上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY §2.3初等函数 可以将复变数的初等函数作为实变数 的初等函数在复数域中的自然推广. 2.3.1初等解析函数 2.3.2初等多值函数
可以将复变数的初等函数作为实变数 的初等函数在复数域中的自然推广. 2.3.1 初等解析函数 2.3.2 初等多值函数 §2.3 初等函数
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 2.3.1初等解析函数 1.指数函数 定义（指数函数）： e=e(cosy+isin以，z=x+iy∈C. e =e',Arge=y+2kπ，k=0,±1，±2，… 注：当y=0,f(x)=e,即通常意义下的R上的指数函数
2.3.1 初等解析函数 e e ( cos y isin y), z x iy C. z x = + = + ∈ 注：当y = 0, f (x) = ex ，即通常意义下的R上的指数函数。 定义（指数函数）： | e z |= ex , Argez = y + 2kπ，k = 0,±1,±2, 1. 指数函数
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 指数函数的基本性质 (1)指数函数w=e在整个C上有定义，且e2 ≠0. (2)指数函数代数性质（加法定理）：e2e2 21+22 Pf:若1=x+y,2=x2+y2,则 ee=e(cosy+isiny)e(cosy2+isin y2) =e [cos(y+y)+isin(+)]=e
指数函数的基本性质 若 ，则 指数函数代数性质（加法定理）： 1 1 1 2 2 2 z : , (2) e . 1 2 1 2 Pf z x iy z x iy e e z z z = + = + = + (1) C e 0. z 指数函数 = 在整个 上有定义，且 ≠ z w e 1 2 1 2 1 2 1 2 [cos( ) sin( )] (cos sin ) (cos sin ) 1 2 1 2 1 1 2 2 x x z z z z x x e y y i y y e e e e y i y e y i y + + = + + + = = + • +
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (3)指数函数w=e在整个复平面是解析， 且有(e)'=e. (4)w=e是以2π为周期的周期函数. 即 e2+2m=ee2m=e(cos2π+isin2π)= e。 (5)指数函数的渐进性态：z→0时， e极限不存在
(5) z z e 指数函数的渐进性态： → ∞时， 极限不存在。 即 ez+2πi = e z e 2πi = e z (cos2π + isin 2π ) = e z 。 (4) 2 . z we i = 是以 π 为周期的周期函数 ( )' . (3) z z z e e w e = = 且有 指数函数 在整个复平面是解析
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 2.三角函数 对任何复数z,定义余弦函数和正弦函数： e-ei COSZ= -sin= 2 2i 则对任何复数z,Euler公式也成立： e cos z+isin z. 注：当z∈R,三角函数即通常意义下的 R上的三角函数
2. 三角函数 e cosz isin z. iz = + 对任何复数z，定义余弦函数和正弦函数： , 2 , sin 2 cos i e e z e e z iz −iz iz −iz − = + = 则对任何复数z，Euler公式也成立： z R R 注：当 ∈ ，三角函数即通常意义下的 上的三角函数
w=sin(z)实邮的图像 300 200 100 0 -100 -200 -300 10 5 10 0 5 0 5 5 y -10-10
上游充通大学 三角函数的基本性质 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (1)当z∈R,正余弦函数即通常意义下的R上的三角函数。 (2)cosz是偶函数，sinz是奇函数. e-)+e-）ee+e c0s(-z)= cosz, 2 2 (3)cosz和sinz是以2π为周期的周期函数： e(z+2r）-ei+2) sin(z+2π)= =S1n2, 2i
三角函数的基本性质 (3) cosz和sinz是以 为周期的周期函数: sin , 2 sin( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) z i e e z i z i z = − + = + π − + π π (2) cosz是偶函数，sinz是奇函数. cos , 2 2 cos( ) ( ) ( ) z e e e e z i z i z iz iz = + = + − = − − − − 2π (1)当 , z R ∈ 正余弦函数即通常意义下的R上的三角函数
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (4)基本所有三角恒等式仍然成立. (a)sin2 z+cos2 z=1. 因为osg+sn2:-(e+8+e, -12 2 2i e2:+e2:+2e2:+e2:-2 =1. 4 2 (b)sin(z1±z2)=sinz1c0sz2±c0sz1Sinz2, C0s(21±z2)=c0sz1c0sz2干SinZ1Sinz2:
( )sin cos 1. 2 2 a z + z = 1. 2 2 4 2 ) 2 ) ( 2 cos sin ( 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − − + + = − + + + = − − − − i z i z i z i z iz iz iz iz e e e e i e e e e 因为 z z (4) 基本所有三角恒等式仍然成立. cos( ) cos cos sin sin . ( )sin( ) sin cos cos sin , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z z z z z b z z z z z z ± = ± = ±
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (5)cosz和sinz在整个复平面解析. (cosz)'=-sin z,(sin z)'=cos z. 证明： d d +e i ie ie -iz z e e 二 dz dz 2 2 2i d d i-ei ie+ie 二 CoS Z. dz dz 2i 2i 2
(5) cosz和sinz在整个复平面解析. 证明： (cosz)'= −sin z, (sin z)'= cosz. cos . 2 2 2 sin sin , 2 2 2 cos z e e i ie ie i e e dz d z dz d z i e e ie ie e e dz d z dz d iz iz iz iz iz iz iz iz iz iz iz iz = + = + = − = = − − = − − = + = − − − − − −
上游充大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (6) cosz在复平面的零点是 π Z= +kπ(k∈Z). 2 sinz在复平面的零点是 z=kπ(k∈Z). (7)|cosz,Isinz在复域上不再有界
(6) cosz在复平面的零点是 sinz在复平面的零点是 ( ). 2 z = + kπ k ∈ Z π z = kπ (k ∈ Z). (7) | cos |,| sin | z z 在复域上不再有界