第2章解析函数 By 付小宁
第2章 解析函数 By 付小宁
§1解析函数的概念 ·1.1.1复变函数的导数 定义1设函数f(z)在包含z的某区域D内有定义，当 变量Z在点zo处取得增量△z(zo+△2∈D)时，相应地， 函数f(z)取得增量 △w=f(z0+△z)-f(20) ·若极限 lim f(z0+△z)-f(zo) Λ2>0 △z f(2)-/(zo) ● (或 lim (2.1) 2→20 z-Z0 ·存在，则称f(z)在点z。处可导
• 1.1.1复变函数的导数 • 定义1 设函数 在包含 的某区域 内有定义，当 变量 在点 处取得增量 时，相应地， 函数 取得增量 • 若极限 • （或 ） （2.1） • 存在，则称 在点 处可导， f (z) 0 z D z 0 z z( ) z0 + z D ( ) ( ) 0 0 w = f z + z − f z f (z) z f z z f z z + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim z z f z f z → z z − − f (z) 0 z §1 解析函数的概念
·此极限值称为f(z)在点z处的导数，记作f'(z) dw 或 dz 即 2二20 dw f(z0+△z)-f(z) f'(2o)= =1 dz 二20 Λz→0 △z 如果函数f()在区域D内每一点都可导， 则称f()在D内可导. 如果函数∫()在曲线L上每一点都可导， 则称f(z)在L上可导
• 此极限值称为 在点 处的导数，记作 或 ，即 如果函数 在区域 内每一点都可导， 则称 在 内可导. • 如果函数 在曲线 L上每一点都可导， 则称 在 L上可导. f (z) 0 z ( ) 0 f z 0 z z dw dz = 0 0 0 ( ) ( ) lim z f z z f z z → + − = 0 f z ( ) = 0 z z dw dz = f (z) D f (z) D f (z) f (z)
·例1求函数f(z)=z”的导数(n为正整数). ·解因为 (z+△)”=∑C所z(A)-= k=0 (A)”+C(A2)”-z+C(△z)"-2z2+…+C(△z)”"z” 所以，由导数定义有 f'(z)=(z")'=im (2+△2)”-z” △2-→0 △z =[(A)1+C(A)2z++Cz] nzn-1
• 例1 求函数 的导数（ 为正整数）. • 解 因为 所以，由导数定义有 ( ) n f z z = n 0 ( ) ( ) n n k k n k n k z z C z z − = + = = n n n n n n n n n n z C z z C z z C z z − − − ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) 1 1 2 2 2 f z ( ) = z z z z z n n z n + − = → ( ) ( ) lim 0 lim [( ) ( ) ] 1 1 2 1 1 0 − − − − → = + + + n n n n n n z z C z z C z n 1 nz − =
例2问f(z)=x+2yi是否可导？ 解 lim f f(z+△z)-f(z) △z0△Z △z>0 △z lim (x+△x)+2(y+△y)i-x-2yi △z-→0 △z J △x+2△yi lim △y=0 △z→0 △x+△yi 设z+△z沿着平行于x轴的直线趋向于z
例2 问f (z) = x + 2 yi是否可导？ z f z z f z z f z z + − = → → ( ) ( ) lim lim 0 0 解 z x x y y i x yi z + + + − − = → ( ) 2( ) 2 lim 0 x yi x yi z + + = → 2 lim 0 设z + z沿着平行于x 轴的直线趋向于z， x y o z y = 0
△x+2△yi lim lim 1， △X Az0△x+△yi △x→0△X 设z+△z沿着平行于y轴的直线趋向于z, △x+2△yi 2△i △x=0 lim lim ↑y Az→0△x+△yi △y-→0 △yi 2 所以f(z)=x+2y的导数 △y=0 +X 不存在 0
x y o z y = 0 x yi x yi z + + → 2 lim 0 lim 1, 0 = = → x x x 设z + z沿着平行于 y 轴的直线趋向于z， x = 0 x yi x yi z + + → 2 lim 0 2, 2 lim 0 = = → yi yi y 不存在 所以 的导数 . f (z) = x + 2 yi
·1.1.2可导与连续的关系 ●】 若函数w=f(z)在点z处可导，则f()在 点o处必连续.当w为常数时，连续函数可导. ·证因为 lf()-(]-lim()() z-20 lim (=-z)lim (2)-f(2o) 2→20 2→20 2-20 =0f'(zo)=0 ·知limf(z)=f(2o),故f(z)在点zo处连续
• 1.1.2 可导与连续的关系 • 若函数 在点 处可导，则 在 点 处必连续. 当w为常数时,连续函数可导. • 证 因为 • 知 ，故 在点 处连续. w = f (z) 0 z f (z) 0 z 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) 0 0 z z f z f z f z f z z z z z z z − − − = − → → 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) lim 0 0 z z f z f z z z z z z z − − = − → → = 0 f (z0 ) = 0 lim ( ) ( ) 0 0 f z f z z z = → f (z) 0 z
1.1.3导数运算法则 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致，并且复变函 数中的极限运算法测也和实变函数中一样，因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来，且证明方法也是相同的， 求导公式与法则： ()(c)=0,其中c为复常数 (2)(z")=nz-1,其中n为正整数
由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: (1) (c) = 0, 其中c为复常数. (2) ( ) , . z n = nzn−1 其中n为正整数 •1.1.3 导数运算法则
(3)[f(z)±g(z)]=f'(a)±g'(z) (4)[f(z)g(z】=f'(z)g(z)+f(z)g'(z. (5) f'(z)gz)-f2)g(）. (g(z)≠0) g2(z) (6){fLg(z}=f'(w)g'(z).其中w=g(a) eFomn 其中w=f(z)与z=p(w)是 两个互为反函数的单值函数，且p'(w)≠0
(3) f (z) g(z) = f (z) g(z). (4) f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g(z). . ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5) 2 − = g z g z f z g z f z g z g z f z (6) f[g(z)] = f (w)g(z). w = g(z) 其 中 , ( ) 0 , ( ) ( ) ( ) 1 (7) ( ) = = = w w f z z w w f z 两个互为反函数的单值函数 且 其中 与 是
·例3求下列函数的导数. ·(1)f(z)=(2z2+i)5 :- (z≠0) ·解(1) 22 f'(z)=5(2z2+i)44z=20z(2z2+i)4 (2)f"(e)= 41+z2)32z3-2z1+z2)4 =30+-
• 例3 求下列函数的导数. • （1） • （2） • 解 （1） （2） 2 5 f (z) = (2z + i) ( 0) (1 ) ( ) 2 2 4 + = z z z f z f z ( ) = 2 4 2 4 5(2z + i) 4z = 20z(2z + i) 2 3 2 3 2 (1 ) (3 1) z z z = + − 2 3 3 2 4 4 4(1 ) 2 2 (1 ) ( ) z z z z f z z + − + =