影下的投影点。G为物体的质心。 透视投影还有一种误差更小的线性近似,即正透视( orthoperspective)。同样从两阶段 过程来考虑,正透视与平行透视的区别在于第一阶段的投影平面不是与图象平面平行,而是 经过质心和CG(即焦心和质心的连线)垂直。它也可被看作以下三步操作的合成 1.摄象机绕焦心C旋转,直至光轴与CG重合 2.进行弱透视投影 3.将摄象机旋转回原位置,这引起图象平面上的一个仿射变换。 正透视的数学表示形式很复杂,在这里就不给出其公式了。 B.24仿射摄象机 观察在正投影、弱透视和平行透视下的投影矩阵,我们发现它们都具有如下的形式: P1P12P13P14 P4=|P21P2P23P2 000 PA是一3*4矩阵,它决定了一个三维空间到二维平面的线性映射(用齐次坐标表示), 所以我们把PA称为仿射摄象机。与透视投影矩阵类似,PA也可相差一个尺度因子,因此它 只有8个自由参量。它可由4组二维点和三维点的对应决定 如果用非齐次坐标,仿射摄象机可表示为 m=TAM+ta (B.23) 其中TA为一2*3矩阵,其元素TP/P3,而tA为二维向量[P1P34P2P4 仿射摄象机的一个重要性质是保平行性:三维空间的平行线投影为二维空间的平行线 这和透视投影是不同的。证明很简单:设M1(入)=M+λ*u和M1(μ)=M+μ如是三维空间的两 平行线,其中u是三维方向向量,λ和μ是直线参数。投影结果为m1()=(TAM+tA)+TAu和 m2(μ)=(TAM+tA)+uTAu,显然它们都平行于方向向量TAu 仿射摄象机的另一个重要性质是它把三维点集的质心投影为对应二维投影点的质心。这 也是透视投影不具有的性质 仿射摄象机的缺点是几何意义不明显。它当然是前几节介绍的各种透视投影线性近似的 推广。这种推广可按下面两种方式来理解 (1)允许三维物体作某种非刚性变形。实际上,如果对P右乘DsMt 这样的三 维仿射变换,其中M为3*3矩阵,而t为三维列向量,相乘的结果仍是仿射摄象机 (2)无需标定摄象机内参数。实际上,对P左乘B=「Bb 这样的二维仿射变换 其中B1为2*2矩阵,而b为二维列向量,相乘的结果也仍是仿射摄象机。 即使不标定摄象机的内参数,我们仍能从图象中提取出如平行性、定长度比这样的仿射 度量。对于某些视觉任务来说,这样的仿射度量就足够了。 最后需要指出的是仿射摄象机是实际摄象机的近似。它只在感兴趣目标的深度变化相对 232232 影下的投影点。G 为物体的质心。 透视投影还有一种误差更小的线性近似，即正透视（orthoperspective）。同样从两阶段 过程来考虑，正透视与平行透视的区别在于第一阶段的投影平面不是与图象平面平行，而是 经过质心和 CG（即焦心和质心的连线）垂直。它也可被看作以下三步操作的合成： 1. 摄象机绕焦心 C 旋转，直至光轴与 CG 重合； 2. 进行弱透视投影； 3. 将摄象机旋转回原位置，这引起图象平面上的一个仿射变换。 正透视的数学表示形式很复杂，在这里就不给出其公式了。 B.2.4 仿射摄象机 观察在正投影、弱透视和平行透视下的投影矩阵，我们发现它们都具有如下的形式：           = 34 21 22 23 24 11 12 13 14 0 0 0 p p p p p p p p p PA (B.22) PA 是一 3*4 矩阵，它决定了一个三维空间到二维平面的线性映射（用齐次坐标表示）， 所以我们把 PA 称为仿射摄象机。与透视投影矩阵类似，PA 也可相差一个尺度因子，因此它 只有 8 个自由参量。它可由 4 组二维点和三维点的对应决定。 如果用非齐次坐标，仿射摄象机可表示为 m=TAM+tA (B.23) 其中 TA 为一 2*3 矩阵，其元素 Tij=Pij/P34，而 tA 为二维向量[P14/P34,P24/P34] T。 仿射摄象机的一个重要性质是保平行性：三维空间的平行线投影为二维空间的平行线。 这和透视投影是不同的。证明很简单：设 M1()=Ma+*u 和 M1()=Mb+*u 是三维空间的两 平行线，其中 u 是三维方向向量，和是直线参数。投影结果为 m1()=(TAMa+tA)+TAu 和 m2()=(TAMb+tA)+ TAu，显然它们都平行于方向向量 TAu。 仿射摄象机的另一个重要性质是它把三维点集的质心投影为对应二维投影点的质心。这 也是透视投影不具有的性质。 仿射摄象机的缺点是几何意义不明显。它当然是前几节介绍的各种透视投影线性近似的 推广。这种推广可按下面两种方式来理解： (1) 允许三维物体作某种非刚性变形。实际上，如果对 PA 右乘       = 03 1 T M t D 这样的三 维仿射变换，其中 M 为 3*3 矩阵，而 t 为三维列向量，相乘的结果仍是仿射摄象机。 (2) 无需标定摄象机内参数。实际上，对 PA 左乘       = 02 1 1 T B b B 这样的二维仿射变换， 其中 B1 为 2*2 矩阵，而 b 为二维列向量，相乘的结果也仍是仿射摄象机。 即使不标定摄象机的内参数，我们仍能从图象中提取出如平行性、定长度比这样的仿射 度量。对于某些视觉任务来说，这样的仿射度量就足够了。 最后需要指出的是仿射摄象机是实际摄象机的近似。它只在感兴趣目标的深度变化相对