§2向量组的线性相关性
§2 向量组的线性相关性
回顾:向量组的线性组合 定义:给定向量组A:a,a2,…,am,对于任何一组实数k1, k2,…,kn,表达式 a1+k2a2+…+kn 称为向量组A的一个线性组合 k1,k2,…,.kn称为这个线性组合的系数 定义:给定向量组A:a1,a2…,am和向量b,如果存在一组 实数41,A2,…,礼m,使得 b=孔1a1+A22+…+ 则称向量b能由向量组A的线性表示
回顾：向量组的线性组合 定义：给定向量组 A：a1 , a2 , …, am ， 对于任何一组实数 k1 , k2 , …, km ，表达式 k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1 , k2 , …, km 称为这个线性组合的系数． 定义：给定向量组 A：a1 , a2 , …, am 和向量 b，如果存在一组 实数 l1 , l2 , …, l m ，使得 b = l1a1 + l2a2 + … + l mam 则称向量 b 能由向量组 A 的线性表示．
引言 问题1:给定向量组A,零向量是否可以由向量组A线性表 问题2:如果零向量可以由向量组A线性表示,线性组合的 系数是否不全为零?
引言 问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表 示？ 问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的 系数是否不全为零？
P83定理1的结论: 向量b能由 线性方程组 向量组A Ax= b R(A=R(A,b) 线性表示 有解 向题1:给定向量组A,零向量是否可以由向量组A线性表示? 问题1:齐次线性方程组Ax=0是否存在解? 回答:齐次线性方程组Ax=0一定存在解 事实上,可令k1=k2 kn=0,则 k1a1+k2a2+….+knm=0(零向量)
R A R A b ( ) ( , ) = 向量b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 P.83 定理1 的结论： 问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表示？ 问题1′：齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解？ 回答：齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解． 事实上，可令k1 = k2 = … = km =0 ，则 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量）
问题2:如果零向量可以由向量组A线性表示,线性组合的系数 是否不全为零? 问题2:齐次线性方程组Ax=0是否存在非零解? 回答:齐次线性方程组不一定有非零解,从而线性组合的系数 不一定全等于零 00 例:设E=(e1,e2,e3) 100 若k1+k1e2+k23=k100((k3)(0 +k30|=k2=0 则k1=k2=k3=0
问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的系数 是否不全为零？ 问题2′：齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在非零解？ 回答：齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数 不一定全等于零． 例：设 ( 1 2 3 ) 1 0 0 , , 0 1 0 0 0 1 E e e e = = 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 k k e k e k e k k k k k + + = + + = = 若 则 k1 = k2 = k3 =0 ．
向量组的线性相关性 定义:给定向量组A:a1a2 I 如果存在不全为零的实 数k1,k2,…,km,使得 k 11 k2a2+…+knm2=0(零向量) 则称向量组A是线性相关的,否则称它是线性无关的. 向量组 m元齐次线性方程组 A:a1,a2,…,am Ax=o R(4)<m 线性相关 有非零解
向量组的线性相关性 定义：给定向量组 A：a1 , a2 , …, am ，如果存在不全为零的实 数 k1 , k2 , …, km ，使得 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量） 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它是线性无关的． 向量组 A：a1 , a2 , …, am 线性相关 m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解 R(A) < m
备注: 口给定向量组A,不是线性相关,就是线性无关,两者必居其 口向量组A:a1,a2,…,an线性相关,通常是指m≥2的情形 口若向量组只包含一个向量:当a是零向量时,线性相关; 当a不是零向量时,线性无关 口向量组A:a,a2,…,am(m≥2)线性相关,也就是向量组 中,至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示 特别地, 啼a1,a2线性相关当且仅当a1,a2的分量对应成比例,其几 何意义是两向量共线 a1,a2,a3线性相关的几何意义是三个向量共面
备注： 给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其 一． 向量组 A：a1 , a2 , …, am 线性相关，通常是指 m ≥2 的情形. 若向量组只包含一个向量：当 a 是零向量时，线性相关； 当 a 不是零向量时，线性无关． 向量组 A：a1 , a2 , …, am (m ≥2) 线性相关，也就是向量组 A 中，至少有一个向量能由其余 m－1 个向量线性表示． 特别地， a1 , a2 线性相关当且仅当 a1 , a2 的分量对应成比例，其几 何意义是两向量共线． a1 , a2 , a3 线性相关的几何意义是三个向量共面．
向量组线性相关性的判定(重点、难点) 向量组A:a1,a2…,an线性相关 存在不全为零的实数k1,k2…,km,使得 k1a1+k2a2+…+knm=0(零向量) m元齐次线性方程组Ax=0有非零解 ○矩阵4=(a,a,…,am)的秩小于向量的个数m 向量组A中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性 表示
向量组线性相关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1 , a2 , …, am 线性相关 存在不全为零的实数 k1 , k2 , …, km ，使得 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量） ． m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解． 矩阵A = (a1 , a2 , …, am ) 的秩小于向量的个数 m ． 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m－1 个向量线性 表示．
向量组线性关性的判定(重点、难点) 向量组A:a1,a2…,an线性关 癖不途为尽的实数体k2,向得,则必有 k1a1+k2k2+k2+kn/G元n(眼向量) m元齐次线性方程组Ax=0有零解 ○矩阵4=(a,a,…,am)的秩于向量的个数m 向量组A中有个南量羅能会m个向量线线 我示
向量组线性相关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1 , a2 , …, am 线性相关 存在不全为零的实数 k1 , k2 , …, km ，使得 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量） ． m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解． 矩阵A = (a1 , a2 , …, am ) 的秩小于向量的个数 m ． 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m－1 个向量线性 表示． 向量组线性无关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1 , a2 , …, am 线性无关 如果 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量），则必有 k1 = k2 = … = km =0 ． m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解． 矩阵A = (a1 , a2 , …, am ) 的秩等于向量的个数 m ． 向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m－1 个向量线 性表示．
例:试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性 例:已知a1 2 试讨论向量组a1,a2,a3及向量组a1,a2的线性相关性 解 124|~022 5 000 可见R(a1,a2,a3)=2,故向量组a1,a2,a3线性相关; 同时,R(a1,a2)=2,故向量组a1,a2线性无关
例：试讨论 n 维单位坐标向量组的线性相关性． 例：已知 试讨论向量组 a1 , a2 , a3 及向量组a1 , a2 的线性相关性． 解： 可见 R(a1 , a2 , a3 ) = 2，故向量组 a1 , a2 , a3 线性相关； 同时，R(a1 , a2 ) = 2，故向量组 a1 , a2 线性无关． 1 2 3 1 0 2 1 , 2 , 4 , 1 5 7 a a a = = = 1 0 2 1 0 2 1 2 4 ~ 0 2 2 1 5 7 0 0 0 r