同济大学：《线性代数》课程PPT教学课件（第五版）第四章 向量组的线性相关性（4.1）向量组及其线性组合

第四章 向量组的线性相关性

第四章 向量组的线性相关性

§1向量组及其线性组合

§1 向量组及其线性组合

定义:n个有次序的数a1,a2,…,an所组成的数组称为n维向 量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数a1称为第i 个分量 口分量全为实数的向量称为实向量 口分量全为复数的向量称为复向量 备注: √本书一般只讨论实向量(特别说明的除外) √行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 √所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时,都当作 列向量 √本书中,列向量用黑色小写字母a,b,a,B等表示,行向量 则用a,b,ax,表示

定义：n 个有次序的数 a1 , a2 , …, an 所组成的数组称为n 维向 量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量．  分量全为实数的向量称为实向量．  分量全为复数的向量称为复向量． 备注： ✓ 本书一般只讨论实向量（特别说明的除外） ． ✓ 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量． ✓ 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作 列向量． ✓ 本书中，列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向量 则用 a T , b T , aT , b T 表示．

定义:若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为 向量组 √当R(4)<n时,齐次线性方程组Ax=0的全体解组成的向 量组含有无穷多个向量 有限向量组 12 13 14 21 L 22 23 24 1 9c293904 )=B 33a2 B 结论:含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应

定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为 向量组． ✓ 当R(A) < n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向 量组含有无穷多个向量． 11 12 13 14 34 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a A a a a a a a a a     =       = (a a a a 1 2 3 4 ,,, ) 1 2 3 T T T b b b     =       结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应． 有限向量组

定义:给定向量组A:a1a2,…,am,对任何一组实数 k1,k2,…,km,表达式 k1a1+k2a2+…+knm 称为向量组A的一个线性组合 k1,k2,,.kn称为这个线性组合的系数 定义:给定向量组A:a1,a2…,am和向量b,如果存在一组 实数41,A2,…,m,使得 n 则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b能由向量组 A的线性表示

定义：给定向量组 A：a1 , a2 , …, am ， 对于任何一组实数 k1 , k2 , …, km ，表达式 k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1 , k2 , …, km 称为这个线性组合的系数． 定义：给定向量组 A：a1 , a2 , …, am 和向量 b，如果存在一组 实数 l1 , l2 , …, l m ，使得 b = l1a1 + l2a2 + … + l mam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 的线性表示．

100 19c2,23 的 例:设E=(n,2,e)=010 线性组合 那么b=3|=20+31+70=2e1+3e2+7e 线性组合的系数 一般地,对于任意的n维向量b,必有 b2 0 b=b|=b0+b20+b1…+bn0

例：设 ( 1 2 3 ) 1 0 0 , , 0 1 0 0 0 1 E e e e     = =       1 0 0 2 0 3 1 7 0 0 0 1             = + +                   1 2 3 = + + 2 3 7 e e e 2 3 7 b     =       那么 线性组合的系数 e1 , e2 , e3的 线性组合 一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有 1 2 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n b b b b                         = + + +                                 1 2 3 n b b b b b       =          

b=b3=b1|0+b20+b1…+bn0 n阶单位矩阵En的列向量叫做n维单位坐标向量

n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量． 1 2 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n b b b b                         = + + +                                 1 2 3 n b b b b b       =           1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 En       =          

回顾:线性方程组的表达式 1.一般形式 2.增广矩阵的形式 3x,+4x,-x,=5 34-15 x,+2 1-12 3.向量方程的形式 4.向量组线性组合的形式 34-1 )x6)+((2)1 方程组有解?向量异否能用(1八(载阵毒?

回顾：线性方程组的表达式 1. 一般形式 3. 向量方程的形式 2. 增广矩阵的形式 4. 向量组线性组合的形式 1 2 3 1 2 3 3 4 5 2 1 x x x x x x  + − =   − + = − 3 4 1 5 1 1 2 1   −     − − 1 2 3 3 4 1 5 1 1 2 1 x x x       −       =       − −     1 2 3 3 4 1 5 1 1 2 1 x x x         −         + + =         − − 方程组有解？ 向量 是否能用 线性表示？ 3 4 1 , , 1 1 2       −             − 5 1       −

结论:含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应 x1m1+x22+…+m4m 12 am(a b=1a1+2a2+…+nan 22 2m 2 P83定理1的结论: 向量b能由 线性方程组 向量组A Ax= b R(A)=R(A,b) 线性表示 有解

结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应． ( ) 1 11 12 1 1 2 21 22 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 , , , m m m m m m n n nm m x a a a x x a a a x x a x a x a a a a x a a a x                + + + = =                1 1 2 2 m m b a a a = + + + l l l 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 m m n n nm m a a a a a a b a a a l l l          =          R A R A b ( ) ( , ) = 向量b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 P.83 定理1 的结论：

定义:设有向量组A:a1,a2…,am及B:b1,b2…,b,若 向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示,则称向 量组B能由向量组A线性表示 若向量组A与向量组B能互相线性表示,则称这两个向量 组等价

定义：设有向量组 A：a1 , a2 , …, am 及 B：b1 , b2 , …, bl ， 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示． 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量 组等价．