0<2-20lKR de.() C为0<忆-zo<R内包含z的任意一条闭曲线
§5.1 留数及留数定理 5.1.1 定义 f (z) 在孤立奇点z0的某去心邻域 0<|z−z0|<R 内解析，且有Laurent展式： f (z) = ... +c−n(z−z0)−n+...+c−1(z−z0)−1 +c0+c1(z−z0)+...+cn(z−z0)n+... 0<|z−z0|<R C 为0<|z-z0|<R内包含z0的任意一条闭曲线。 1 0 1 () d . ( 0, 1, 2, ) 2 π ( ) n n C f c n i z ζ ζ ζ + = = ±± − ∫Ñ L
上降充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY n=-1时，有 C-1 df(d 将Laurent展式两端沿C逐项积分。 称c1为f(z)在z的留数 Residual 记作Res[f(z),zol,即 RoNO,-l=eAa:c
n = −1时，有 将Laurent展式两端沿C逐项积分。 称c−1为 f (z)在 z0 的留数 , 记作 Res[ f (z), z0], 即 Residual 0 d 1 ( ) 2 1 Res[ ( ), ] = ∫ = − f z z c i f z z C π ( )d ( )d 2 . 2 π 1 −1 = ∫ ⇒ ∫ = −1 f z z f z z ic i c C C π
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 5.1.2留数定理 设函数f()在区域D内除有限个孤立奇点z, 22,2n外处处解析，连续到边界C(正向简单闭 曲线)，则 Va)dz=2πRestf(2)2l. k=1
设函数 f (z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2, ..., zn 外处处解析，连续到边界C（正向简单闭 曲线）, 则 5.1.2留数定理 1 ( )d 2 π Res[ ( ), ]. n k C k fz z i fz z = Ñ∫ = ∑
上哀通大皇 艳C的孤立奇点(1,2,…,n)用互不相交 互不包含的正向简单闭曲线C围绕起来，则根据 复合闭路定理有 艇e)d:=/ed:+艇edz+L+fed: C2 2元i f(=)dz=Res[f(=).z]+Res[f(=),z] +L +Res[f(),z] 即 W(a)d:=2π∑Res[f(-)] # k=1
证： 把C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不相交 互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据 复合闭路定理有 1 2 ( )d ( )d ( )d ( )d . CCC Cn fz z fz z fz z fz z = + ++ ∫∫∫ ∫ 蜒 蜒 L 1 2 1 1 ( )d Res[ ( ), ] Res[ ( ), ] 2 π Res[ ( ), ] ( )d 2 π Res[ ( ), ]. # C n n k C k fz z fz z fz z i fz z fz z i fz z = = + + + = ∫ ∫ ∑ L Ñ 即 Ñ
上游究通大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSIT 5.1.3.留数的计算规则（极点） 规则1如果z为z)的一阶极点，则 Res[f(z),z0]=lim(z-z0)f(z) z→20 规则2如果z为fz)的m阶极点，则 dm-1 Ref(2)2lF0m-DG-z,)”fa》 lim
规则1 如果z0为f(z)的一阶极点, 则 Res[ ( ), ] lim( ) ( ) 0 0 0 f z z z z f z z z = − → {( ) ( )} d d lim ( 1)! 1 Res[ ( ), ] 1 0 1 0 0 z z f z m z f z z m m m z z − − = − − → 规则2 如果z0为f(z)的m阶极点, 则 5.1.3. 留数的计算规则（极点）
上游充大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 规则3■ 设f(z)=P(z)/Q(z),P(z),Q(z)均在z处解析， 如果P(2o)≠0，Q(z0)=0,Q'(2o)0, 则为z)的一阶极点，而且 Rcs[f(z),2]= P(Zo) Q'(z)
规则3 如果P(z0) ≠ 0, Q(z0)=0, Q'(z0) ≠0, 则 z0为f(z)的一阶极点, 而且 0 设 f z Pz Qz Pz Qz z ( ) ( ) / ( ), ( ), ( ) = 均在 处解析
4数分女.c为1u吗2 上海充通大 解：z=0为被积函数的一阶极点，z=1为二阶极点，而 e Res[f(z),0]=limz·- e G Dyi (-1y =1 z→0 Res[f(),1]= 1 e -lim e(3-0=0. 1 2 所fE二d:=2 rifReq/)0+-Rol/-). =2πi(1+0)=2πi
例： 计算积分 I= 2 ( 1) z C e dz z z − Ñ∫ , C 为正向圆周|z|=2. 1. ( 1) lim ( 1) Res[ ( ),0] lim 2 0 2 0 = − = − = ⋅ → → z e z z e f z z z z z z 2 2 1 1d e Res[ ( ),1] lim ( 1) (2 1)! d ( 1) z z f z z → z zz = − − − 2 1 1 d e ( 1) lim lim 0. d z z z z e z → → zz z − = = = 3 e d 2π {Res[ ( ),0] Res[ ( ),1]} ( 1) 2π (1 0) 2 π . z C z i fz fz z z i i = + − = += 所以∫ 解： z=0为被积函数的一阶极点, z=1为二阶极点, 而
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 2.1N0- dz,C为正向圆周=1/2. 解： f2) 201-23)2=001阶极点 1 在0<2<1内： )= →C1=1→Rs[f(z),0]=1 n=0 →7=2π
例：计算 I= ( ) 101 2 1 C 1 dz z z − Ñ∫ , C 为正向圆周|z|=1/2. , 0为101阶极点 (1 ) 1 ( ) 101 2 = − = z z z f z 在0 1 < < z 内： 解： 1 Res[ ( ),0] 1 1 ( ) 1 0 2 101 = ⇒ − = ⇒ = ∞ = ∑z C f z z f z n n ⇒ I = 2πi