2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内 (1)设函数f(x)=m02+0m,则f(x)的零点个数() (B)1 (C)2 分析:f(x)=ln(2+x2)2x=2xn(2+x2) f"(x)=2ln(2+x2)+ 24x220,恒大于,所以(x)在(-∞,+∞)上是单调递增的 又因为0)=0,根据其单调性可知f(x)只有一个零点 (2)函数f(x,y)= arctan=在点(01)处的梯度等于() (4) 解:(4) 分析:由f=-= f(01)=;=1 f(0.l)=0 所以 gradf(0,1)=1×i+0×j=i (3)在下列微分方程中,以y=C1e2+C2C0s2x+C3Sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为 通解的是() (4)y+y2-4y-4y=0 (B)y"+y”+4y+4y=0 4y+4y=0 +4y-4y=0 第1页共13页
第 1 页 共 13 页 2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数 2 0 ( ) ln(2 ) x f x t dt = + ，则 f x ( ) 的零点个数（ ） ( A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 解： (B). 分析： 2 2 f x x x x x ( ) ln(2 ) 2 2 ln(2 ) = + = + 2 2 2 4 ( ) 2ln(2 ) 0 2 x f x x x = + + + ，恒大于 0，所以 f x ( ) 在 ( , ) − + 上是单调递增的. 又因为 f (0) 0 = ，根据其单调性可知 f x ( ) 只有一个零点. （2）函数 ( , ) arctan x f x y y = 在点 (0,1) 处的梯度等于（ ） ( A) i (B) -i (C) j (D) − j 解； ( A). 分析：由 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 , (0,1) 1. 1 1 x x y y y f f x x y x y y y = = = = = + + + 2 2 2 2 2 , (0,1) 0. 1 y y x y x f f x x y y − − = = = + + 所以 gradf i j i (0,1) 1 0 . = + = （3）在下列微分方程中，以 1 2 3 cos 2 sin 2 x y C e C x C x = + + （ 1 2 3 C C C , , 为任意常数）为 通解的是（ ） ( A) y y y y + − − = 4 4 0 . (B) y y y y + + + = 4 4 0 . (C) y y y y − − + = 4 4 0 . (D) y y y y − + − = 4 4 0 . 解： (D)
分析:由y=Ce+C2cos2x+C3sin2x可知其特征根为入=1,2;=±21 故对应的特征方程为(λ-1)(2+2i)(2-2)=(λ-1)(2+4) =A3+4-2-4 13-A2+4-4 所以所求微分方程为y-y+4y-4y=0,选(D) (4)设函数f(x)在(-O,+∞)内单调有界,{xn}为数列,下列命题正确的是() (4)若{xn}收敛,则{(x,)收敛 (B)若(x}单调,则{f(x)收敛 (C)若((x》收敛,则()收敛 D)若{(x)单调,则{x}收敛 解:(B) 分析若(x)单调,则由f(x)在(+)内单调有界知,(x)单调有界, 因此{()收皱应选(B) (5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若A3=0,则() (4)E-A不可逆,B+A不可逆 (B)E-A不可逆,E+A可逆 (C)E-A可逆,E+A可逆 (D)EA可逆,E+A不可逆 解:选(C) 分析:(E-4+4+)=E-A=E,(E+AE-A+)=E+A=E 故E-A,E+A均可逆 (6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(x,y,)A4y=1在正交变换下的标准方 程的图形如图,则A的正特征值个数为() 0 (B)1.( C)2 (D)3 解:选(B) 分析:此二次曲面为旋转双叶双曲面,此曲面的标准方程为x_y+二2 1,故A的正特 第2页共13页
第 2 页 共 13 页 分析；由 1 2 3 cos 2 sin 2 x y C e C x C x = + + 可知其特征根为 1 2,3 = = 1, 2i . 故对应的特征方程为 2 ( 1)( 2 )( 2 ) ( 1)( 4) − + − = − + i i 3 2 3 2 4 4 4 4 = + − − = − + − 所以所求微分方程为 y y y y − + − = 4 4 0 , 选 (D). （4）设函数 f x( ) 在 ( , ) − + 内单调有界， xn 为数列，下列命题正确的是（ ） ( A) 若 xn 收敛，则 f x( ) n 收敛. (B) 若 xn 单调，则 f x( ) n 收敛. (C) 若 f x( ) n 收敛，则 xn 收敛. (D) 若 f x( ) n 单调，则 xn 收敛. 解： (B) 分析：若 xn 单调，则由 f x( ) 在 ( , ) − + 内单调有界知， f x( ) n 单调有界， 因此 f x( ) n 收敛,应选 (B). （5）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵. 若 3 A = 0 ，则（ ） ( A) E A − 不可逆， E A + 不可逆. (B) E A − 不可逆， E A + 可逆. (C) E A − 可逆， E A + 可逆. (D) E A − 可逆， E A + 不可逆. 解：选 (C) 分析： 2 3 ( )( ) E A E A A E A E − + + = − = ， 2 3 ( )( ) E A E A A E A E + − + = + = 故 E A E A − + , 均可逆。 （6）设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 ( , , ) 1 x x y z A y z = 在正交变换下的标准方 程的图形如图，则 A 的正特征值个数为（ ） ( A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 解：选 (B) 分析：此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为 2 2 2 2 2 1 x y z a c + − = ，故 A 的正特
征值个数为1。 (7)设随机变量x,Y独立同分布且X分布函数为F(x),则Z=max{X,}分布函数为 (B)F(rF() (C)1-[1-F(x)] (D)[-F(x)-F(y)] 解:选(4) 分析 F()=P(s)=P{m{ks=P(x)P(s)=F()F(=)=F(=) (8)设随机变量XN01),YN(14)且相关系数py=1,则 (A)P(=-2X-1=1 (B)P{Y=2X-1}=1 CP{=-2X+l}=1 (D)P{=2X+1 分析:用排 设Y=aX+b,由px=1,知道X,y正相关,得a>0,排除(4)、(C) 由X~N(0,1)Y~N(14),得 EY=0,EY 1,E(Y)=E(aX+b)=aEX+b 1=a×0+b,b=1 排除(B 故选择(D) 二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上 (9)微分方程xy+y=0满足条件y()=1的解是y 解 分析:由 中=2,少=-时所以=,又y)=1,所以 (10)曲线sin(xy)+hn(y-x)=x在点(0.)处的切线方程为 第3页共13页
第 3 页 共 13 页 征值个数为 1。 （7）设随机变量 X Y, 独立同分布且 X 分布函数为 F x( ) ，则 Z X Y = max , 分布函数为 （ ） ( A) ( ) 2 F x . (B) F x F y ( ) ( ) . (C) ( ) 2 1 1 − − F x . (D) 1 1 − − F x F y ( ) ( ) . 解：选 ( A) 分析； F Z P Z z P X Y z ( ) = = ( ) max , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 = = = P X z P Y z F z F z F z （8）设随机变量 X N(0,1) ，Y N(1,4) 且相关系数 1 XY = ，则（ ） ( A) P Y X = − − = 2 1 1 . (B) P Y X = − = 2 1 1 . (C) P Y X = − + = 2 1 1 . (D) P Y X = + = 2 1 1 . 解：选 (D) 分析：用排除法 设 Y aX b = + ，由 1 XY = ，知道 X Y, 正相关，得 a 0 ，排除 ( A) 、(C) 由 X N Y N ~ (0,1), ~ (1,4) ，得 EX EY E Y E aX b aEX b = = = + = + 0, 1, ( ) ( ) 1 0 , 1 = + = a b b 排除 (B) 故选择 (D) 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）微分方程 xy y + = 0 满足条件 y (1 1 ) = 的解是 y = . 解： 1 y x = 分析；由 , , ln ln dy y dy dx y x dx x y x − = = − = − 所以 1 x y = ，又 y(1) 1 = ，所以 1 y x = . （10）曲线 sin ln ( xy y x x ) + − = ( ) 在点 (0,1) 处的切线方程为
分析:设F(x,y)=sm(y)+m(y-x)-x,斜率h=-21cO9(xy)+~~1 x cos(xy)+ 在(0,1)处,k=1,所以切线方程为y-1=x,即y=x+1 (1)已知幂级数∑an(x+2)在x=0处收敛,在x=4处发散,则幂级数∑an(x-3) 的收敛域为 解:(1,5] 分析:由题意知∑4(x+2)的收敛域为(-40],则∑ax的收敛域为(-22] 以4(x-3)的收敛域为(15 (12)设曲面∑是=√4-x2-y2的上侧,则|d+xdax+ x dxdy= 解:4 分析:小止+x+x山=小习+x+∫x ydxdyd:+lx'dxdy=0+x+y2dxdy Jo dejr'rdr=4T (13)设A为2阶矩阵,a1,a2为线性无关的2维列向量,Aa1=0,Aa2=2a1+a2,则A 的非零特征值为 分析:A(ax1,a2)=(ax,Aa2)=(0,2a1+a2)=(ax2a 记P=(a1,a2)P可逆,故PAP= =B 第4页共13页
第 4 页 共 13 页 解： y x = +1. 分析：设 F x y xy y x x ( , ) sin( ) ln( ) = + − − ，斜率 1 cos( ) 1 1 cos( ) x y y xy F y x k F x xy y x − + − − = − = + − ， 在 (0,1) 处， k =1，所以切线方程为 y x − =1 ，即 y x = +1 （11）已知幂级数 ( ) 0 2 n n n a x = + 在 x = 0 处收敛，在 x =−4 处发散，则幂级数 ( ) 0 3 n n n a x = − 的收敛域为 . 解： (1,5]. 分析：由题意知 0 ( 2)n n n a x = + 的收敛域为 ( 4,0] − ，则 0 n n n a x = 的收敛域为 ( 2,2] − . 所以 0 ( 3)n n n a x = − 的收敛域为 (1,5]. （12）设曲面 是 2 2 z x y = − − 4 的上侧，则 2 xydydz xdzdx x dxdy + + = . 解： 4 分析； 2 2 2 D D xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy x dxdy + + + = + + + 上 2 2 2 1 0 2 D D ydxdydz x dxdy x y dxdy = + = + + 上 上 2 2 2 0 0 1 4 2 d r rdr = = （13）设 A 为 2 阶矩阵， 1 2 , 为线性无关的 2 维列向量， 1 2 1 2 A A = = + 0, 2 ，则 A 的非零特征值为 . 解：1 分析： 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 ( , ) ( , ) (0,2 ) ( , ) 0 1 A A A = = + = 记 1 2 P P = ( , ), 可逆，故 1 0 2 0 1 P AP B − = =
A与B有相同的特征值E-B= A(λ-1),A12=0.,1,故非零的特征值为1 (14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则P{X=EX2 解:-e 分析:因为DX=E2-(EX)2,所以EX2=2,X服从参数为1的泊松分布, 所以P{X=2 三、解答题:15-23小题,共94分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 (15)(本题满分10分) Sinx 求极限lim AF: lim(sin x-sin sin x)sinx lim sin x-sinsinx cos x-cos(sin x).cos lim cos x(I-cos(sin x) lim sin(sin x). x 3x2 lim sinx (16)(本题满分10分) 计曲线积分n2+2(x-1)y,其中是曲线sn从点(0O)到点 (z,0)的段 AF: sin 2xdx+2(x-1)ydy=L [sin 2x+2(x-1).sin xcos xx Jo sin 2xdr+ o sin 2x.x'dx-'sin2xdx 21221-52x2 [z2 cos 2-0]+[2xcos2xdx 2SIn 2 第5页共13页
第 5 页 共 13 页 A 与 B 有相同的特征值 2 ( 1) 0 1 E B − − = = − − ， 1,2 = 0,1，故非零的特征值为 1。 （14）设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 2 P X EX = = . 解： 1 1 2 e − 分析；因为 2 2 DX EX EX = −( ) ，所以 2 EX = 2， X 服从参数为 1 的泊松分布， 所以 1 1 2 2 P X e− = = 三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分 10 分） 求极限 ( ) 4 0 sin sin sin sin lim x x x x → x − 解： 4 3 0 0 (sin sin sin )sin sin sin sin lim lim x x x x x x x → → x x − − = 2 0 cos cos(sin ) cos lim x 3 x x x → x − = 2 0 0 cos (1 cos(sin )) sin(sin ) cos lim lim x x 3 6 x x x x → → x x − = = 0 sin 1 lim x 6 6 x → x = = (16)（本题满分 10 分） 计算曲线积分 ( ) 2 sin 2 2 1 L xdx x ydy + − ，其中 L 是曲线 y x = sin 上从点 (0,0) 到点 (,0) 的一段. 解： 2 2 0 sin 2 2( 1) [sin 2 2( 1) sin cos ] L xdx x ydy x x x x dx + − = + − 2 0 0 0 sin 2 sin 2 sin 2 xdx x x dx xdx = + − 2 0 1 cos 2 2 x d x = − 2 0 1 [ cos2 2 cos2 ] 2 0 x x x xdx = − − 2 0 2 0 1 1 [ cos2 0] 2 cos2 2 2 1 1 2 sin 2 2 2 2 x xdx xd x = − − + = − +
+2 Jo xd sin2x +-lxsin 2. sin 2xdx (17)(本题满分10分) 已知曲线C 求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点 解: x+y+32= 得: 4x(y-5)+y2+20y-560=0 F(x,y24)=x2+y2-(x2-4 20y-50 2y-x(-4x+2y+20)=0 Q2=x2-4x(y-5)+y2+20y-50=0 √2 1,) (18)(本题满分10分) 函数(x)在[连续,F(x)=(O)d,证明F(x)在[ab可导,且 第6页共13页
第 6 页 共 13 页 2 0 2 0 0 2 0 2 1 sin 2 2 2 1 [ sin 2 sin 2 ] 2 2 1 1[ cos2 ] 2 2 2 2 xd x x x xdx x = − + = − + − = − + = − (17)（本题满分 10 分） 已知曲线 2 2 2 2 0 : 3 5 x y z C x y z + − = + + = ，求曲线 C 距离 XOY 面最远的点和最近的点. 解： 2 2 2 2 0 3 5 x y z x y z + − = + + = 得： 5 3 x y z − − = 2 2 2 5 2 0 3 x y x y − − + − = ( ) 2 2 x x y y y − − + + − = 4 5 20 50 0 ( ) ( ( ) ) 2 2 2 2 F x y x y x x y y y , , 4 5 20 50 = + − − − + + − 2 2 4 5 0 ( ( )) F x x y x = − − − = 2 4 2 20 0 ( ) F y x y y = − − + + = ( ) 2 2 4 5 20 50 0 F x x y y y = − − + + − = 1 5 , 1 5 x x y y = = − = = − 得： ( ) 2 2 max 5, 5 1 5 2 z x y − − = + = ( ) 2 2 min 1,1 1 1 2 z x y = + = . (18)（本题满分 10 分） 函数 f x( ) 在 a b, 连续， ( ) ( ) 0 x F x f t dt = ，证明 F x( ) 在 a b, 可导，且
证:设x获得增量Δx,其绝对值足够小,使得x+Δx∈(an,b),则F(x)(如图,图 中x>0)在x+△x处的函数值为:F(x+△x)=f( 由此得函数的增量 △F=F(x+△x)-F(x) 。(odh- So/(dt+ f()dt-/(dt 再应用积分中值定理,即有等式 △F=f()Ax 这里,在x与x+x之间,把上式两端各除以△x,得函数增量与自变量的比值 f(5) 由于假设f(x)连续,而Ax→0时,5→x,因此limf(5)=f(x)。于是,令Ax→0 △x→0 对上式两端取极限,左端的极限也应该等于f(x),故F(x)的导函数存在,并且 (19)(本题满分10分) f()=1-x用介弦级数展开,并求∑一的和 解:由f(x)为偶函数,则bn=0(n=1,2 cos nxdx-x cos ndx 2x2 0 第7页共13页
第 7 页 共 13 页 F x f x ( ) = ( ) . 证 ：设 x 获得增量 x ，其绝对值足够小，使得 x x a b + ( , ) ，则 F x( ) （如图，图 中 x 0 ）在 x x + 处的函数值为： 0 ( ) ( ) x x F x x f t dt + + = 由此得函数的增量 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x x F F x x F x f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt + + + = + − = − = + − = 再应用积分中值定理，即有等式 = F f x ( ) 这里， 在 x 与 x x + 之间，把上式两端各除以 x ，得函数增量与自变量的比值 ( ) F f x = 由于假设 f x( ) 连续，而 →x 0 时， → x ，因此 0 lim ( ) ( ) x f f x → = 。于是，令 →x 0 对上式两端取极限，左端的极限也应该等于 f x( ) ，故 F x( ) 的导函数存在，并且 F x f x ( ) ( ) = (19)（本题满分 10 分） ( ) 2 f x x = −1 ，用余弦级数展开，并求 ( ) 1 2 1 1 n n n + = − 的和 解：由 f x( ) 为偶函数，则 0 ( 1,2, ) n b n = = 对 n =1, 2, 0 2 ( )cos n a f x nxdx = 2 0 0 2 cos cos nxdx x nxdx = − 2 0 2 0 cos x nxdx = − 2 0 2 sin 2 sin 0 x nx x nx dx n n − = −
2r·(-1) (1-x2)dx=2(1 所以1-x2=a+ >a,cosnx 2 Shr 取x=0,得1=1--+ 4(-1) 所以 (20)(本题满分11分) A=a+BB,a,B是三维列向量,a为a的转置,为B的转置 (1)证r(4)≤2:(2)若a,B线性相关,则r(4< 解:①a,为三维列向量,则(a)≤1,r(B)≤1 r(A=r(a+)≤r(a)+r(BB)≤2 ②a,B线性相关,不妨设B=ka r(A=raaT+(ka)ka)'=(+k2)aa=r(aa)<1<2 (21)(本题满分11分) 设矩阵/3 ,现矩阵A满足方程AX=B,其中X=( B=(1,0,…,0) (1)求证|A4=(m+1)a 第8页共13页
第 8 页 共 13 页 2 2 2 ( 1)n n − = 2 4 ( 1)n n − = 2 2 0 0 2 (1 ) 2(1 ) 3 a x dx = − = − 所以 2 0 1 1 cos 2 n n a x a nx = − = + 2 2 1 4( 1) 1 cos 3 n n nx n = − = − + 取 x = 0 ，得 2 2 1 4( 1) 1 1 3 n n n = − = − + 所以 2 2 1 ( 1) 12 n n n = − = (20)（本题满分 11 分） T T A = + ， , 是三维列向量， T 为 的转置， T 为 的转置 （1）证 r A( ) 2 ；（2）若 , 线性相关，则 r A( ) 2 . 解：① , 为三维列向量，则 ( ) 1 T r ， ( ) 1 T r ( ) ( ) ( ) ( ) 2 T T T T r A r r r = + + ② , 线性相关，不妨设 = k ， 2 ( ) [ ( )( ) ] [(1 ) ] ( ) 1 2 T T T T r A r k k r k r = + = + = （21）（本题满分 11 分） 设矩阵 2 2 2 1 2 1 2 n n a a a A a a = ，现矩阵 A 满足方程 AX B = ，其中 ( 1 , , ) T X x x = n ， (1,0, ,0) T B = ， （1）求证 ( 1) n A n a = +
(2)a为何值,方程组有唯一解,求x1 (3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解 30 2a1 0 3 (n+1 ②方程组有唯一解 由4x=B,知A4≠0,又4=(+1)”,故a≠0 记A=Am由克莱姆法则知, 第9页共13页
第 9 页 共 13 页 （2） a 为何值，方程组有唯一解，求 1 x （3） a 为何值，方程组有无穷多解，求通解 解：① 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 2 1 0 1 2 2 2 1 1 2 2 a a a a a a a A a a a a a a = = 2 1 3 0 1 2 4 0 3 4 ( 1) 3 2 ( 1) 2 3 1 ( 1) 0 n a a a a a n a a n a n n a n + = = = + + ②方程组有唯一解 由 Ax B = ，知 A 0 ，又 ( 1) n A n a = + ，故 a 0。 记 A A = n n ，由克莱姆法则知， 2 2 1 ( 1) ( 1) 1 2 2 2 1 1 0 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 n n n n a a a A a a A x A A a a a a a a a − − = = =
n-1)×(n-1) (n+1)a”(n+1) 2 ③方程组有无穷多解 由4=0,有a=0.则(A|B) 0 ,故r(41B)=(4)=n-1 x2 Ax=0的同解方程组为 k(L00.0),k为任意常数。 又 01 0|=0,故可取特解为n=0 0八0)0 所以Ax=B的通解为k0+0,k为任意常数。 0)(0 (22)(本题满分11分) 设随机变量X与F相互独立,X的概率分布为P{X=}=(i=-1,0,1),Y的概 密度为f(y)= 0≤y51,记Z=X+F 0其它 第10页共13页
第 10 页 共 13 页 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 n n a a a a a a a a a a a a a a − − = 1 ( 1) ( 1) n n na n n a n a − = = + + ③方程组有无穷多解 由 A = 0 ，有 a = 0 ，则 ( ) 0 1 1 0 1 0 | 0 0 1 0 0 A B = ，故 r A B r A n ( | 1 ) = = − ( ) Ax = 0 的同解方程组为 2 3 0 0 0 n x x x = = = ，则基础解系为 (1,0,0, ,0) T k ，k 为任意常数。 又 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 = ，故可取特解为 0 1 0 0 = 所以 Ax B = 的通解为 1 0 0 1 0 0 , 0 0 k k + 为任意常数。 （22）（本题满分 11 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立， X 的概率分布为 ( ) 1 1,0,1 3 P X i i = = = − ，Y 的概率 密度为 ( ) 1 0 1 0 Y y f y = 其它 ，记 Z X Y = +