2003年考研数学(四)真题评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)极限l[1+m(1+x) 【分析】本题属1型未定式,化为指数函数求极限即可 【详解】mn[+h(1+x)2=lme 2In(l+In(l+x)l 【评注】对于1°型未定式lmf(x)(的极限,也可直接用公式 imf(x)()(1)=e(x进行计算,因此本题也可这样求解 2 lim[1+hn(1+x)I= 【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P23【例1.30】和《文登数学全真模拟试 卷》数学四P29第一大题第(1)小题 2) (对+x)+a=2(1-2e 【分析】对称区间上的积分应注意利用被积函数的对称性,这里有[xex=0 【详解】∫(对+x+-+p++xe+k xe- dx exe e dx 【评注】本题属基本题型,主要考查对称区间上的积分性质和分布积分法 原题见《文登数学全真模拟试卷》数学二P37第一题第(3)小题(完全是原题,答案 也一样),完全类似题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P丌1第一大题第(2)小题. (3) f(x)=8()-a,若0≤x≤1 0.其他而D表示全平面,则
1 2003 年考研数学（四）真题评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）极限 x x x 2 0 lim[1+ ln(1+ )] → = 2 e . 【分析】 本题属 1 型未定式，化为指数函数求极限即可. 【详解】 x x x 2 0 lim[1+ ln(1+ )] → = ln[1 ln(1 )] 2 0 lim x x x e + + → = . 2 2 ln(1 ) lim 2 ln[1 ln(1 )] lim 0 0 e e e x x x x x x = = + + + → → 【 评 注 】 对 于 1 型未定式 ( ) lim ( ) g x f x 的极限，也可直接用公式 ( ) lim ( ) g x f x (1 ) = lim( f ( x) 1)g ( x) e − 进行计算，因此本题也可这样求解： x x x 2 0 lim[1+ ln(1+ )] → = . 2 ln(1 ) 2 lim 0 e e x x x = + → 【评注】 完全类似例题见《数学复习指南》P.23【例 1.30】和《文登数学全真模拟试 卷》数学四 P.29 第一大题第（1）小题. （2） x x e dx x − − + 1 1 ( ) = 2(1 2 ) −1 − e . 【分析】 对称区间上的积分应注意利用被积函数的对称性，这里有 0. 1 1 = − − xe dx x 【详解】 x x e dx x − − + 1 1 ( ) = xe dx xe dx x x − − − − + 1 1 1 1 = xe dx − x − 1 1 = − − = − 1 0 1 0 2 2 x x xe dx xde = 2[ ] 1 0 1 0 xe e dx x x − − − − = 2(1 2 ) −1 − e . 【评注】 本题属基本题型，主要考查对称区间上的积分性质和分布积分法. 原题见《文登数学全真模拟试卷》数学二 P.37 第一题第（3）小题（完全是原题，答案 也一样），完全类似题见《文登数学全真模拟试卷》数学三 P.71 第一大题第（2）小题. （ 3 ） 设 a>0 ， ， a x f x g x 其他 若0 1, 0, , ( ) ( ) = = 而 D 表示全平面，则
I=lf(x)g(y-x)dxdy=a 【分析】本题积分区域为全平面,但只有当0≤x≤10≤y-x≤1时,被积函数才不 为零,因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可 【详解】1=/(x)g(-x)dd=Ja2dd da”d=d(x+1-k=a2 【评注】若被积函数只在某区域内不为零,则二重积分的计算只需在积分区域与被积 函数不为零的区域的公共部分上积分即可 完全类似例题见《数学复习指南》P191【例816-17】 (4)设AB均为三阶矩阵,E是三阶单位矩阵已知AB=2A+BB=040,则 (A-E) 010 100 【分析】应先化简,从AB=2A+B中确定(A-E) 【详解】由AB=2A+B,知 AB-B=2A-2E+2E 即有 (A-E)B-2(A-E)=2E (A-E)B-2E)=2E, (A-E)-(B-2E)=E 可见 (A-E)=(B-2E)=010 【评注】本题实质上是已知矩阵等式求逆的问题,应先分解出因式A-E,写成逆矩阵 的定义形式,从而确定(A-E)的逆矩阵 完全类似例题见《数学最后冲刺》P92【例7】 (5)设n维向量a=(a,0,…,0,a),a<0;E为n阶单位矩阵,矩阵 A=E-aa B=e+-aa 其中A的逆矩阵为B,则a= 【分析】这里aa7为n阶矩阵,而a'a=2a2为数,直接通过AB=E进行计算并 注意利用乘法的结合律即可
2 = − D I f (x)g(y x)dxdy = 2 a . 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当 0 x 1,0 y − x 1 时，被积函数才不 为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可. 【详解】 = − D I f (x)g(y x)dxdy = a dxdy x y x 0 1,0 − 1 2 = [( 1) ] . 2 1 0 2 1 0 1 2 a dx dy a x x dx a x x = + − = + 【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积 函数不为零的区域的公共部分上积分即可. 完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例 8.16-17】 . （4）设 A,B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知 AB=2A+B,B= 2 0 2 0 4 0 2 0 2 ,则 1 ( ) − A− E = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . 【分析】 应先化简，从 AB=2A+B 中确定 1 ( ) − A− E . 【详解】 由 AB=2A+B, 知 AB-B=2A-2E+2E, 即有 (A − E)B − 2(A − E) = 2E ， (A − E)(B − 2E) = 2E ， A − E (B − 2E) = E 2 1 ( ) ， 可见 1 ( ) − A− E = ( 2 ) 2 1 B − E = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . 【评注】 本题实质上是已知矩阵等式求逆的问题，应先分解出因式 A-E，写成逆矩阵 的定义形式，从而确定(A-E) 的逆矩阵. 完全类似例题见《数学最后冲刺》P.92【例 7】. （5）设 n 维向量 = (a,0, ,0,a) ,a 0 T ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 T A = E − ， T a B E 1 = + ， 其中 A 的逆矩阵为 B，则 a= -1 . 【分析】 这里 T 为 n 阶矩阵，而 2 2a T = 为数，直接通过 AB = E 进行计算并 注意利用乘法的结合律即可
【详解】由题设,有 AB=(E-aa(E+-aa) FE-aa +-aa'--a(aa)a FE-aa +-aa-2aaa 于是有-1-2a+1=0,即202+a-1=0,解得a=1,a=-1.由于A0故正1 【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P305第2大题第(5)小题 (6)设随机变量X和Y的相关系数为0.5,EX=EY=0,EX2=EY2=2,则 E(X+y)2= 【分析】利用期望与相关系数的公式进行计算即可 【详解】因为 E(X +Y=EX+2E(XY)+Er =4+2[Cov(X,Y)+EX·Ey 4+2px√Dx·√Dy=4+2×0.5×2=6 【评注】本题的核心是逆向思维,利用公式E(XY)=Con(X,Y)+EX·EY,而这种 分析方法是文登辅导班上重点介绍过的 二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)曲线y=xe (A)仅有水平渐近线 (B)仅有铅直渐近线 (C)既有铅直又有水平渐近线 (D)既有铅直又有斜渐近线 【分析】先考虑是否有水平渐近线,若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线 而是否存在铅直渐近线,应看函数是否存在无定义点 【详解】当x→>±∞时,极限limy均不存在,故不存在水平渐近线; 又因为lm2=mex=1,im(xex-x)=0,所以有斜渐近线y=x
3 【详解】 由题设，有 ) 1 ( )( T T a AB = E − E + = T T T T a a E − + − 1 1 = T T T T a a E ( ) 1 1 − + − = T T T a a E 2 1 − + − = E a E a T + − − + ) = 1 ( 1 2 , 于是有 0 1 −1− 2 + = a a ，即 2 1 0 2 a + a − = ，解得 , 1. 2 1 a = a = − 由于 A<0 ,故 a=-1. 【评注】 完全类似例题见《数学复习指南》P.305 第 2 大题第（5）小题 . （ 6） 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.5, EX=EY=0, 2 2 2 EX = EY = , 则 2 E(X +Y) = 6 . 【分析】 利用期望与相关系数的公式进行计算即可. 【详解】 因为 2 E(X +Y) = 2 2 EX + 2E(XY) + EY =4+ 2[Cov(X,Y) + EX EY] =4+2 DX DY = 4 + 2 0.5 2 = 6. XY 【评注】 本题的核心是逆向思维，利用公式 E(XY) = Cov(X,Y) + EX EY ，而这种 分析方法是文登辅导班上重点介绍过的. 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）曲线 2 1 x y = xe (A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线. (C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. [ D ] 【分析】 先考虑是否有水平渐近线，若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线， 而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点. 【详解】 当 x → 时，极限 y x→ lim 均不存在，故不存在水平渐近线； 又因为 lim lim 1 2 1 = = → → x x x e x y ， lim ( ) 0 2 1 − = → xe x x x ，所以有斜渐近线 y=x
另外,在x=0处y=xex无定义,且 lim xer2=,可见x=0为铅直渐近线 故曲线y=xex既有铅直又有斜渐近线,应选(D) 【评注】本题为常规题型,完全类似例题见《数学复习指南》P153【例6.30-31】 (2)设函数f(x)=12-19(x),其中q(x)在x=1处连续,则()=0是x)在x=1 处可导的 (A)充分必要条件 (B)必要但非充分条件 (C)充分但非必要条件.(D)既非充分也非必要条件 【分析】被积函数含有绝对值,应当作分段函数看待,利用x)在x=1处左右导数定 义讨论即可 【详解】因为 f(x)-f(1) q(x)=3q(1) mf(x)-/()=-m xrx-l(x)=-3(1), 可见,f(x)在x=1处可导的充分必要条件是3q(1)=-3(1)→(1)=0.故应选(A) 【评注】函数表达式中含有绝对值、取极值符号( max. min)等,均应当作分段函数处理 一般地,函数g(x)=x-x(x)在点x=x处可导的充要条件是q(x)=0 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P28【例26】和《考研数学大串讲》P19 的公式 3)设可微函数fxy)在点(x,y)取得极小值,则下列结论正确的是 (A)f(x0,y)在y=y处的导数等于零(B)f(x0,y)在y=y处的导数大于零 (C)f(x0,y)在y=y处的导数小于零.(D)f(x0,y)在y=y处的导数不存在 A 【分析】可微必有偏导数存在,再根据取极值的必要条件即可得结论 【详解】可微函数f(xy)在点(x0,y)取得极小值,根据取极值的必要条件知 ∫(x0,y0)=0,即∫(x0,y)在y=y处的导数等于零,故应选(A) 【评注1】本题考查了偏导数的定义,f(x0,y)在y=yo处的导数即fy(x0,y0);而 f(x,y)在x=x0处的导数即∫(x0,y0) 【评注2】本题也可用排除法分析,取f(x,y)=x2+y2,在(0,0)处可微且取得极小
4 另外，在 x=0 处 2 1 x y = xe 无定义，且 = → 2 1 0 lim x x xe ，可见 x=0 为铅直渐近线. 故曲线 2 1 x y = xe 既有铅直又有斜渐近线，应选(D). 【评注】 本题为常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.153 【例 6.30-31】. （2）设函数 ( ) 1 ( ) 3 f x = x − x ，其中 (x) 在 x=1 处连续，则 (1) = 0 是 f(x)在 x=1 处可导的 (A) 充分必要条件. （B）必要但非充分条件. (C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. [ A ] 【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分段函数看待，利用 f(x)在 x=1 处左右导数定 义讨论即可. 【详解】 因为 ( ) 3 (1) 1 1 lim 1 ( ) (1) lim 3 1 1 = − − = − − → + → + x x x x f x f x x ， ( ) 3 (1) 1 1 lim 1 ( ) (1) lim 3 1 1 = − − − = − − − → − → − x x x x f x f x x ， 可见，f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是 3(1) = −3(1) (1) = 0. 故应选(A). 【评注】 函数表达式中含有绝对值、取极值符号(max,min)等，均应当作分段函数处理. 一般地，函数 ( ) ( ) 0 g x = x − x x 在点 0 x = x 处可导的充要条件是 ( ) 0. x0 = 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.28 【例 2.6】和《考研数学大串讲》P.19 的公式. （3）设可微函数 f(x,y)在点 ( , ) 0 0 x y 取得极小值，则下列结论正确的是 (A) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数等于零. （B） ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数大于零. (C) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数小于零. (D) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数不存在. [ A ] 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论. 【详解】 可微函数 f(x,y)在点 ( , ) 0 0 x y 取得极小值，根据取极值的必要条件知 f y (x0 , y0 ) = 0 ，即 ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数等于零, 故应选(A). 【评注 1】 本题考查了偏导数的定义， ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数即 ( , ) 0 0 f x y y ；而 ( , ) 0 f x y 在 0 x = x 处的导数即 ( , ). 0 0 f x y x 【评注 2】 本题也可用排除法分析，取 2 2 f (x, y) = x + y ，在(0,0)处可微且取得极小
值,并且有f(O,y)=y2,可排除(B)C(D故正确选项为(A) (4)设矩阵 001 B=010 100 已知矩阵A相似于B,则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于 (B)3 (C)4 (D)5 [C] 【分析】利用相似矩阵有相同的秩计算,秩(A-2E)与秩(AE)之和等于秩(B-2E)与秩(BE) 之和 【详解】因为矩阵A相似于B,于是有矩阵A2E与矩阵B-2E相似,矩阵A-E与矩 阵B-E相似,且相似矩阵有相同的秩,而 -201 101 秩(B2E户=秩0-10=3,秩(BE=秩000=1 10-2 可见有秩(A-2E)+秩(AE=秩(B-2E+秩(B-E)=4,故应选C) 【评注】若A~B,则f(A)~f(B),且相似矩阵有相同的行列式、相同的秩和相同 的特征值等性质.见《数学复习指南》P360相似矩阵及其性质 (5)对于任意二事件A和B (A)若AB≠φ,则AB一定独立.(B)若AB≠φ,则AB有可能独立 (C)若AB=φ,则AB一定独立.(①D)若AB=p,则AB一定不独立 B 【分析】本题考查独立与互斥事件之间的关系,事实上,独立与互斥事件之间没有必 然的互推关系 【详解】AB≠φ推不出P(AB=P(A)P(B)因此推不出AB一定独立,排除(A),若 AB=φ,则P(AB=0,但P(AP(B)是否为零不确定,因此(O)(D)也不成立,故正确选项 为(B) 【评注】当PA)≠0,P(B)≠0时,若AB相互独立,则一定有P(AB)=P(A)P(B)≠0, 从而有AB≠φ.可见,当AB相互独立时,往往A,B并不是互斥的 完全类似例题见《数学复习指南》P415第二大题第(7)小题 (6)设随机变量X和Y都服从正态分布,且它们不相关,则 (A)X与Y一定独立 (B)(XY)服从二维正态分布 (C)X与Y未必独立 (D)X+Y服从一维正态分布 【分析】本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系只有 XY)服从二维正态分布时,不相关与独立才是等价的
5 值，并且有 2 f (0, y) = y ，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A). （4）设矩阵 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B . 已知矩阵 A 相似于 B，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于 (A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. [ C ] 【分析】利用相似矩阵有相同的秩计算，秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于秩(B-2E)与秩(B-E) 之和. 【详解】 因为矩阵 A 相似于 B，于是有矩阵 A-2E 与矩阵 B-2E 相似，矩阵 A-E 与矩 阵 B-E 相似，且相似矩阵有相同的秩，而 秩(B-2E)=秩 3 1 0 2 0 1 0 2 0 1 = − − − ，秩(B-E)=秩 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 = − − ， 可见有 秩(A-2E)+秩(A-E)= 秩(B-2E)+秩(B-E)=4，故应选(C). 【评注】 若 A ~ B ，则 f (A) ~ f (B) ，且相似矩阵有相同的行列式、相同的秩和相同 的特征值等性质. 见《数学复习指南》P.360 相似矩阵及其性质. （5）对于任意二事件 A 和 B (A) 若 AB ，则 A,B 一定独立. (B) 若 AB ，则 A,B 有可能独立. (C) 若 AB = ，则 A,B 一定独立. (D) 若 AB = ，则 A,B 一定不独立. [ B ] 【分析】 本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥事件之间没有必 然的互推关系. 【详解】 AB 推不出 P(AB)=P(A)P(B), 因此推不出 A,B 一定独立，排除(A); 若 AB = ，则 P(AB)=0，但 P(A)P(B)是否为零不确定，因此(C),(D) 也不成立，故正确选项 为(B). 【评注】当 P(A) 0 ,P(B) 0 时，若 A,B 相互独立，则一定有 P(AB) = P(A)P(B) 0 ， 从而有 AB . 可见，当 A,B 相互独立时，往往 A,B 并不是互斥的. 完全类似例题见《数学复习指南》P.415 第二大题第（7）小题. （6）设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，且它们不相关，则 (A) X 与 Y 一定独立. (B) (X,Y)服从二维正态分布. (C) X 与 Y 未必独立. (D) X+Y 服从一维正态分布. [ C ] 【分析】 本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系.只有 (X,Y) 服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的
【详解】只有当(XY)服从二维正态分布时,X与Y不相关分X与Y独立,本题仅 仅已知X和Y服从正态分布,因此,由它们不相关推不出X与Y一定独立,排除(A,若Ⅹ 和Y都服从正态分布且相互独立,则(X,Y)服从二维正态分布,但题设并不知道XY是否独 立,可排除(B);同样要求X与Y相互独立时,才能推出X+Y服从一维正态分布,可排除(D) 故正确选项为(C 【评注】①若X与Y均服从正态分布且相互独立,则(X,Y服从二维正态分布 ②若Ⅹ与Y均服从正态分布且相互独立,则aX+b}服从一维正态分布 ③若(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y相互独立→→X与Y不相关 完全类似结论见《数学复习指南》P458的注 三、(本题满分8分) sIn a /4 7(-x)x∈(O, 试补充定义f(0,使得f(x)在[O,一]上连续 【详解】 lm f(x)= +lim 74r-sin Ax 丌x-0· BaSIn z 2+ lim >ox-sin -- lim t-r cOS a T SIn 7a 丌 由于f(x)在(0,。]上连续,因此定义 f(0)=~1 使f(x)在[0,]上连续 【评注】本题实质上是一求极限问题,但以这种形式表现出来,还考查了连续的概念 完全类似例题在一般教科书上都可找到,或参见《文登数学全真模拟试卷》数学三P24第 四、(本题满分8分) 设u具有二阶连续偏导数,且满足,03f=1,又g(xy)=/1xy2(x2-y2)
6 【详解】 只有当(X,Y) 服从二维正态分布时，X 与 Y 不相关 X 与 Y 独立，本题仅 仅已知 X 和 Y 服从正态分布，因此，由它们不相关推不出 X 与 Y 一定独立，排除(A); 若 X 和 Y 都服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布，但题设并不知道 X,Y 是否独 立，可排除(B); 同样要求 X 与 Y 相互独立时，才能推出 X+Y 服从一维正态分布，可排除(D). 故正确选项为(C). 【评注】 ① 若 X 与 Y 均服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布. ② 若 X 与 Y 均服从正态分布且相互独立，则 aX + bY 服从一维正态分布. ③ 若(X,Y)服从二维正态分布，则 X 与 Y 相互独立 X 与 Y 不相关. 完全类似结论见《数学复习指南》P.458 的[注]. 三 、（本题满分 8 分） 设 ], 2 1 , (0, (1 ) 1 1 sin 1 ( ) − = − − x x x x f x 试补充定义 f(0),使得 f(x)在 ] 2 1 [0, 上连续. 【详解】 lim ( ) 0 f x x→ + = - . 1 + x x x x x sin sin lim 0 − → + = - 2 2 0 sin lim 1 x x x x − + → + = - x x x 2 0 2 cos lim 1 − + → + = - 2 2 0 2 sin lim 1 x x→ + + = - . 1 由于 f(x)在 ] 2 1 (0, 上连续，因此定义 1 f (0) = − ， 使 f(x)在 ] 2 1 [0, 上连续. 【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念. 完全类似例题在一般教科书上都可找到，或参见《文登数学全真模拟试卷》数学三 P.24 第 三题. 四 、（本题满分 8 分） 设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 1 2 2 2 2 = + v f u f ，又 ( )] 2 1 ( , ) [ , 2 2 g x y = f xy x − y
【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题:g=f(u,y),l=xy,v=(x2-y2), 直接利用复合函数求偏导公式即可,注意利用_可2f Quay ovau 详解】g=,②+x ag af af +2 f a2g2a2f,.02f,202ff 所以 (x2+y2)2+(x2+y2) 【评注】本题考查半抽象复合函数求二阶偏导 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四P67第六题和《数学复习指南》P171 【例720,7.22】 五、(本题满分8分) 计算二重积分 I=fe-(+y-x)sin(x2+y2)dxdy 其中积分区域D=(x,y)x2+y2≤ 【分析】从被积函数与积分区域可以看出,应该利用极坐标进行计算 【详解】作极坐标变换:x= rcos,y=rsnO,有 n(x+y )dxdy rdr 7
7 求 . 2 2 2 2 y g x g + 【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题： g = f (u,v) ， ( ) 2 1 , 2 2 u = xy v = x − y ， 直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用 . 2 2 v u f u v f = 【详解】 v f x u f y x g + = ， . v f y u f x y g − = 故 v f v f x u v f x y u f y x g + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ， 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v f v f y v u f x y u f x y g − + − = 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) v f x y u f x y y g x g + + = + + = . 2 2 x + y 【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四 P.67 第六题和《数学复习指南》P.171 【例 7.20,7.22】. 五 、（本题满分 8 分） 计算二重积分 sin( ) . ( ) 2 2 2 2 I e x y dxdy D x y = + − + − 其中积分区域 D= {( , ) }. 2 2 x y x + y 【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 【详解】 作极坐标变换： x = r cos , y = rsin ，有 I e e x y dxdy D x y sin( ) ( ) 2 2 2 2 = + − + = sin . 2 0 0 2 2 e d re r dr r − 令 2 t = r ，则
记A=e- sin tdt,则 A int de e-x+1-A. 因此A=(1+e-), (1+e)=(1+e) 评注】本题属常规题型,明显地应该选用极坐标进行计算,在将二重积分化为定积 分后,再通过换元与分步积分(均为最基础的要求),即可得出结果,综合考查了二重积分、 换元积分与分步积分等多个基础知识点 六、(本题满分9分) 设a>1,f(t)=a2-at在(-∞,+∞)内的驻点为(a)问a为何值时,t(a)最小?并求 出最小值 【分析】先由ft)的导数为零确定驻点ta),它是关于a的函数,再把此函数对a求导 然后令此导数为零,得到可能极值点,进一步判定此极值为最小值即可 【详解】由f()=aha-a=0,得唯一驻点 t(a)=1 hnhn a In In a 考察函数(a)=1-ha在a>1时的最小值令 In In a 1-In In a (n a) 得唯一驻点 a=e 当a>e时,t(a)>0:当a<e时,t(a)<0,因此t(e")=1--为极小值,从而
8 I e e tdt t sin 0 − = . 记 A e tdt t sin 0 − = ，则 t t A e de − − = − int 0 = [ sin cos ] 0 0 − − − − e t e tdt t t = − − 0 cos t tde = [ cos sin ] 0 0 e t e tdt t t − − − + = e +1− A. − 因此 (1 ) 2 1 − A = + e ， (1 ). 2 (1 ) 2 e e e I = + = + − 【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积 分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、 换元积分与分步积分等多个基础知识点. 六、（本题满分 9 分） 设 a>1， f t a at t ( ) = − 在 (−,+) 内的驻点为 t(a). 问 a 为何值时，t(a)最小？并求 出最小值. 【分析】 先由 f(t)的导数为零确定驻点 t(a)，它是关于 a 的函数，再把此函数对 a 求导， 然后令此导数为零，得到可能极值点，进一步判定此极值为最小值即可. 【详解】 由 f (t) = a ln a − a = 0 t ，得唯一驻点 . ln ln ln ( ) 1 a a t a = − 考察函数 a a t a ln ln ln ( ) = 1− 在 a>1 时的最小值. 令 0 (ln ) 1 ln ln (ln ) ln ln 1 1 ( ) 2 2 = − = − − = − a a a a a a a t a ， 得唯一驻点 . e a = e 当 e a e 时， t(a) 0 ；当 e a e 时， t(a) 0 ，因此 e t e e 1 ( ) = 1− 为极小值，从而
是最小值 【评注】本题属基本题型,只是函数表达式由驻点给出,求极值与最值的要求均是 最基本的 类似例题见《数学复习指南》P144【例6.11-12】 七、(本题满分9分) 设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1)B(1,0)的一段连续曲线,Mxy)为该曲线上任意 点,点C为M在x轴上的投影,O为坐标原点.若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为 ,求f(x)的表达式 【分析】梯形OCMA的面积可直接用梯形面积公式计算得到,曲边三角形CBM的面 积可用定积分计算,再由题设,可得一含有变限积分的等式,两边求导后可转化为一阶线性 微分方程,然后用通解公式计算即可 【详解】根据题意,有 5[1+f(x)]+f(dt=x 两边关于x求导,得 1+f(x)+=xf(x)-f(x) 当x≠0时,得 f(x)--f(x) 此为标准的一阶线性非齐次微分方程,其通解为 f(r=eI[ =elnxrfx2-1-In-sdx+C x( x+1+Cx 当ⅹ=0时,fO)=1 由于x=1时,f()=0,故有2C=0,从而C=2.所以 f(x)=x2+1-2x=(x-1 【评注】本题一阶线性微分方程的求解比较简单,一般教材中都可找到标准的求解方 法,完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P290第七题
9 是最小值. 【评注】 本题属基本题型，只是函数表达式由驻点给出，求极值与最值的要求均是 最基本的. 类似例题见《数学复习指南》P.144【例 6.11-12】. 七、（本题满分 9 分） 设 y=f(x) 是第一象限内连接点 A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一 点，点 C 为 M 在 x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形 OCMA 的面积与曲边三角形 CBM 的面积之和为 3 1 6 3 + x ，求 f(x)的表达式. 【分析】 梯形 OCMA 的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形 CBM 的面 积可用定积分计算，再由题设，可得一含有变限积分的等式，两边求导后可转化为一阶线性 微分方程，然后用通解公式计算即可. 【详解】 根据题意，有 3 1 6 [1 ( )] ( ) 2 1 3 + + = + x x f x f t dt x . 两边关于 x 求导，得 . 2 1 ( ) ( ) 2 1 [1 ( )] 2 1 2 + f x + xf x − f x = x 当 x 0 时，得 . 1 ( ) 1 ( ) 2 x x f x x f x − − = 此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 y ] 1 ( ) [ 1 2 1 e dx C x x f x e dx x dx x + − = − − − A = ] 1 [ ln 2 ln e dx C x x e x x + − − M = ) 1 ( 2 2 dx C x x x + − O C B x = 1 . 2 x + + Cx 当 x=0 时，f(0)=1. 由于 x=1 时，f(1)=0 ,故有 2+C=0，从而 C=-2. 所以 ( ) 1 2 ( 1) . 2 2 f x = x + − x = x − 【评注】 本题一阶线性微分方程的求解比较简单，一般教材中都可找到标准的求解方 法，完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.290 第七题
八、(本题满分8分) 设某商品从时刻0到时刻t的销售量为x(1)=kt,t∈[0,7](k>0).欲在T时将数量 为A的该商品销售完,试求 (1)t时的商品剩余量,并确定k的值 (2)在时间段[0,们上的平均剩余量 【分析】在时刻t的剩余量y(可用总量A减去销量x(t)得到;由于y(t)随时间连续变 化,因此在时间段[0,上的平均剩余量,即函数平均值可用积分 7y(1)d表示 【详解】(1)在时刻t商品的剩余量为 y(1)=A-x( A-kt,t∈[0,7 由A-kt=0,得 A k 因此 A y(1)=A--1,t∈[0,7 (2)依题意,y(1)在[0,T上的平均值为 TJo v(ndt 7(4、4 t)dt A 因此在时间段0,门上的平均剩余量为4 【评注】函数f(x)在[ab]上的平均值记为 f(x)dx 本题考查了函数平均值的概念,但大纲中只对数学一、二明确提出要求,而数学三、 四的考试大纲中没有相应的要求,因此本题有超纲的嫌疑 九、(本题满分13分) 设有向量组(1):a1=(10.2),a2=(113)3,a3=(1-1,a+2)和向量组() B1=(12.a+3),B2=(2.1,a+6),B3=(2a+4)y.试问:当a为何值时,向量组 (I)与(I)等价?当a为何值时,向量组(I)与(I)不等价? 【分析】两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示,而两个向量组不等价, 只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可.而线性表示问题又可转化为对应非 齐次线性方程组是否有解的问题,这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断一个向量B1是否
10 八、（本题满分 8 分） 设某商品从时刻 0 到时刻 t 的销售量为 x(t) = kt，t [0,T],(k 0). 欲在 T 时将数量 为 A 的该商品销售完，试求 (1) t 时的商品剩余量，并确定 k 的值； (2) 在时间段[0，T]上的平均剩余量. 【分析】 在时刻 t 的剩余量 y(t)可用总量 A 减去销量 x(t)得到; 由于 y(t)随时间连续变 化，因此在时间段[0,T] 上的平均剩余量，即函数平均值可用积分 T y t dt T 0 ( ) 1 表示. 【详解】 (1) 在时刻 t 商品的剩余量为 y(t) = A − x(t) = A− kt， t [0,T]. 由 A− kt =0，得 T A k = ， 因此 ( ) t, T A y t = A − t [0,T]. (2) 依题意， y(t) 在[0，T]上的平均值为 = T y t dt T y 0 ( ) 1 = − T t dt T A A T 0 ( ) 1 = . 2 A 因此在时间段[0，T] 上的平均剩余量为 . 2 A 【评注】 函数 f(x)在[a,b] 上的平均值记为 − b a f x dx b a ( ) . 1 本题考查了函数平均值的概念，但大纲中只对数学一、二明确提出要求，而数学三、 四的考试大纲中没有相应的要求，因此本题有超纲的嫌疑. 九、（本题满分 13 分） 设有向量组（I）： T (1,0,2) 1 = ， T (1,1,3) 2 = ， T (1, 1,a 2) 3 = − + 和向量组（II）： T (1,2,a 3) 1 = + ， T (2,1,a 6) 2 = + ， (2,1, 4) . 3 T = a + 试问：当 a 为何值时，向量组 （I）与（II）等价？当 a 为何值时，向量组（I）与（II）不等价？ 【分析】 两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示，而两个向量组不等价， 只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可. 而线性表示问题又可转化为对应非 齐次线性方程组是否有解的问题，这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断. 一个向量 1 是否