八、(本题满分8分) 设某商品从时刻0到时刻t的销售量为x(1)=kt,t∈[0,7](k>0).欲在T时将数量 为A的该商品销售完,试求 (1)t时的商品剩余量,并确定k的值 (2)在时间段[0,们上的平均剩余量 【分析】在时刻t的剩余量y(可用总量A减去销量x(t)得到;由于y(t)随时间连续变 化,因此在时间段[0,上的平均剩余量,即函数平均值可用积分 7y(1)d表示 【详解】(1)在时刻t商品的剩余量为 y(1)=A-x( A-kt,t∈[0,7 由A-kt=0,得 A k 因此 A y(1)=A--1,t∈[0,7 (2)依题意,y(1)在[0,T上的平均值为 TJo v(ndt 7(4、4 t)dt A 因此在时间段0,门上的平均剩余量为4 【评注】函数f(x)在[ab]上的平均值记为 f(x)dx 本题考查了函数平均值的概念,但大纲中只对数学一、二明确提出要求,而数学三、 四的考试大纲中没有相应的要求,因此本题有超纲的嫌疑 九、(本题满分13分) 设有向量组(1):a1=(10.2),a2=(113)3,a3=(1-1,a+2)和向量组() B1=(12.a+3),B2=(2.1,a+6),B3=(2a+4)y.试问:当a为何值时,向量组 (I)与(I)等价?当a为何值时,向量组(I)与(I)不等价? 【分析】两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示,而两个向量组不等价, 只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可.而线性表示问题又可转化为对应非 齐次线性方程组是否有解的问题,这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断一个向量B1是否10 八、（本题满分 8 分） 设某商品从时刻 0 到时刻 t 的销售量为 x(t) = kt，t [0,T],(k  0). 欲在 T 时将数量 为 A 的该商品销售完，试求 (1) t 时的商品剩余量，并确定 k 的值； (2) 在时间段[0，T]上的平均剩余量. 【分析】 在时刻 t 的剩余量 y(t)可用总量 A 减去销量 x(t)得到; 由于 y(t)随时间连续变 化，因此在时间段[0,T] 上的平均剩余量，即函数平均值可用积分  T y t dt T 0 ( ) 1 表示. 【详解】 (1) 在时刻 t 商品的剩余量为 y(t) = A − x(t) = A− kt， t [0,T]. 由 A− kt =0，得 T A k = ， 因此 ( ) t, T A y t = A − t [0,T]. (2) 依题意， y(t) 在[0，T]上的平均值为  = T y t dt T y 0 ( ) 1 =  − T t dt T A A T 0 ( ) 1 = . 2 A 因此在时间段[0，T] 上的平均剩余量为 . 2 A 【评注】 函数 f(x)在[a,b] 上的平均值记为  − b a f x dx b a ( ) . 1 本题考查了函数平均值的概念，但大纲中只对数学一、二明确提出要求，而数学三、 四的考试大纲中没有相应的要求，因此本题有超纲的嫌疑. 九、（本题满分 13 分） 设有向量组（I）： T (1,0,2) 1 = ， T (1,1,3)  2 = ， T (1, 1,a 2)  3 = − + 和向量组（II）： T (1,2,a 3) 1 = + ， T (2,1,a 6)  2 = + ， (2,1, 4) . 3 T  = a + 试问：当 a 为何值时，向量组 （I）与（II）等价？当 a 为何值时，向量组（I）与（II）不等价？ 【分析】 两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示，而两个向量组不等价， 只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可. 而线性表示问题又可转化为对应非 齐次线性方程组是否有解的问题，这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断. 一个向量  1 是否