数学家言行录 2012.9.17 1.p8.在大多数科学中，后一代人往往撕毁了前一代人 所建立的成就，但在数学中，每一代人都是在老的结 构上建立新的成果 Hankel Hermann,1884. 2.9.分析学与哲学都把它们的最重要的发现归功于 归纳法这一卓越工具的运用.Newton也把他的二项 式定理及万有引力原理的发现归功于归纳法的运 用 Laplace 3.p10.任何可靠的推理过程，都不可能产生不包含在 前提中的结果. Mellor,J.W.1902. 4.p11.历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细，哲 学使人深邃，道德使人严肃，逻辑与修辞使人善辩. Francis Becon 5.p13数学发明的动力不是推理，而是想象力的发挥 A.De Morgan, 1889 6.数学中也有惊人的想象.…再说一遍，阿基米德 (Archimedes)脑海中的想象远比古希腊大诗人荷马
数学家言行录 2012.9.17 1. p8.在大多数科学中,后一代人往往撕毁了前一代人 所建立的成就,但在数学中,每一代人都是在老的结 构上建立新的成果. Hankel Hermann,1884. 2. p9.分析学与哲学都把它们的最重要的发现归功于 归纳法这一卓越工具的运用.Newton 也把他的二项 式定理及万有引力原理的发现归功于归纳法的运 用. Laplace 3. p10.任何可靠的推理过程，都不可能产生不包含在 前提中的结果. Mellor,J.W.1902. 4. p11.历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人精细,哲 学使人深邃,道德使人严肃,逻辑与修辞使人善辩. Francis Becon 5. p13.数学发明的动力不是推理，而是想象力的发挥. A. De Morgan, 1889. 6.数学中也有惊人的想象……再说一遍，阿基米德 (Archimedes)脑海中的想象远比古希腊大诗人荷马
Homer)头脑中的想象丰富. Voltaire,A philosophical Dictionary,p13. 6.p13.数学研究与数学知识的本质特征在于如下三个 方面：其一是对于古老的数学发现与数学真理的保 守态度；其二是采取在已有成果的基础上获得新知 识的发展方式；其三是维持一种自给自足的绝对独 立性 H.Schubert,1898. 7.p14.古代十分重视数与形.Democritus视原子之形 为万物的第一原则，而Pythagoras则视数为万物之本 源. Bacon,Lord 8.p18.没有哪一门科学能比数学更为清晰地阐明自然 界的和谐性. Paul Carus,1908. 9.pl8.Newton的发现为英国和全世界作出了巨大的 贡献这一贡献超过全部英国王朝所做的一切我们也 毫不怀疑地认为，1853年Hamilton四元数理论的诞 生，它给人类带来的利益，决不比Victoria王朝的任 何业成绩逊色 Thomas Hill
(Homer)头脑中的想象丰富. Voltaire, A philosophical Dictionary, p13. 6. p13.数学研究与数学知识的本质特征在于如下三个 方面：其一是对于古老的数学发现与数学真理的保 守态度；其二是采取在已有成果的基础上获得新知 识的发展方式；其三是维持一种自给自足的绝对独 立性. H.Schubert,1898. 7.p14.古代十分重视数与形.Democritus 视原子之形 为万物的第一原则,而 Pythagoras 则视数为万物之本 源. Bacon,Lord 8.p18.没有哪一门科学能比数学更为清晰地阐明自然 界的和谐性. Paul Carus,1908. 9.p18.Newton 的发现为英国和全世界作出了巨大的 贡献.这一贡献超过全部英国王朝所做的一切.我们也 毫不怀疑地认为，1853 年 Hamilton 四元数理论的诞 生，它给人类带来的利益，决不比 Victoria 王朝的任 何业成绩逊色. Thomas Hill
11.p19.几何与机械现象是最普遍、最简单和最抽象的， 由此可得结论，学习任何东西的必不可少的第一步就 是学习数学.学在科学的等级中必然是最上层的，并 且不论对普通教育还是专门教育来说，数学教育乃是 任何教育的起点 A.Comte 1.p20.数学的性质与结构，决定其素材与内容特别适 宜于中学教育，特别是高中的数学课程，虽然都是些 用初级形式表述的基础知识，但其后续学科所要求 的种种特性却已被组合在其中数学能够集中、加速 和强化人们的注意力；能够给人发明创造的精神与 谨慎的谦虚精神；能够激发人们追求真理的勇气和 自信心.数学揭示着事物的本质与内核，它以形式 简单而内涵丰富为其特征.数学从深度与广度两个 方面去揭示隐藏在表面现象后面的客观规律和思 想要素，并且一点一滴地将其发展的动因推向前进. 数学又促进了艺术感知、得体的判断与实施，以及 事物之科学的概括与综合.因此，数学比起任何其 他学科来，更能使学生得到充实和增添知识的光辉， 更能锻炼和发挥学生们探索事理的独立工作能力. 数学能够集中学生们的智力活动，并使他们专心致 志，从而使得学生们能以了解自己的才能，疑问，自
11.p19.几何与机械现象是最普遍、最简单和最抽象的, 由此可得结论,学习任何东西的必不可少的第一步就 是学习数学.学在科学的等级中必然是最上层的,并 且不论对普通教育还是专门教育来说,数学教育乃是 任何教育的起点. A.Comte 1. p20.数学的性质与结构,决定其素材与内容特别适 宜于中学教育,特别是高中的数学课程,虽然都是些 用初级形式表述的基础知识，但其后续学科所要求 的种种特性却已被组合在其中.数学能够集中、加速 和强化人们的注意力;能够给人发明创造的精神与 谨慎的谦虚精神;能够激发人们追求真理的勇气和 自信心.数学揭示着事物的本质与内核，它以形式 简单而内涵丰富为其特征.数学从深度与广度两个 方面去揭示隐藏在表面现象后面的客观规律和思 想要素,并且一点一滴地将其发展的动因推向前进. 数学又促进了艺术感知、得体的判断与实施,以及 事物之科学的概括与综合.因此,数学比起任何其 他学科来,更能使学生得到充实和增添知识的光辉, 更能锻炼和发挥学生们探索事理的独立工作能力. 数学能够集中学生们的智力活动，并使他们专心致 志,从而使得学生们能以了解自己的才能,疑问,自
信心和获得工作中的喜悦.数学又往往以其独特的 风格而引人入胜，并由于其方法的普遍适用性和应 用的广泛性而使人深信不疑.因此，学生们所接受 的数学知识，以及他们为了获得正确的数学概念和 求解数学问题所作出的努力，都会使得他们更加成 熟而机灵，进而得以摆脱事物的表面现象而深入事 物的本质.如此就能大大激发学生们的强烈的求知 欲，而促使他们认真地为进入高等学府深造而作好 准备. E.Dillmann,1889. 12.p21.在中学的各门课程中，没有哪一门课程能像初 等数学那样容易使初学者产生那种清晰、直接、动人 而又朴素的回想 George yers,1911. 13.p21.数学是一种思维形式，它牢固地扎根于人类智 慧之中.即使是原始民族，也会在某种程度上表现出这 种数学思维的能力，并且随着人类文明的发展而发展 着.…数学表现了人类思维的本质和特征，并在任何国 家与民族的文明中都会有所体现.因而在当今意义下， 任何一种完善的形式化思维，都不能忽略这种数学思 维形式
信心和获得工作中的喜悦.数学又往往以其独特的 风格而引人入胜，并由于其方法的普遍适用性和应 用的广泛性而使人深信不疑.因此,学生们所接受 的数学知识,以及他们为了获得正确的数学概念和 求解数学问题所作出的努力，都会使得他们更加成 熟而机灵,进而得以摆脱事物的表面现象而深入事 物的本质.如此就能大大激发学生们的强烈的求知 欲,而促使他们认真地为进入高等学府深造而作好 准备. E.Dillmann,1889. 12.p21.在中学的各门课程中,没有哪一门课程能像初 等数学那样容易使初学者产生那种清晰、直接、动人 而又朴素的回想. George Myers,1911. 13.p21.数学是一种思维形式,它牢固地扎根于人类智 慧之中.即使是原始民族,也会在某种程度上表现出这 种数学思维的能力,并且随着人类文明的发展而发展 着…..数学表现了人类思维的本质和特征,并在任何国 家与民族的文明中都会有所体现.因而在当今意义下, 任何一种完善的形式化思维,都不能忽略这种数学思 维形式
J.W.A.Young, 1907. 14.p21.数学一般通过直接激发创造精神和活跃思维 的方式来提供其最佳服务 J.FHerbart,1890. 15.p22.按照形而上学哲学家们自己的观点，他们把数 学看成是教育的工具，认为数学教学能够训练人们集 中注意力，提高对次序观念的感知能力与改造能力. 数学还能使人们学会运用简单公式去掌握物理现象 的良性差别 B.Jowett,1897. 16.p22.数学的另一个伟大而又特殊的优点是要求数 学工作者必须自觉地努力和勤奋.把一个学生送进一 所教学环境良好的学校去学习，要想仅仅通过某种轻 松而又偶然的机会，就把他造就为一个数学家是决不 可能的.良好的学习环境仅仅是造就人才的预备条件， 能否取得杰出的成就，必须依靠自己的努力奋斗. Issac Todhunter,1873. 17.p24.数学内容是运用包含着大量符号的数学语言 来表述的，因而数学训练能为学习其他科学作出最好 的准备.…世界上任何科学工作都需要运用和精通
J.W.A.Young, 1907. 14.p21.数学一般通过直接激发创造精神和活跃思维 的方式来提供其最佳服务. J.FHerbart,1890. 15. p22.按照形而上学哲学家们自己的观点，他们把数 学看成是教育的工具,认为数学教学能够训练人们集 中注意力，提高对次序观念的感知能力与改造能力. 数学还能使人们学会运用简单公式去掌握物理现象 的良性差别. B.Jowett,1897. 16.p22.数学的另一个伟大而又特殊的优点是要求数 学工作者必须自觉地努力和勤奋.把一个学生送进一 所教学环境良好的学校去学习,要想仅仅通过某种轻 松而又偶然的机会,就把他造就为一个数学家是决不 可能的.良好的学习环境仅仅是造就人才的预备条件, 能否取得杰出的成就,必须依靠自己的努力奋斗. Issac Todhunter,1873. 17.p24.数学内容是运用包含着大量符号的数学语言 来表述的,因而数学训练能为学习其他科学作出最好 的准备…….世界上任何科学工作都需要运用和精通
符号. J.W.A.Young,1907. 18.p24.经验告诉我们，学习数学的人懂得如何进行完 善的推理，一个人仅仅知道他所满意的那些事情是很 不够的其次，数学能够帮助学生们去更好地学习其他 课程.人们在学习过程中，可能会自认为自己的理解力 如何高超，但在许多情况下，往往会由于对事物的表面 理解与肤浅认识而导致失败，因为对于事物的肤浅认 识与表面理解，会使人不了解自己对事物的主观臆断， 以致不能对该事物进行扩展，今儿就不能发挥和发展 自身之理解力的敏锐性和渗透性 John Locke. 19.p25.数学是一种方法.数学能使人们思维方式严格 化，养成有步骤地进行推理的习惯.当然，我并不主张 所有的人都成为知识渊博的数学家，而只是认为，人们 通过学习数学，能使他们的理智获得逻辑推理的方法， 由此他们就有可能去把知识进行推广和发展.对于种 种推理而言，每个论点都要象数学证明那样去论证，弄 明白各种观点之间的相互联系和相互依存关系，直到 找出其中之根源于本质所在为止. John Locke. 20.p25.纯数学的学习和研究，作为推理能力的训练
符号. J.W.A.Young,1907. 18.p24.经验告诉我们,学习数学的人懂得如何进行完 善的推理,一个人仅仅知道他所满意的那些事情是很 不够的.其次,数学能够帮助学生们去更好地学习其他 课程.人们在学习过程中,可能会自认为自己的理解力 如何高超，但在许多情况下,往往会由于对事物的表面 理解与肤浅认识而导致失败，因为对于事物的肤浅认 识与表面理解,会使人不了解自己对事物的主观臆断， 以致不能对该事物进行扩展,今儿就不能发挥和发展 自身之理解力的敏锐性和渗透性. John Locke. 19.p25.数学是一种方法.数学能使人们思维方式严格 化，养成有步骤地进行推理的习惯.当然，我并不主张 所有的人都成为知识渊博的数学家,而只是认为,人们 通过学习数学,能使他们的理智获得逻辑推理的方法, 由此他们就有可能去把知识进行推广和发展.对于种 种推理而言,每个论点都要象数学证明那样去论证,弄 明白各种观点之间的相互联系和相互依存关系,直到 找出其中之根源于本质所在为止. John Locke. 20.p25. 纯数学的学习和研究,作为推理能力的训练
而言，则是是最好没有的.因为数学推理是一种纯粹 的逻辑推理，因而不会受武断的影响数学的优越之 处在于一旦开始研究了某种一事物，便能在智力练 习中对事物进行分解与组合. R.Whately,1873. 21.p26.在数学或其他纯科学中，在几何、算术、代 数、三角学，以及关于变量或曲线的微积分中，其 最原始的原则是没有也不可能有错误的，因而我们 在此就只要把注意力集中与推理过程.上述这些学 科都是基于空间与数的原始真理的，因而通常认为 这些学科所提供的理论都是正确的.柏拉图曾在他 的哲学学校门口张榜声明：“不熟悉几何学者请勿 入内.”但这并不表示那些涉及线与面的问题要在 他的各种课程中进行讨论，相反地，他所注意的那 些论题，却都是些关于社会的、政治的和道德的深 刻问题.对于这些问题的探索，思维本身也能收到 锻炼.柏拉图及其追随者企图得到关于人的存在、 责任、尊严及人们与他们所面对的上帝与未知世界 之关系的结论.然而几何与这些事情有什么关系 呢？简言之，一个人如果没有经过系统的推理思维 的严格训练，他就不能适应讨论和探索上述那些高
而言，则是是最好没有的.因为数学推理是一种纯粹 的逻辑推理，因而不会受武断的影响.数学的优越之 处在于一旦开始研究了某种一事物,便能在智力练 习中对事物进行分解与组合. R.Whately,1873. 21.p26. 在数学或其他纯科学中,在几何、算术、代 数、三角学，以及关于变量或曲线的微积分中，其 最原始的原则是没有也不可能有错误的，因而我们 在此就只要把注意力集中与推理过程.上述这些学 科都是基于空间与数的原始真理的，因而通常认为 这些学科所提供的理论都是正确的.柏拉图曾在他 的哲学学校门口张榜声明： “不熟悉几何学者请勿 入内.”但这并不表示那些涉及线与面的问题要在 他的各种课程中进行讨论，相反地，他所注意的那 些论题，却都是些关于社会的、政治的和道德的深 刻问题.对于这些问题的探索，思维本身也能收到 锻炼.柏拉图及其追随者企图得到关于人的存在、 责任、尊严及人们与他们所面对的上帝与未知世界 之关系的结论.然而几何与这些事情有什么关系 呢？简言之，一个人如果没有经过系统的推理思维 的严格训练，他就不能适应讨论和探索上述那些高
级的论题.人们所需获得之逻辑知识与从几何学中 好的的知识十分相似，几何学在柏拉图时代是唯一 的被系统化了的科学.在我们英国也是长期地在同 样的原则之下行动的.我们未来的律师、牧师和政 治家都要在大学里学习有关曲线、角度、数量及比 例等数学知识，这并不是因为这些数学课程与他们 的生活需要或攻读方向有多大的关系，而是因为他 们通过学习这些数学知识，就能使之养成坚定不移 的、严格而精确的思维习惯，这对于今后取得成功 是必不可少的 J.C.Fitch,1906. 22.p27.如所周知，善于推理的能力不是天生的.经验 告诉我们，教育能促使那些潜在能力的发展，如果 没有教育，这些能力就发展不起来正如要获得游泳 和筑围墙的技术，就必须先去学习游泳和筑围墙一 样，要获得推理的技巧和具有推理的能力，也必须 先去学习推理为了推理，我们要选取和掌握各种思 想与材料，要研究语言、数学与历史.当我们对某 些事物进行推理时，只要这些食物其实是可以进行 推理的，那么推理本身与事物自身之间究竟是什么 关系的问题不是最重要的，关键是在推理之外，还 要用其他方法去验证推理结果之真伪.在推理过程
级的论题.人们所需获得之逻辑知识与从几何学中 好的的知识十分相似，几何学在柏拉图时代是唯一 的被系统化了的科学.在我们英国也是长期地在同 样的原则之下行动的.我们未来的律师、牧师和政 治家都要在大学里学习有关曲线、角度、数量及比 例等数学知识，这并不是因为这些数学课程与他们 的生活需要或攻读方向有多大的关系，而是因为他 们通过学习这些数学知识，就能使之养成坚定不移 的、严格而精确的思维习惯，这对于今后取得成功 是必不可少的. J.C.Fitch, 1906. 22.p27.如所周知，善于推理的能力不是天生的.经验 告诉我们，教育能促使那些潜在能力的发展，如果 没有教育，这些能力就发展不起来.正如要获得游泳 和筑围墙的技术，就必须先去学习游泳和筑围墙一 样，要获得推理的技巧和具有推理的能力，也必须 先去学习推理.为了推理，我们要选取和掌握各种思 想与材料，要研究语言、数学与历史.当我们对某 些事物进行推理时，只要这些食物其实是可以进行 推理的，那么推理本身与事物自身之间究竟是什么 关系的问题不是最重要的，关键是在推理之外，还 要用其他方法去验证推理结果之真伪.在推理过程
中，我们一旦确认天然磁铁指向性之后，就要对这 一新发现去作应用性研究，并在应用中前进.我们 在发现新航道之前，必须在一致的港口之间构筑许 多航道.因此，我们的推理能力就在于：在我们完 全相信可以推理之前，我们可以用其他的方法来确 证推理要素的真与假.基于下列原则，可以确认数 学是最适合于进行推理的学科： 1.任何术语都被清楚地解释，且仅有唯一的含义， 很少用两个词来定义同一个概念 2.原始公理来自大量的观察，并且都是十分明白 的. 3.证明过程都严格地合乎逻辑而毫不含糊，不受 任何权威意见之约束或限制. 4.推理结果之真伪总能用其他方法进行验证 5.数学中不存在那种意义含混的词，种种表示程 度 差别的或言词过甚的形容词或副词都不予使 用. Augustus De Morgan,1893. 23.p28.学习数学是为了探索宇宙的奥秘.如所知，星 球与地层、热与电、变异与存在的规律，无不涉及数 学真理.如果说语言反映和揭示了造物主的心声，那
中，我们一旦确认天然磁铁指向性之后，就要对这 一新发现去作应用性研究，并在应用中前进.我们 在发现新航道之前，必须在一致的港口之间构筑许 多航道.因此，我们的推理能力就在于：在我们完 全相信可以推理之前，我们可以用其他的方法来确 证推理要素的真与假.基于下列原则，可以确认数 学是最适合于进行推理的学科： 1.任何术语都被清楚地解释，且仅有唯一的含义， 很少用两个词来定义同一个概念. 2.原始公理来自大量的观察，并且都是十分明白 的.3.证明过程都严格地合乎逻辑而毫不含糊，不受 任何权威意见之约束或限制. 4.推理结果之真伪总能用其他方法进行验证. 5.数学中不存在那种意义含混的词，种种表示程 度 差别的或言词过甚的形容词或副词都不予使 用. Augustus De Morgan，1893. 23.p28.学习数学是为了探索宇宙的奥秘. 如所知，星 球与地层、热与电、变异与存在的规律，无不涉及数 学真理.如果说语言反映和揭示了造物主的心声，那
么数学就反映和揭示了造物主的智慧，并且反复地重 复着事物如何变异为存在的故事.数学集中并引导着 我们的精力、自尊与愿望去认识真理，并由此而生活 在上帝的大家庭中.正如文学诱导人们的情感与了解 一样，数学则启发人们的想象和推理 W.E.Chancellor,1907. 24.p28.完全离开数学知识，那么即使是世界上最简 单的现象也是无法了解的.随着对自然界奥秘的深入 探索，同时也就使得数学充分地发展 J.W.A.Young,1907. 25,p29.数学知识对于我们来说，其价值不只是由于 它是一种有力的工具，同时还在于数学自身的完美. 在数学内部或外部的展开中，我们看到了最纯粹的逻 辑思维活动，以及最高级的智力活动的美学体现. Alfred Pringsheim. 26.根据数学中的形式与内容的交互作用，学生们逐 步地熟悉了数学方法，使得他们能以通过自己的努力， 在一定限度内产生和扩充自己的知识，而且日益加强 了与这些活动相关的理智活动的自觉性和自信心.所 有这些都是数学训练所导致的最美丽与最杰出的结 果 Alfred Prinshelm,1904
么数学就反映和揭示了造物主的智慧，并且反复地重 复着事物如何变异为存在的故事.数学集中并引导着 我们的精力、自尊与愿望去认识真理，并由此而生活 在上帝的大家庭中.正如文学诱导人们的情感与了解 一样，数学则启发人们的想象和推理. W.E.Chancellor,1907. 24.p28.完全离开数学知识，那么即使是世界上最简 单的现象也是无法了解的.随着对自然界奥秘的深入 探索，同时也就使得数学充分地发展. J.W.A.Young,1907. 25,p29.数学知识对于我们来说，其价值不只是由于 它是一种有力的工具，同时还在于数学自身的完美. 在数学内部或外部的展开中，我们看到了最纯粹的逻 辑思维活动，以及最高级的智力活动的美学体现. Alfred Pringsheim. 26.根据数学中的形式与内容的交互作用，学生们逐 步地熟悉了数学方法，使得他们能以通过自己的努力， 在一定限度内产生和扩充自己的知识，而且日益加强 了与这些活动相关的理智活动的自觉性和自信心.所 有这些都是数学训练所导致的最美丽与最杰出的结 果. Alfred Prinshelm,1904
