文登学校 以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过 2005年数学二试题分析、详解和评注 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)设y=(1+snx),则d -nx 【分析】本题属基本题型,幂指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或 取对数后转化为隐函数求导 【详解】方法一:y=(1+sinx)2=ex),于是 y'=erIn(+sinx).[n(1+sin x)+x COS x + sin x 从而d=y(x)dkx=-mb 方法二:两边取对数,hy=xh(1+snx),对x求导,得 X cosx y=h(1+sin x)+ 1+sn x 于是y=(1+sinx)2[ln(1+snx)+x c0Sx1,故 y(r dx=-tdx 【评注】幂指函数的求导问题,既不能单纯作为指数函数对待,也不能单纯作为幂函 数,而直接运用相应的求导公式 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P55【例2.15】 +x)2 (2)曲线y= 的斜渐近线方程为y=x+ 【分析】本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可 【详解】因为a=mf()=m(+x) x√x b=lm[(x)-ax」=lm +x)2-x23 于是所求斜渐近线方程为y=x+ 【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线,是基本要求,应熟练掌握。这 里应注意两点:1)当存在水平渐近线时,不需要再求斜渐近线;2)若当x→∞时,极限 a=lm(不存在,则应进一步讨论x→+或x→∞的情形,即在右或左侧是否存
文登学校 1 以下题型均在 05 年考研文登数学辅导班中讲过 2005 年数学二试题分析、详解和评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）设 x y = (1+ sin x) ，则 x= dy = −dx . 【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或 取对数后转化为隐函数求导. 【详解】 方法一： x y = (1+ sin x) = x ln(1 sin x) e + ，于是 ] 1 sin cos [ln(1 sin ) ln(1 sin ) x x y e x x x x + = + + + ， 从而 x= dy = y ( )dx = −dx. 方法二： 两边取对数， ln y = x ln(1+ sin x) ，对 x 求导，得 x x x y x y 1 sin cos ln(1 sin ) 1 + = + + ， 于是 ] 1 sin cos (1 sin ) [ln(1 sin ) x x y x x x x + = + + + ，故 x= dy = y ( )dx = −dx. 【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函 数，而直接运用相应的求导公式. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.55【例 2.15】 （2） 曲线 x x y 2 3 (1+ ) = 的斜渐近线方程为 2 3 y = x + . 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为 a= 1, (1 ) lim ( ) lim 2 3 = + = →+ →+ x x x x f x x x 2 (1 ) 3 lim ( ) lim 2 3 2 3 = + − = − = →+ →+ x x x b f x ax x x ， 于是所求斜渐近线方程为 . 2 3 y = x + 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这 里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当 x → 时，极限 x f x a x ( ) lim → = 不存在，则应进一步讨论 x → + 或 x →− 的情形，即在右或左侧是否存
文登学校 在斜渐近线,本题定义域为x>0,所以只考虑x→+∞的情形 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P192【例732】 (3) 【分析】作三角代换求积分即可 【详解】令x=snt,则 xdx sin t cos t (2-x2)1-x21(2-sn21)cost d cost =-arctan(cos t) 1+cos t 【评注】本题为广义积分,但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等. 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P130【例454】 (4)微分方程xy+2y=xhx满足y(1)=-的解为y3+ x 【分析】直接套用一阶线性微分方程y+P(x)y=Q(x)的通解公式 y=e)x))+] 再由初始条件确定任意常数即可 【详解】原方程等价为 y+-y=Inx 于是通解为y=c血xck+门=订xhx+门 =-xInx--x+C 由y(1)=-a得C=0,故所求解为y=x 【评注】本题虽属基本题型,但在用相关公式时应注意先化为标准型.另外,本题也 可如下求解:原方程可化为 x2y+2xy=x2hx,即[x2y=x2hx,两边积分得 xy=「x2 In xdr 1 再代入初始条件即可得所求解为y+hx-x 完全类似公式见《数学复习指南》(理工类)P154
文登学校 2 在斜渐近线，本题定义域为 x>0，所以只考虑 x → + 的情形. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.192【例 7.32】 （3） = − − 1 0 2 2 (2 x ) 1 x xdx 4 . 【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令 x = sin t ，则 = − − 1 0 2 2 (2 x ) 1 x xdx − 2 0 2 (2 sin ) cos sin cos dt t t t t = . 4 arctan(cos ) 1 cos cos 2 0 2 0 2 = − = + − t t d t 【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.130【例 4.54】 （4） 微分方程 xy + 2y = x ln x 满足 9 1 y(1) = − 的解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x . 【分析】直接套用一阶线性微分方程 y + P(x) y = Q(x) 的通解公式： + = − [ ( ) ] ( ) ( ) y e Q x e dx C P x dx P x dx ， 再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为 y x x y ln 2 + = ， 于是通解为 + = + = − [ ln ] 1 [ ln ] 2 2 2 2 x xdx C x y e x e dx C d x x d x x = 2 1 9 1 ln 3 1 x x x − x + C ， 由 9 1 y(1) = − 得 C=0，故所求解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x 【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也 可如下求解：原方程可化为 x y 2xy x ln x 2 2 + = ，即 [x y] x ln x 2 2 = ，两边积分得 x y = x xdx = x x − x + C 2 2 3 3 9 1 ln 3 1 ln ， 再代入初始条件即可得所求解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x 完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.154
学校 (5)当x→>0时,(x)=kx2与B(x)=√1+ x arcsin x-√cosx是等价无穷小,则 【分析】题设相当于已知lmnB(x)=1,由此确定k即可 【详解】由题设,mB(x)=my+ arcsin- Vcos I+0 a(x)I+0 x arcsin x+1-cos x lim 3如 x arcs x+1-cosx3 1,得k= 4k 【评注】无穷小量比较问题是历年考查较多的部分,本质上,这类问题均转化为极限 的计算 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P38【例162-63】 (6)设a12a2,a3均为3维列向量,记矩阵 A=(a1,a2,a3),B=(a1+a2+a3,a1+2a2+4a3,a1+3a2+9a3), 如果A=1,那么团= 【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 可 【详解】由题设,有 B ,+c,+C 3:1 +2a,+4a2,a1+3a,+9a (a 3123 于是有=1423=1×2=2 【评注】本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示,关键是将其 转化为用矩阵乘积形式表示。一般地,若 B1=a1a1+a12a2+…+a1nn, B2
文登学校 3 （5）当 x →0 时， 2 (x) = kx 与 (x) = 1+ x arcsin x − cos x 是等价无穷小，则 k= 4 3 . 【分析】 题设相当于已知 1 ( ) ( ) lim 0 = → x x x ，由此确定 k 即可. 【详解】 由题设， 2 0 0 1 arcsin cos lim ( ) ( ) lim k x x x x x x x x + − = → → = ( 1 arcsin cos ) arcsin 1 cos lim 2 0 kx x x x x x x x + + + − → = 2k 1 1 4 arcsin 1 cos 3 lim 2 0 = = + − → x k x x x x ，得 . 4 3 k = 【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限 的计算. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.38【例 1.62~63】 （6）设 1 2 3 , , 均为 3 维列向量，记矩阵 ( , , ) A = 1 2 3 ， ( , 2 4 , 3 9 ) B = 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 ， 如果 A = 1 ，那么 B = 2 . 【分析】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 可. 【详解】 由题设，有 ( , 2 4 , 3 9 ) B = 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 = 1 4 9 1 2 3 1 1 1 ( , , ) 1 2 3 ， 于是有 1 2 2. 1 4 9 1 2 3 1 1 1 B = A = = 【评注】 本题相当于矩阵 B 的列向量组可由矩阵 A 的列向量组线性表示，关键是将其 转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若 1 = a111 + a12 2 ++ a1n n ， 2 = a211 + a22 2 ++ a2n n
学校 B 则有DB1B2…Bn]=[a a12a22 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P356【例15】 、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数f(x)=lm+|”,则fx)在(-∞2+∞)内 (A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点 【分析】先求出fx)的表达式,再讨论其可导情形 详解1当|1时,f(x)=lm(+1)= x3,x1 【评注】本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P56【例2.20】 (8)设F(x)是连续函数fx)的一个原函数,"MN"表示“M的充分必要条件是 则必有 (A)F(x)是偶函数fx)是奇函数 (B)F(x)是奇函数分→f(x)是偶函数 (C)F(x)是周期函数兮f(x)是周期函数 (D)F(x)是单调函数→f(x)是单调函数 【分析】本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案 【详解】方法一:任一原函数可表示为F(x)=f()d+C,且Fx)=f(x) 当F(x)为偶函数时,有F(-x)=F(x),于是F(-x)(-1)=F(x),即-f(-x)=f(x)
文登学校 4 m = am11 + am2 2 ++ amn n ， 则有 , , , . 1 2 12 22 2 11 21 1 1 2 1 2 = n n mn m m m n a a a a a a a a a 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.356【例 1.5】 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数 n n n f x x 3 ( ) = lim 1+ → ，则 f(x)在 (−,+) 内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出 f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当 x 1 时， ( ) lim 1 1 3 = + = → n n n f x x ； 当 x =1 时， ( ) = lim 1+1 =1 → n n f x ； 当 x 1 时， 1) . 1 ( ) lim ( 3 1 3 3 x x f x x n n n = + = → 即 1. 1 1, 1, , 1, , ( ) 3 3 − − − = x x x x x f x 可见 f(x)仅在 x= 1 时不可导，故应选(C). 【评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.56【例 2.20】 （8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， "M N" 表示“M 的充分必要条件是 N”， 则必有 (A) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数 f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为 = + x F x f t dt C 0 ( ) ( ) ，且 F(x) = f (x). 当 F(x)为偶函数时，有 F(−x) = F(x) ，于是 F(−x)(−1) = F(x) ，即 − f (−x) = f (x)
文登学校 也即f(-x)=-f(x),可见fx为奇函数:反过来,若f(x为奇函数,则[f(1)dt为偶函 数,从而F(x)=f()dm+C为偶函数,可见(A)为正确选项 方法二:令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C),令f(x)=x,则取F(x)=x2,排除(D) 故应选(A) 【评注】函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思 考fx)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P10【例1.5-1.7】 (9)设函数y(参数方e/x=12÷0、确定,则曲线y=0)在x3处的法线与x y=ln(1+) 轴交点的横坐标是 (A)-hn2+3 ln2+3 8hn2+3 (D)8l2+3 A 【分析】先由x=3确定t的取值,进而求出在此点的导数及相应的法线方程,从而可 得所需的横坐标 【详解】当x=3时,有t2+2t=3,得t=1,t=-3(舍去,此时y无意义),于是 可见过点x=3(此时y=n2)的法线方程为 y-hn2=-8(x-3), 令y=0,得其与x轴交点的横坐标为:ln2+3,故应(A 【评注】注意本题法线的斜率应为8.此类问题没有本质困难,但在计算过程中应 特别小心,稍不注意答案就可能出错 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P53【例29】 10)设区域D={xy)x2+y2≤4x≥0,y≥0),fx)为D上的正值连续函数,ab 为常数,则 f(x)+b√f(y) √f(x)+√f(y) (A)abT. (B)T. (c)(a+b)T. ( D)4+6 ab 【分析】由于未知fx)的具体形式,直接化为用极坐标计算显然是困难的.本题可考 虑用轮换对称性 【详解】由轮换对称性,有
文登学校 5 也即 f (−x) = − f (x) ，可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，则 x f t dt 0 ( ) 为偶函 数，从而 = + x F x f t dt C 0 ( ) ( ) 为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令 f(x)=1, 则取 F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令 f(x)=x, 则取 F(x)= 2 2 1 x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数 f(x)与其原函数 F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思 考 f(x)与其原函数 F(x)的有界性之间有何关系？ 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.10【例 1.5~1.7】 （9）设函数 y=y(x)由参数方程 = + = + ln(1 ) 2 , 2 y t x t t 确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是 (A) ln 2 3 8 1 + . (B) ln 2 3 8 1 − + . (C) −8ln 2 + 3 . (D) 8ln 2 + 3 . [ A ] 【分析】 先由 x=3 确定 t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可 得所需的横坐标. 【详解】 当 x=3 时，有 2 3 2 t + t = ，得 t = 1,t = −3 （舍去，此时 y 无意义），于是 8 1 2 2 1 1 1 1 = + + = t= t= t t dx dy ，可见过点 x=3(此时 y=ln2)的法线方程为： y − ln 2 = −8(x − 3)， 令 y=0, 得其与 x 轴交点的横坐标为： ln 2 3 8 1 + , 故应(A). 【评注】注意本题法线的斜率应为-8. 此类问题没有本质困难，但在计算过程中应 特别小心，稍不注意答案就可能出错. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.53【例 2.9】 （10）设区域 {( , ) 4, 0, 0} 2 2 D = x y x + y x y ，f(x)为 D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则 = + + d f x f y a f x b f y D ( ) ( ) ( ) ( ) (A) ab . (B) 2 ab . (C) (a + b) . (D) 2 a + b . [ D ] 【分析】 由于未知 f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考 虑用轮换对称性. 【详解】 由轮换对称性，有
学校 a√f(x)+b√f(y) a√f()+b√f(x) do fo f(y)+√f(x) ∫(x)+b√(y),a√f()+b√f(x) f(x)+√(y) f(y)+√f(x) a+b 1 a+b 【评注】被积函数含有抽象函数时,一般考虑用对称性分析.特别,当具有轮换对 称性(xy互换,D保持不变)时,往往用如下方法: f(x, y)dxdy=f(, x)dxdy=ll[f(x, y)+f(, x)]dxdy 公式见P285,完全类似方法见《数学复习指南》(理工类)P300【例1.26】 (1)设函数(xy)=o(x+y)+(x-y)+厂(0t,其中函数具有二阶导数, y具有一阶导数,则必有 a2u a2 a2u ay .6=A2.(D)15=32 u au a2u 【分析】先分别求 再比较答案即可 【详解】因为 &rp(x+y)+o(x-y)+y(r+y)-v(x-y) p(x+y)-(x-y)+y(x+y)+y(x-y) a-u 于是 P"(x+y)+o"(x-y)+y'(x+y)-y(x-y) axo 9(x+y)-o(x-y)+y'(x+y)+y'(r-y) a-u a2(x+y)+g"(x-y)+y(x+y)-v(x-y), 可犯有O2u_a2n 应选(B)
文登学校 6 = + + d f x f y a f x b f y D ( ) ( ) ( ) ( ) d f y f x a f y b f x D + + ( ) ( ) ( ) ( ) = d f y f x a f y b f x f x f y a f x b f y D + + + + + ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 2 1 = . 2 2 4 1 2 2 2 a b a b d a b D + = + = + 应选(D). 【评注】 被积函数含有抽象函数时，一般考虑用对称性分析. 特别，当具有轮换对 称性（x,y 互换，D 保持不变）时，往往用如下方法： = = + D D D f x y dxdy f y x dxdy [ f (x, y) f ( y, x)]dxdy. 2 1 ( , ) ( , ) 公式见 P.285, 完全类似方法见《数学复习指南》（理工类）P.300【例 11.26】 （11）设函数 + − = + + − + x y x y u(x, y) (x y) (x y) (t)dt , 其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 (A) 2 2 2 2 y u x u = − . （B） 2 2 2 2 y u x u = . (C) 2 2 2 y u x y u = . (D) 2 2 2 x u x y u = . [ B ] 【分析】 先分别求出 2 2 x u 、 2 2 y u 、 x y u 2 ，再比较答案即可. 【详解】 因为 (x y) (x y) (x y) (x y) x u = + + − + + − − ， (x y) (x y) (x y) (x y) y u = + − − + + + − ， 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x y x y x y x y x u = + + − + + − − ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x y x y x y x y x y u = + − − + + + − ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x y x y x y x y y u = + + − + + − − ， 可见有 2 2 2 2 y u x u = ，应选(B)
文登学校 【评注】本题综合考査了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算。作为 做题技巧,也可取(1)=t2,v()=1,则v(x,y)=2x2+2y2+2y,容易验算只有 成立,同样可找到正确选项(B 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P267【例1016】及习题十(第11题 (12)设函数f(x) (A)x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点 (B)x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 (C)x=0是f(x)的第一类间断点,x=1是x)的第二类间断点 (D)x=0是fx)的第二类间断点,x=1是f(x)的第一类间断点 【分析】显然ⅹ=0,x=1为间断点,其分类主要考虑左右极限 【详解】由于函数fx)在x=0,x=1点处无定义,因此是间断点 且lmf(x)=∞,所以x=0为第二类间断点 imf(x)=0,lnf(x)=-1,所以x=1为第一类间断点,故应选(D) 【评注】应特别注意:lim xx-1=+∞ m -∞.从而lmex-l=+ x→x-1 lim er-l=0 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P41【例168】 (13)设A1,2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为a1,a2,则a1, A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是 (A)A1≠0.(B)A2≠0.(C)A1=0.(D)A=0 B 【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性,可用定义或转化为求其秩即可 【详解】方法一:令ka1+k24(a1+a2)=0,则 ka1+k241a1+k22a2=0,(k1+k2A1)1+k22a2=0 由于ax1,a2线性无关,于是有 k+k2=0 k2l2=0. 7
文登学校 7 【评注】 本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算。作为 做题技巧，也可取 ( ) , ( ) 1 2 t = t t = ，则 u(x, y) 2x 2y 2y 2 2 = + + ，容易验算只有 2 2 2 2 y u x u = 成立，同样可找到正确选项(B). 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.267【例 10.16】及习题十（第 11 题） （12）设函数 , 1 1 ( ) 1 − = x− x e f x 则 (A) x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点. (C) x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点. (D) x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点. [ D ] 【分析】 显然 x=0,x=1 为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数 f(x)在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点. 且 = → lim ( ) 0 f x x ，所以 x=0 为第二类间断点； lim ( ) 0 1 = → + f x x ， lim ( ) 1 1 = − → − f x x ，所以 x=1 为第一类间断点，故应选(D). 【评注】 应特别注意： = + − → + 1 lim 1 x x x ， . 1 lim 1 = − − → − x x x 从而 − = + → + 1 1 lim x x x e ， lim 0. 1 1 = − → − x x x e 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.41【例 1.68】 （13）设 1 2 , 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 2 , ，则 1， ( ) A 1 +2 线性无关的充分必要条件是 (A) 1 0 . (B) 2 0 . (C) 1 = 0 . (D) 2 = 0 . [ B ] 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 k11 + k2A(1 +2 ) = 0 ，则 k11 + k211 + k222 = 0， (k1 + k21 )1 + k222 = 0 . 由于 1 2 , 线性无关，于是有 = + = 0. 0, 2 2 1 2 1 k k k
文登学校 当入2≠0时,显然有k1=0,k2=0,此时a1,A(a1+a2)线性无关;反过来, 若a1,A(a1+a2)线性无关,则必然有2≠0(否则,a1与Aa1+a2)=1a1线性相关, 故应选(B) 方法二:由于[a1,A(a1+a2)=[a141a1+a2]=[a1a2 02 可见a1,a1+a2)线性无关的充要条件是3/ /2≠0.故应选(B) 【评注】本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P407【例317】 (14)设A为n(n≥2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B,A,B分 别为AB的伴随矩阵,则 (A)交换A的第1列与第2列得B’.(B)交换A'的第1行与第2行得B (C)交换A^的第1列与第2列得一B.(D)交换A的第1行与第2行得-B 【分析】本题考査初等变换的概念与初等矩阵的性质,只需利用初等变换与初等矩阵 的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可 【详解】由题设,存在初等矩阵E12(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得),使 得E2A=B,于是B'=(E14)=AEn=AE2E12=-AE2,即 AE12=-B,可见应选(C 【评注】注意伴随矩阵的运算性质: AA=AA=4E,当A可逆时,了=4A (AB)=B A 完全类似例题及性质见《数学复习指南》(理工类)P381【例214,例2.29】 三、解答题(本题共9小题,满分94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.) (15)(本题满分11分) (x-)) 设函数f(x)连续,且f(0)≠0,求极限 x f(x-t)dt
文登学校 8 当 2 0 时，显然有 k1 = 0,k2 = 0 ，此时 1， ( ) A 1 +2 线性无关；反过来， 若 1， ( ) A 1 +2 线性无关，则必然有 2 0 (,否则， 1 与 ( ) A 1 +2 = 11 线性相关)， 故应选(B). 方法二： 由于 + = + = 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 0 1 [ , ( )] [ , ] [ , ] A ， 可见 1， ( ) A 1 +2 线性无关的充要条件是 0. 0 1 2 2 1 = 故应选(B). 【评注】 本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.407【例 3.17】 （14）设 A 为 n（ n 2 ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, * * A ,B 分 别为 A,B 的伴随矩阵，则 (A) 交换 * A 的第 1 列与第 2 列得 * B . (B) 交换 * A 的第 1 行与第 2 行得 * B . (C) 交换 * A 的第 1 列与第 2 列得 * − B . (D) 交换 * A 的第 1 行与第 2 行得 * − B . [ C ] 【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵 的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可. 【详解】 由题设，存在初等矩阵 E12 （交换 n 阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行所得），使 得 E12A = B ，于是 12 1 * 12 12 * 12 * * * 12 * B = (E A) = A E = A E E = −A E − ，即 * 12 * A E = −B ,可见应选(C). 【评注】 注意伴随矩阵的运算性质： AA = A A = AE * * ，当 A 可逆时， , * −1 A = A A * * * (AB) = B A . 完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.381【例 2.14，例 2.29】 三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.） （15）（本题满分 11 分） 设函数 f(x)连续，且 f (0) 0 ，求极限 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 − − → x x x x f x t dt x t f t dt
文登学校 【分析】此类未定式极限,典型方法是用洛必塔法则,但分子分母求导前应先变形 详解】由于(x-0m=门(a-d)=(ah 于是 (x-1)f(1)dt f(r)dt-t(o)dt x→0 f(x-rdt =lin jo f(odt+xf(x)-xf(x) f(odt =lim f(udu +xf(x) x→0 f(udu+ xf(x) f(dt f(0)1 f(u)du f(0)+f(0)2 +f(x) 【评注】本题容易出现的错误是:在利用一次洛必塔法则后,继续用洛必塔法则 f(odt =lim f(x) Fudu+xf(x)o/(x)+/(x)+x'(x) 错误的原因:f(x)未必可导 完全类似处理方法见《数学复习指南》(理工类)P5【例10】 (16)(本题满分11分) 如图,C和C2分别是y=(1+e2)和y=e的图象,过点(n的曲线C3是一单调增 函数的图象过C2上任一点M(xy)分别作垂直于x轴和y轴的直线l2和记C1,C2与l2 所围图形的面积为S1(x):C2,C3与l所围图形的面积为S2(y)如果总有S1(x)=S2(y) 求曲线C3的方程x=(y) 【分析】利用定积分的几何意义可确定面积S(x)S2(y),再根据S(x)=S2(y)建立 积分等式,然后求导引出微分方程,最终可得所需函数关系 【详解】如图,有 S1(x)=te-(1e)=( S:(y)=∫-oo)bt, 由题设,得1x-1)=(mt-9()dn
文登学校 9 【分析】 此类未定式极限，典型方法是用洛必塔法则，但分子分母求导前应先变形. 【详解】 由于 − = − = − = 0 0 0 ( ) ( )( ) ( ) x x x x t u f x t dt f u du f u du ,于是 − = − − → → x x x x x x x x f u du x f t dt tf t dt x f x t dt x t f t dt 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim = + + − → x x x f u du xf x f t dt xf x xf x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim = + → x x x f u du xf x f t dt 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim = ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 f x x f u du x f t dt x x x + → = . 2 1 (0) (0) (0) = f + f f 【评注】 本题容易出现的错误是：在利用一次洛必塔法则后，继续用洛必塔法则 + → x x x f u du xf x f t dt 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim = . 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 = → f x + f x + xf x f x x 错误的原因：f(x)未必可导. 完全类似处理方法见《数学复习指南》（理工类）P.5【例 10】 （16）（本题满分 11 分） 如图， C1 和 C2 分别是 (1 ) 2 1 x y = + e 和 x y = e 的图象，过点(0,1)的曲线 C3 是一单调增 函数的图象. 过 C2 上任一点 M(x,y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 x l 和 y l . 记 1 2 C ,C 与 x l 所围图形的面积为 ( ) 1 S x ； 2 3 C ,C 与 y l 所围图形的面积为 ( ). 2 S y 如果总有 ( ) ( ) 1 2 S x = S y ， 求曲线 C3 的方程 x = ( y). 【分析】 利用定积分的几何意义可确定面积 ( ), ( ) 1 2 S x S y ，再根据 ( ) ( ) 1 2 S x = S y 建立 积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系. 【详解】 如图，有 = − + = − − x t t x S x e e dt e x 0 1 ( 1) 2 1 (1 )] 2 1 ( ) [ ， = − y S y t t dt 1 2 ( ) (ln ( )) ， 由题设，得 − − = − y x e x t t dt 1 ( 1) (ln ( )) 2 1
文登学校 而y=c,于是2(y-hy-)=∫(m-() 两边对y求导得(1-)=hy-(y), 故所求的函数关系为:x=0(y)=ny-2y 【评注】本题应注意点M(xy)在曲线C2上,因此满足y=e (17)(本题满分11分) 如图,曲线C的方程为y=x),点(32)是它的一个拐点,直线l与l2分别是曲线C在 点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4)设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分 【分析】题设图形相当于已知fx)在x=0的函数值与导数值,在x=3处的函数值及 阶、二阶导数值 【详解】由题设图形知,f(0=0,f(0)=2;f(3)=2,f(3)=-2,f"(3)=0 由分部积分,知 (x+xr7ah(+1=(+)r2rr "(x)(2x+1)dx (2x+1)df(x)=-(2x+1)f(x) 16+2[f(3)-f(0]=20 【评注】本题f(x)在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出,题型比较新颖, 综合考查了导数的几何意义和定积分的计算.另外,值得注意的是,当被积函数含有抽象函 数的导数时,一般优先考虑用分部积分 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P118【例436,430】 (18)(本题满分12分) 用变量代换x=cost(0<t<)化简微分方程(-x2)y-xy+y=0,并求其满足 2的特解 【分析】先将y,y”转化为 dy d-y 再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可 【详解】y dt dx t dt
文登学校 10 而 x y = e ，于是 − − = − y y y t t dt 1 ( ln 1) (ln ( )) 2 1 两边对 y 求导得 ) ln ( ) 1 (1 2 1 y y y − = − ， 故所求的函数关系为： . 2 1 ( ) ln y y x y y − = = − 【评注】 本题应注意点 M(x,y)在曲线 C2 上，因此满足 x y = e . （17）（本题满分 11 分） 如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线 1 l 与 2 l 分别是曲线 C 在 点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 + 3 0 2 (x x) f (x)dx. 【分析】 题设图形相当于已知 f(x)在 x=0 的函数值与导数值，在 x=3 处的函数值及一 阶、二阶导数值. 【详解】 由题设图形知，f(0)=0, f (0) = 2 ; f(3)=2, f (3) = −2, f (3) = 0. 由分部积分，知 + = + = + − + 3 0 3 0 3 0 2 2 3 0 2 (x x) f (x)dx (x x)df (x) (x x) f (x) f (x)(2x 1)dx = x df x x f x f x dx − + = − + + 3 0 3 0 3 0 (2 1) ( ) (2 1) ( ) 2 ( ) =16 + 2[ f (3) − f (0)] = 20. 【评注】 本题 f(x) 在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出，题型比较新颖， 综合考查了导数的几何意义和定积分的计算. 另外，值得注意的是，当被积函数含有抽象函 数的导数时，一般优先考虑用分部积分. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.118【例 4.36,4.30】 （18）（本题满分 12 分） 用变量代换 x = cost(0 t ) 化简微分方程 (1 ) 0 2 − x y − xy + y = ，并求其满足 1, 2 0 0 = = x= x= y y 的特解. 【分析】 先将 y , y 转化为 2 2 , dt d y dt dy ，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可. 【详解】 dt dy dx t dt dt dy y sin 1 = = −