§7克拉默法则
§7 克拉默法则
二元线性方程组 122 若令 D 2(方程组的系数行列式) 22 21 则上述二元线性方程组的解可表示为 b, 1142-12u21 b 121 1122
二元线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b a x a x b + = + = 若令 11 12 21 22 a a D a a = 12 1 1 2 22 b b a D a = 1 2 2 11 21 a b D a b = (方程组的系数行列式) 则上述二元线性方程组的解可表示为 1 22 12 2 1 1 11 22 12 21 D D b a a b x a a a a = − = − 11 2 1 21 2 2 11 22 12 21 a b b a D x a a a a D − = = −
克拉默法则 如果线性方程组 aux +aux2 +.+ann=b a2r+a22x2+.+a2nxm,=b2 a n22 +∴+a.x.=b nn n 12 In 的系数行列式不等于零,即D=122 2n n
一、克拉默法则 如果线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 的系数行列式不等于零，即 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a D a a a =
那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的,解可以表示成 D D D D 其中D是把系数行列式咖第列的元素用方程组右端的常数 项代替后所得到的阶行列式,即 In
1 2 2 1 2 3 , , , , . (2) n n D D D D x x x x D D D D = = = = 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数 项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n 11 1, 1 1, 1 1 1 , 1 , 1 j j n 1 j n n j n j nn n a a a a D a a a a b b − + − + = 那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成
定理中包含着三个结论: 方程组有解;(解的存在性) °解是唯一的;(解的唯一性) °解可以由公式(2)给出 这三个结论是有联系的.应该注意,该定理所讨论的只是系 数行列式不为零的方程组,至于系数行列式等于零的情形, 将在第三章的一般情形中一并讨论
定理中包含着三个结论： •方程组有解；（解的存在性） •解是唯一的；（解的唯一性） •解可以由公式(2)给出. 这三个结论是有联系的. 应该注意，该定理所讨论的只是系 数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形， 将在第三章的一般情形中一并讨论
关于克拉默法则的等价命题 设 1x1+a12x2+…+1nxn=b1 21x1+a2x2+…+a2nxn=b2 (1) aux,+an2x2+.+amnxn=b 定理4如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,则该 线性方程组一定有解而且解是唯一的 定理4如果线性方程组无解或有两个不同的解,则它的系 数行列式必为零
关于克拉默法则的等价命题 定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该 线性方程组一定有解,而且解是唯一的 . 定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系 数行列式必为零. 设 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + =
例解线性方程组 2x,+ 5x2+x=8 3. 6x4=9, 2. +2x,=-5 x1+4x2-7x3+6x4=0. 解 q7-513 30-6 D 02-12/r-2r2=2-12 4-76 7-712
例 解线性方程组 1 2 3 4 1 2 4 2 3 4 1 2 3 4 2 5 8, 3 6 9, 2 2 5, 4 7 6 0. x x x x x x x x x x x x x x + − + = − − = − + = − + − + = 解 2 1 5 1 1 3 0 6 0 2 1 2 1 4 7 6 D − − − = − − 1 2 r r − 2 4 2 r r − 0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12 − − − − −
7-513 3-53 2-1 2/C+2 0-10=27≠0 7-712 c,+2 81-51 28-51 9-30-6 90-6 D 52-12 0-5-12 04-76 81 108
7 5 13 2 1 2 7 7 12 − = − − − 1 2 c c + 2 3 2 c c + 2 3 5 3 0 1 0 772 − − − − −−− 1 8 1 5 1 9 3 0 6 5 2 1 2 0 4 7 6 81 D − − − = − − − = 2 2 8 5 1 1 9 0 6 0 5 1 2 1 0 7 6 = 108 D − − = − − − − = 27 0
218 21-58 1-39-6 309 D 02-52 02-1-5 1406 14-70 =-27 =27 D,81 D,-108 D27 D27 D,-27 D,27 D27 D27
3 2 1 8 1 1 3 9 6 0 2 5 2 1 4 0 6 27 D − − = − = − 4 2 1 5 8 1 3 0 9 0 2 1 5 1 4 7 0 27 D − − = − − − = 1 1 81 3, 27 D x D = = = 2 2 108 4, 27 D x D − = = = − 3 3 27 1, 27 D x D − = = = − 4 4 27 1. 27 D x D = = =
r tax 11~1 12 +∴+1x.=b nn l1X1十a b 线性方程组 22 22 nn n1 +an2x2+…+anm1n 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组,否则 称为非齐次线性方程组 齐次线性方程组总是有解的,因为(0,0,…0)就是一个解 称为零解.因此,齐次线性方程组一定有零解,但不一定 有非零解 我们关心的问题是,齐次线性方程组除零解以外是否存 在着非零解
线性方程组 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则 称为非齐次线性方程组. 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…, 0)就是一个解， 称为零解. 因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定 有非零解. 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存 在着非零解