第二讲线性子空间 1
第二讲 线性子空间 1
一、线性子空间的定义及其性质 1.定义：设V是数域K上的线性空间V的一个非空子集合，且对V已 有的线性运算满足以下条件 (1)如果x,y∈，则x+y∈： (2)如果x∈V,k∈K,则kx∈V, 则称V是V的一个线性子空间或子空间。 2.性质：(1)线性子空间V与线性空间V享有共同的零元素： (2)V中元素的负元素仍在V中。 [证明](1)0x=O x∈VcV 2
一、线性子空间的定义及其性质 1. 定义：设V1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已 有的线性运算满足以下条件 （1）如果 1 xy V , ∈ ，则 1 x yV + ∈ ； （2）如果 1 x V∈ ，k K ∈ ，则 1 kx V∈ ， 则称V1是V 的一个线性子空间或子空间。 2. 性质：（1）线性子空间V1与线性空间V 享有共同的零元素； （2）V1中元素的负元素仍在V1中。 [证明]（1）0x O= 1 xV V ∈ ⊂ 2
∴.V中的零元素也在V中，V与V享有共同的零元素。 (2)x∈V (-1)x=(-x)∈V封闭性 ∴.中元素的负元素仍在V中 3.分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间 平凡子空间：{0}和V本身 非平凡子空间：除以上两类子空间 4.生成子空间：设x,x2…,xm为V中的元素，它们的所有线性组合的 集合 3
∴V 中的零元素也在V1中，V1与V 享有共同的零元素。 （2） 1 ∀ ∈x V 1 ( 1) ( ) − =− ∈ x xV 封闭性 ∴ V1中元素的负元素仍在V1中 3. 分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间 平凡子空间：{0}和V 本身 非平凡子空间：除以上两类子空间 4. 生成子空间：设 1 2 , , m xx x 为V 中的元素，它们的所有线性组合的 集合 3
K,i=12,m 1 也是V的线性子空间，称为由x,2…,xm生（张）成的子空间，记 为L(x,x2…,xm)或者Span(X1,x2…,xm)。 若x,x2…,Xm线性无关，则 dim{L(x,x2…,xm}=m 5.基扩定理：设V是数域K上的线性空间V”的一个m维子空间， x,x2…,xm是V的一个基，则这m个基向量必可扩充为 V"的一个基；换言之，在V”中必可找到n-m个元素 xm1,Xm+2…,xn’使得，x2…,xn成为V"的一个基。这 4
1 , 1,2 , m ii i i kx k K i m = ∈ = ∑ 也是V 的线性子空间，称为由 1 2 , , m xx x 生（张）成的子空间，记 为 1 2 (, , ) Lx x x m 或者 1 2 (, , ) m Span x x x 。 若 1 2 , , m xx x 线性无关，则 dim ( , , ) {Lx x x m 1 2 m } = 5. 基扩定理：设V1是数域 K 上的线性空间 n V 的一个 m 维子空间， 1 2 , , m xx x 是V1的一个基，则这m个基向量必可扩充为 n V 的一个基；换言之，在 n V 中必可找到 n m− 个元素 1 2 , , mm n xx x + + ，使得 1 2 , , n xx x 成为 n V 的一个基。这 4
n-m个元素必不在V中。 二、子空间的交与和 1定义：设V、V,是线性空间V的两个子空间，则 ∩'2={xx∈V,x∈'2} V+V2={x+ypx∈V,y∈'2} 分别称为V和V,的交与和。 2定理：若V和V,是线性空间V的两个子空间，则V∩V,V+V均为 V的子空间 [证明](1)x,y∈V∩V x+y∈Vx+y∈V? 5
n m− 个元素必不在V1中。 二、子空间的交与和 1.定义：设V1、V2是线性空间V 的两个子空间，则 V V xx V x V 12 1 2 = ∈∈ { , } V V x yx V y V 1 2 +=+ ∈ ∈ { 1 2 , } 分别称为V1和V2的交与和。 2.定理：若V1和V2是线性空间V 的两个子空间，则V V 1 2 ，V V 1 2 + 均为 V 的子空间 [证明]（1） 1 2 ∀ ∈ xy V V , 1 2 x yV x yV +∈ +∈ 5
.x+y∈V∩g x∈y∩V?k∈K kc∈Vkc∈V.kx∈V∩， ∴.V∩V,是V的一个线性子空间。 (2)Vx1,x2∈Vy1,y2∈V3 (+)∈+'(x32+2)e+V2 (x1+x2)∈V(+y2)∈V (x+乃)+(x2+y2)=(x1+x2)+(y+2)∈+V2 Hk∈K kx∈Vy∈'2 k(x+)=+∈V+V2 .V+V是V的子空间。 6
1 2 ∴ +∈ x yV V 1 2 ∀∈ ∈ xV V k K 1 2 kx V kx V ∈ ∈ 1 2 ∴ ∈ kx V V ∴ V V 1 2 是V 的一个线性子空间。 （2） 12 1 12 2 ∀ ∈∀ ∈ xx V yy V , , 11 12 2 2 12 12 1 12 2 () ( ) () ( ) x y VV x y VV x x V y y V + ∈+ + ∈+ + ∈ + ∈ 11 2 2 12 12 12 ( )( )( )( ) x y x y x x y y VV + + + = + + + ∈+ 11 12 ∀∈ ∈ ∈ k K kx V ky V 11 1 112 k x y kx ky V V ( ) + = + ∈+ ∴ + V V 1 2是V 的子空间。 6
3.维数公式：若V、V是线性空间V的子空间，则有 dim(V+)+dim(vv2)=dimV+dim/2 [证明]设dimV=n,dimV2=n2,dim(Y∩V2)=m 需要证明dim(V+/2)=n+n2-m 设x,x2…,xm是V∩V的一个基，根据基扩定理 存在1)，y2…,yn-m∈V,使x,x2…,Xm,1,2…,yn1-m成为V的 一个基： 2)1,22…,2n2-m∈2，使X,X32…,Xm,31,2…,2n2-m 成为V的一个基； 考察X1,X2…,Xm,月，2…，ym1-m21,22…,2n2-m’ 7
3. 维数公式：若V1、V2是线性空间V 的子空间，则有 12 1 2 1 2 dim( ) dim( ) dim dim VV VV V V ++ = + [证明] 设 11 2 2 1 2 dim ,dim ,dim( ) Vn V n VV m = = = 需要证明 12 12 dim( ) VV nn m + =+− 设 1 2 , , m xx x 是V V 1 2 的一个基，根据基扩定理 存在 1） 12 1 1 , , n m yy y V − ∈ ，使 12 12 1 , , ,, , m n m xx x yy y − 成为V1的 一个基； 2） 12 2 2 , , n m zz z V − ∈ ，使 12 12 2 , , ,, , m n m xx x zz z − 成为V2的一个基； 考察 12 1 2 1 12 2 , , ,, , ,, , m n m n m xx x yy y zz z − − ， 7
若能证明它为V+V,的一个基，则有dim(W+V)=n+n2-m。 成为基的两个条件： 1) 它可以线性表示V+V,中的任意元素 2) 线性无关 显然条件1)是满足的，现在证明条件2)，采用反证法。 假定上述元素组线性相关，则存在一组不全为0的数 k1,k32…,km,p,p2…,Pn1-m,91,92…,9n2-m使 ∑kx,+∑P,y,+∑93，=0 令z=∑9,3，∈'2，则 8
若能证明它为V V 1 2 + 的一个基，则有 12 12 dim( ) VV nn m + =+− 。 成为基的两个条件： 1） 它可以线性表示V V 1 2 + 中的任意元素 2） 线性无关 显然条件 1）是满足的，现在证明条件 2），采用反证法。 假定上述元素组线性相关，则存在一组不全为 0 的 数 12 1 2 1 12 2 , , , , , ,, , m n m n m kk k p p p qq q − − 使 0 i ii i i i ∑∑∑ kx py qz + += 令 i i 2 z qz V = ∈ ∑ ，则 8
∑kx+∑P,y=-z∈ .-z∈V∩V3 则-2可用x,x2…,Xm线性表示， .p=0 则，∑kx+∑92，=0 因为，X,X2…,Xm,乙1，二2…，n2-m线性无关 ∴.9，=0k=0 这与假设矛盾，所以上述元素线性无关，可作为V+V,的一个基。 9
i i i 1 i ∑ ∑ kx py z V + =− ∈ 1 2 ∴ −∈zV V 则−z 可用 1 2 , , m xx x 线性表示， 0 i ∴ = p 则， 0 i i i i ∑ ∑ kx qz + = 因为， 12 12 2 , , ,, , m n m xx x zz z − 线性无关 0 0 i i ∴= = q k 这与假设矛盾，所以上述元素线性无关，可作为V V 1 2 + 的一个基。 9
三、子空间的直和 1.定义：设V、V,是线性空间V的子空间，若其和空间V+V,中的任 一元素只能唯一的表示为V的一个元素与V,的一个元素之 和，即x∈V+2,存在唯一的y∈V,z∈V2,使x=y+z, 则称V+V,为V与'的直和，记为田V, 子空间的直和并不是一种特殊的和，仍然是 V+2={y+zye',z∈'2} 反映的是两个子空间的关系特殊。 2.定理：如下四种表述等价 (1)V+V,成为直和V田V? 10
三、子空间的直和 1. 定义：设V1、V2是线性空间V 的子空间，若其和空间V V 1 2 + 中的任 一元素只能唯一的表示为V1的一个元素与V2 的一个元素之 和，即 1 2 ∀∈ + xV V ，存在唯一的 1 2 y Vz V ∈ ∈ , ，使 xyz = + ， 则称V V 1 2 + 为V1与V2的直和，记为V V 1 2 ⊕ 子空间的直和并不是一种特殊的和，仍然是 V V y zy V z V 1 2 +=+ ∈ ∈ { 1 2 , }， 反映的是两个子空间的关系特殊。 2. 定理：如下四种表述等价 （1）V V 1 2 + 成为直和V V 1 2 ⊕ 10