x)=e"x(0)=[Re+…+Re4]x(0) 当式(8-74)成立时，对于任意x(0),均有x(,→0，系统渐近稳定。只要有一个特 征值的实部大于零，对于x(O)≠0，x()便无限增长，系统不稳定。如果只有一个（或一对， 且均不能是重根)特征值的实部等于零，其余特征值实部均小于零，x)便含有常数项或 三角函数项，则系统是李雅普诺夫意义下稳定的。 8.3.3李雅普诺夫稳定性直接判别法 李雅普诺夫第二法（直接法）是利用李雅普诺夫函数直接对平衡状态稳定性进行判断 无需求出系统状态方程的解，它对各种控制系统均适用。 根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会 到达平衡状态。实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数， 称之为李雅普诺夫函数。它与x,,x及1有关，是一个标量函数，记以(x,):若不显 含t,则记以V(x)。考虑到能量总大于零，故为正定函数，能量衰减特性用广(x,)表示 遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法，需要凭经验与技巧。实践表明，对 于大多数系统，可先尝试用二次型函数x'Px作为李雅普诺夫函数。 1,标量函数定号性 (1)正定性标量函数V(x)在域S中对所有非零状态(x≠0)有V(x)>0且 V(O)=0,称V(x)在域S内正定。如V(x)=x子+x号是正定的。 (2)负定性标量函数V(x)在域S中对所有非零x有V(x)<0且V(O)=0,称V(x) 在域S内负定。如V(x)=-(x+x)是负定的。如果V(x)是负定的，-V(x)则一定是正定 的。 (3)负（正）半定性V(O)=0,且V(x)在域S内某些状态处有V(x)=0,而其它 状态处均有V(x)<0(V(x)>0),则称V(x)在域S内负（正）半定。设V(x)为负半定， 则-(x)为正半定。如V(x)=(x1+2x2)为正半定。 (4)不定性V(x)在域S内可正可负，则称V(x)不定。如V(x)=xx2是不定的。 关于V(x,)正定性的提法是：标量函数V(x,)在域S中，对于1>。及所有非零状态 有V(x,)>0,且V(0,)=0,则称V(x,)在域S内正定。V(x,)的其它定号性提法类同。 二次型函数是一类重要的标量函数，记330 ( ) (0) [ ] (0) 1 1 x t e x R e R e x t n At t  n = = ++ 当式（8-74）成立时，对于任意 x（0），均有 x(t) t→→ 0 ，系统渐近稳定。只要有一个特 征值的实部大于零，对于 x(0)  0 , x(t) 便无限增长，系统不稳定。如果只有一个（或一对， 且均不能是重根）特征值的实部等于零，其余特征值实部均小于零， x(t) 便含有常数项或 三角函数项，则系统是李雅普诺夫意义下稳定的。 8.3.3 李雅普诺夫稳定性直接判别法 李雅普诺夫第二法（直接法）是利用李雅普诺夫函数直接对平衡状态稳定性进行判断， 无需求出系统状态方程的解，它对各种控制系统均适用。 根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会 到达平衡状态。实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数， 称之为李雅普诺夫函数。它与 n x , , x 1  及 t 有关，是一个标量函数，记以 V x t ( , ) ；若不显 含 t ，则记以 V x( ) 。考虑到能量总大于零，故为正定函数，能量衰减特性用 V x t ( , ) 表示。 遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法，需要凭经验与技巧。实践表明，对 于大多数系统，可先尝试用二次型函数 x Px T 作为李雅普诺夫函数。 1.标量函数定号性 （1）正定性 标量函数 V x( ) 在域 S 中对所有非零状态 (x  0) 有 V (x)  0 且 V (0) = 0 ，称 V x( ) 在域 S 内正定。如 2 2 2 1 V(x) = x + x 是正定的。 （2）负定性 标量函数 V x( ) 在域 S 中对所有非零 x 有 V (x)  0 且 V (0) = 0 ，称 V x( ) 在域 S 内负定。如 ( ) ( ) 2 2 2 1 V x = − x + x 是负定的。如果 V x( ) 是负定的，-V x( ) 则一定是正定 的。 （3）负（正）半定性 V (0) = 0 ，且 V x( ) 在域 S 内某些状态处有 V (x) = 0 ，而其它 状态处均有 V (x)  0 （ V (x)  0 ），则称 V x( ) 在域 S 内负（正）半定。设 V x( ) 为负半定， 则 −V x( ) 为正半定。如 2 1 2 V(x) = −(x + 2x ) 为正半定。 （4）不定性 V x( ) 在域 S 内可正可负，则称 V x( ) 不定。如 1 2 V(x) = x x 是不定的。 关于 V x t ( , ) 正定性的提法是：标量函数 V x t ( , ) 在域 S 中，对于 0 t  t 及所有非零状态 有 V (x,t)  0,且 V (0,t) = 0 ，则称 V(x,t) 在域 S 内正定。 V(x,t) 的其它定号性提法类同。 二次型函数是一类重要的标量函数，记