P V(x)=xTPx=x1…xn (8-75) 其中，P为对称矩阵，有P,=P和·显然满足V(x)=0,其定号性由赛尔维斯特准则判定。 当P的各顺序主子行列式均大于零时，即 :>0 (8-76) pa pal P为正定矩阵，则V(x)正定。当P的各顺序主子行列式负、正相间时，即 Pu <o.Pu Pel lpt…pa >0,…,(-1): >0 (8-77) Pn…pn P为负定矩阵，则V(x)负定。若主子行列式含有等于零的情况，则V(x)为正半定或负半 定。不属以上所有情况的(x)不定。 下面不打算对李雅普诺夫第二法中诸稳定性定理在数学上作严格证明，而只者重于物理 概念的阐述和应用。 2.李雅普诺夫第二法诸稳定性定理 设系统状态方程为x=f(x,),其平衡状态满足f(0,)=0,不失一般性，把状态空间 原点作为平衡状态，并设系统在原点邻域存在V(x,)对x的连续的一阶偏导数。 定理1若①(x,)正定，②广(x,)负定：则原点是渐近稳定的。 户(x,)负定表示能量随时间连续单调地衰减，故与渐近稳定性定义叙述一致。 定理2若①P(x,)正定：②广(x,)负半定，且在非零状态不恒为零：则原点是渐近 稳定的。 户(x,)负半定表示在非零状态存在(x,)=0,但在从初态出发的轨迹x(化，x。,。)上， 不存在V(x,)=0的情况，于是系统将继续运行至原点。状态轨迹仅是经历能量不变的状态。 而不会维持在该状态。 定理3若①V(x,)正定：②(x,)负半定，且在非零状态恒为零：则原点是李雅普 诺夫意义下稳定的。 沿状态轨迹能维持V(x,)=0,表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零状 态而不运行至原点。 331 331                       = = n nn n n n T x x p p p p V x x Px x x       1 1 11 1 1 ( ) （8-75） 其中， P 为对称矩阵，有 pij = p ji 。显然满足 V (x) = 0 ，其定号性由赛尔维斯特准则判定。 当 P 的各顺序主子行列式均大于零时，即 11 1 11 12 11 21 22 1 0, 0, , 0 n n nn p p p p p p p p p    （8-76） P 为正定矩阵，则 V x( ) 正定。当 P 的各顺序主子行列式负、正相间时，即 11 1 11 12 11 21 22 1 0, 0, , ( 1) 0 n n n nn p p p p p p p p p   −  （8-77） P 为负定矩阵，则 V x( ) 负定。若主子行列式含有等于零的情况，则 V x( ) 为正半定或负半 定。不属以上所有情况的 V x( ) 不定。 下面不打算对李雅普诺夫第二法中诸稳定性定理在数学上作严格证明，而只着重于物理 概念的阐述和应用。 2.李雅普诺夫第二法诸稳定性定理 设系统状态方程为 x  = f (x,t) ，其平衡状态满足 f (0,t) = 0 ,不失一般性，把状态空间 原点作为平衡状态，并设系统在原点邻域存在 V x t ( , ) 对 x 的连续的一阶偏导数。 定理 1 若① V x t ( , ) 正定，② V x t ( , ) 负定；则原点是渐近稳定的。 V x t ( , ) 负定表示能量随时间连续单调地衰减，故与渐近稳定性定义叙述一致。 定理 2 若① V x t ( , ) 正定；② V x t ( , ) 负半定，且在非零状态不恒为零；则原点是渐近 稳定的。 V x t ( , ) 负半定表示在非零状态存在 V x t ( , ) 0  ，但在从初态出发的轨迹 ( ; , ) 0 0 x t x t 上， 不存在 V (x,t)  0 的情况，于是系统将继续运行至原点。状态轨迹仅是经历能量不变的状态， 而不会维持在该状态。 定理 3 若① V x t ( , ) 正定；② V x t ( , ) 负半定，且在非零状态恒为零；则原点是李雅普 诺夫意义下稳定的。 沿状态轨迹能维持 V (x,t)  0 ，表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零状 态而不运行至原点