同济大学：《线性代数》课程PPT教学课件（第五版）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（3.3）线性方程组的解

53线性方程组的解

§3 线性方程组的解

线性方程组的表达式 1.一般形式 2.增广矩阵的形式 3x,+4x,-x,=5 34-15 x,+2 1-12 3.向量方程的形式 4.向量组线性组合的形式 34-1 )x6)+((2)1 方程组可简化为AX=b

一、线性方程组的表达式 1. 一般形式 3. 向量方程的形式 方程组可简化为 AX = b ． 2. 增广矩阵的形式 4. 向量组线性组合的形式 1 2 3 1 2 3 3 4 5 2 1 x x x x x x  + − =   − + = − 3 4 1 5 1 1 2 1   −     − − 1 2 3 3 4 1 5 1 1 2 1 x x x       −       =       − −     1 2 3 3 4 1 5 1 1 2 1 x x x         −         + + =         − −

、线性方程组的解的判定 m、n不 设有n个未知数m个方程的线性方程组 定相等! 1X1+a1 a21x1+a2x2+…+a2nn=b2 +a t22 mn n 定义:线性方程组如果有解,就称它是相容的;如果无解, 就称它是不相容的 问题1:方程组是否有解? 问题2:若方程组有解,则解是否唯一? 问题3:若方程组有解且不唯一,则如何掌握解的全体?

二、线性方程组的解的判定 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  定义：线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解， 就称它是不相容的． 问题1：方程组是否有解？ 问题2：若方程组有解，则解是否唯一？ 问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？ m、n 不一 定相等！

定理:n元线性方程组Ax=b ①无解的充分必要条件是R(4)<R(A,b); ②有唯一解的充分必要条件是R(4)=R(A,b)=n; ③有无限多解的充分必要条件是R(4)=R(4,b)<n 分析:只需证明条件的充分性,即 R(4)<R(4,b)→无解; R(4)=R(4,b)=n→唯一解 R(A)=R(4,b)<n→无穷多解 那么 √无解→R(4)<R(A,b) √唯一解→R(4)=R(4,b)=n √无穷多解→R(4)=R(A,b)<n

定理：n 元线性方程组 Ax = b ① 无解的充分必要条件是 R(A) < R(A, b)； ② 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； ③ 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n ． 分析：只需证明条件的充分性，即 • R(A) < R(A, b) 无解； • R(A) = R(A, b) = n 唯一解； • R(A) = R(A, b) < n 无穷多解． 那么 ✓ 无解 R(A) < R(A, b) ； ✓ 唯一解 R(A) = R(A, b) = n ； ✓ 无穷多解 R(A) = R(A, b) < n ．      

证明:设R(4)=r,为叙述方便,不妨设B=(A,b)的行最 简形矩阵为 10 n-P 0 b 00∴1b B 00 00 00∴00 00R(4)≤R(A,b)≤R(4)+1 00 00 前r列后n-r列 第一步:往证R(4)<R(4,b)→无解 着R(4)<R(4,b),即R(4,b)=R(4)+1,则d1=1 于是第r+1行对应矛盾方程0=1,故原线性方程组无解

证明：设 R(A) = r ，为叙述方便，不妨设 B = (A, b) 的行最 简形矩阵为 第一步：往证 R(A) < R(A, b) 无解． 若 R(A) < R(A, b) ，即 R(A, b) = R(A)＋1，则 dr+1 = 1 ． 于是 第 r +1 行对应矛盾方程 0 = 1，故原线性方程组无解． 11 1, 1 21 2, 2 ,1 , 1 ( 1) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n r n r r r n r r r m n b b d b b d b b d B d − − − +  +     =    R(A) ≤ R(A, b) ≤ R(A)＋1 前 r 列 后 n - r 列

10…0bn…bn4)B对应的线性方程组为 0 d2 00 .di 00 0 00 0 00 0 r列 后n-r列 第二步:往证R(4)=R(4,b)=n→唯一解 若R4)=R(4,b)=n,则d1=0且r=n,从而b都不出现 故原线性方程组有唯一解

前 nr 列 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B       =        1 2 ( 1) 0 0 0 n m n d d d  +              第二步：往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解． 若 R(A) = R(A, b) = n， 故原线性方程组有唯一解．  后 n - r 列 则 dr+1 = 0 且 r = n， 对应的线性方程组为 1 1 2 2 , , . n n x d x d x d  =   =    =  B 从而 bij 都不出现. 11 1, 21 2, ,1 , 0 0 0 0 0 0 n r n r r r n r b b b b b b − − − 1 2 1 ( 1) 0 0 r r m n d d d d +  +             

0 m-P 0b2 00 B 00 00 0 d 00 00 0 00 00 00 mx(n+1) 前r列 后n-r列 第三步:往证R(4)=R(4,b)<n→无穷多解 若R(4)=R(4,b)<n,即r<n,则dr+1=0 B对应的线性方程组为

第三步：往证 R(A) = R(A, b) < n 无穷多解． 若 R(A) = R(A, b) < n ， 对应的线性方程组为  前 r 列 则 dr+1 = 0 . 后 n - r 列 即 r < n ， 11 1, 1 21 2, 2 ,1 , 1 ( 1) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n r n r r r n r r r m n b b d b b d b b d B d − − − +  +     =   1 11 1 1, 1 2 21 1 2, 2 1 1 , , , . r n r n r n r n r r r r n r n r x b x b x d x b x b x d x b x b x d + − + − + −  + + + =   + + + =    + + + =  B

+b, l1"r+1 十…十 b, b,x,,+…+b,x=d +b,x,+∴+b.x.=d 令x严1,…xn作自由变量,则 +d1 线性方程组 b,x +d 的通解 再令x1=C1, xI CI bu-C-+d, .c+d …十c 十

1 11 1 1, 1 2 21 1 2, 2 1 1 , , , . r n r n r n r n r r r r n r n r x b x b x d x b x b x d x b x b x d + − + − + −  + + + =   + + + =    + + + =  1 11 1 1, 1 2 21 1 2, 2 1 1 , , , . r n r n r n r n r r r r n r n r x b x b x d x b x b x d x b x b x d + − + − + −  = − − − +   = − − − +    = − − − +  令 xr+1, …, xn 作自由变量，则 再令 xr+1 = c1 , xr+2 = c2 , …, xn = cn-r ，则 1 11 1 1, 1 1 1 , 1 1 n r n r r r r n r n r r r n n r x b c b c d x b c b c d x c x c − − − − + −     − − − +     − − − + =     11 1, 1 1 , 1 1 0 0 0 1 0 n r r r n r r n r b b d b b d c c − − −       − −       − − = + + +       线性方程组 的通解

例:求解非齐次线性方程组 2x1-x2-x3+x=2, +x,-2x, 4x1-6x2+2x3-2 3x,+6X,-9x,+7x,=9 2-1-112(10-104 解:B 4-62-240001-3 R(4)=R(A,b)=3<4,故原线性方程组有无穷多解

例：求解非齐次线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2, 2 4, 4 6 2 2 4, 3 6 9 7 9. x x x x x x x x x x x x x x x x  − − + =   + − + =  − + − =   + − + =  2 1 1 1 2 1 0 1 0 4 1 1 2 1 4 0 1 1 0 3 ~ 4 6 2 2 4 0 0 0 1 3 3 6 9 7 9 0 0 0 0 0 r B     − − −     − −     =     − − −         − 解： R(A) = R(A, b) = 3 < 4，故原线性方程组有无穷多解．

2-1-112 0-104 解(续):B= 1-214 ① 0 即得与原方程组同解的方程组 3. 令x3做自由变量,则{x2=x3+3, -3 2 3 方程组的通解可表示为 0

2 1 1 1 2 1 0 1 0 4 1 1 2 1 4 0 1 1 0 3 ~ 4 6 2 2 4 0 0 0 1 3 3 6 9 7 9 0 0 0 0 0 r B     − − −     − −     =     − − −         − 解（续）： 即得与原方程组同解的方程组 令 x3 做自由变量，则 方程组的通解可表示为 ． 1 3 2 3 4 4, 3, 3. x x x x x  − =   − =   = − 1 3 2 3 4 4, 3, 3. x x x x x  = +   = +   = − 1 2 3 4 1 4 1 3 1 0 0 3 x x c x x                   = +                   −