绝密★启用前 数学(四)参考解答 填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设常数a≠,则lmln[n-2na+1'= (2)已知f(x)的一个原函数为m3x,则|xf(x)dx=2lnx-ln2x+C (3)设矩阵A= B=A2-3A+2E,则B (4)设向量组a1=(a,0,c),a2=(b,c,0),ay=(0,a,b)线性无关,则a,b,c必满足关系 式abe≠0 (5)设随机变量X和Y的联合概率分布为 概 则X和Y的相关系数p=_0 选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设函数f(x)在闭区间[a,6]上有定义,在开区间(a,b)内可导,则 (A)当f(a)f(b)<0时,存在∈(a,b),使f()=0 (B)对任何∈(a,b),有im[f(x)-f()]=0 (C)当f(a)=f(b)时,存在∈(a,b),使f'()=0 (D)存在E∈(a,b),使fb)-f(a)=f'()(b-a) (2)设函数f(x)连续,则在下列变上限定积分定义的函数中,必为偶函数的是 (A)LIU(r)+f(-t)]de (B)[tf(t)-f(-)]d (C)Lf(2)dr. (D)L(dr 【A (3)设AB为n阶矩阵A,B·分别为A,B对应的伴随矩阵.分块矩阵C=AO1,则C 的伴随矩阵C’= JAJA (B)(88 o 0 BB A
(D) IBA BA (4)设x和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为f(x)和 f(x),分布函数分别为F1(x)和F2(x),则 (A)f(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度 (B)F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数 (C)F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数 (D)f1(x)(x)必为某一随机变量的概率密度, (5)设随机变量x1,X2,…,X。相互独立,S,=X+X2+…+X,则根据列维-林德伯格(Levy Lindberg)中心极限定理,当n充分大时,S近似服从正态分布,只要x1,x2,…,X (A)有相同的数学期望 (B)有相同的方差 (C)服从同一指数分布 (D)服从同一离散型分布 三.(本题满分5分) 求极限 CU arctan(I+1)dr]du 解法1 arctan(I+r)dr du m t(I-cost arctan(I +t)dr - lim -2xarctan(I+r) 2 lim arctan(1 +x)lim
解法2 ctan(1+ t)d (1+r)de du (I +tde 4 四.(本题满分7分) 设函数a=f(x,y,z)有连续偏导数,且z=(x,y)由方程xe-ye'=ze'所确定、求da 解法1设F(x,y,2)=xe'-ye-ze,则 F,=(x+1)e F4=-(z+1 x F→FF f,-f 所以 a 解法2在xe-ye=e两边微分,得
edx xe'dx -edy -yedy e'dz ze'dz, 故 =+3(+ +y)edy 由l=f(x,y,z),得 f dx +f, dy+fr da. 故 x (本题满分6分) 设,)=面,求∫八x) 令u=sin2x,则有 sInx vu x= arcsin√a Ax)=arcsin/x 于是 f(x) arcsine In 2 larson√xd -2√- r arcsin /x+2|1-x 六.(本题满分7分) 设闭区域D:x2+y2≤y,x≥0.f(x,y)为D上的连续函数,且 f(x,y)=√1-x2-y2 u, u)dudo 求f(x,y) 36
解设 (a,n)dud=A,在已知等式两边求区域D上 的二重积分,有 x,y)dy=√ dxd D 从而 /1-,2 所以 I[(1-cos'0)de 3(2-3 故 6(2-3 于是 七.(本题满分7分) 设某商品需求量Q是价格P的单调减少函数:Q=Q(p),其需求弹性7-192-p2>0 (1)设R为总收益函数,证明=Q(1-n) (2)求p=6时,总收益对价格的弹性,并说明其经济意义 解(1)R(p)=pQ(p) 上式两边对p求导数,得 十 de =0(1 +e de p dR
7 经济意义:当p=6时,若价格上涨1%,则总收益将增加0.54% 八.(本题满分6分) 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,且g(x)>0,利用闭区间上连续函数性质,证明存在 点6∈[a,b],使 f(x)g(x)dx =f(5)g(x)dx 证明因为f(x),g(x)在[a,b]上连续,且g(x)>0,由最值定理,知f(x)在[a,b]上 有最大值M和最小值m,即 m≤f(x)≤M x)≤f(x mg(x)dx≤f(x)g(x)dr≤Mg(x)dx, xg(x)dx 由介值定理知存在E∈[a,b],使 f(x)g(x) f() g(x)dx (x)g(x)dx=f(5)g(x) 九(本题满分8分) 设四元齐次线性方程组(I)为 2x+3x-x=0, 0
且已知另一四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为 x1=(2,-1,a+2,1),a2=(-1,2,4,a+8) (1)求方程组(I)的一个基础解系; (2)当a为何值时,方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部非零 公共解 解法1(1)对方程组(I)的系数矩阵作行初等变换,有 23-10 得方程组(I)的同解方程组 由此可得方程组(I)的一个基础解系为 B1=(5,-3,1,0),B2=(-3,2,0,1) (2)由题设条件,方程组(Ⅱ)的全部解为 k1-k2 x=ka1+ka2=/~k+2 (a+2)k1+4k2 k1+(a+8)k (k1,k2为任意常数) 将上式代入方程组(I),得 (a+1)k1=0, (a+1)k1-(a+1)k2=0 要使方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解,只需关于k1,k2的方程组②有非零解,因为 =-(a+1)2, 1-(a+1) 所以,当a≠-1时,方程组(1)与(Ⅱ)无非零公共解 当a=-1时,方程组②有非零解,且k1,k为不全为零的任意常数.此时,由①可得方程 组(I)与(Ⅱ)的全部非零公共解为 k
(k1,k2为不全为零的任意常数) 解法2(1)对方程组(I)的系数矩阵作行初等变换,有 3-10 得方程组(I)的同解方程组 由此可得方程组(I)的一个基础解系为 B1=(1,0,2,3),B2=(0,1,3,5)1 (2)设方程组(I)与(Ⅱ)的公共解为n,则有数k,k2,k3,k4,使得 k, B,+k,B,=kaa,+kay 由此得线性方程组 k2-k3+2k,=0, k2+(a+2)k3 3 (a+8)k 对方程组(Ⅲ)的系数矩阵作行初等变换,有 10 21 2 3a+24 由此可知,当a≠-1时,方程组(Ⅲ)仅有零解,故方程组(I)与(Ⅱ)无非零公共解 当a=-1时,方程组(Ⅲ)的同解方程组为 令k3=c1,k4=c2,得方程组(I)与(Ⅱ)的非零公共解为 (c1,c2为不全为零的任意常数)
十.(本题满分8分) 设实对称矩阵A=1a-1 1-1 求可逆矩阵P使PAP为对角形矩阵并计算行列式|A-E|的值 解矩阵A的特征多项式 IAE-A|=-1A-a (A-a-1)2(A-a+2) 由此得矩阵A的特征值A1=A2=a+1,A3=a-2 对于特征值A1=A2=a+1,可得对应的两个线性无关的特征向量 a1=(1,1,0)1,a2=(1,0,1) 对于特征值A3=a-2,可得对应的特征向量 (-1,1,1) 令矩阵 PAP= 4 2 lA-E=P P|·|A-E|·|P
十一.(本题满分8分) 设A,B是任意二事件,其中A的概率不等于0和1,证明, P(BI A)=P(BI A 是事件A与B独立的充分必要条件 证由于A的概率不等于0和1,知题中两个条件概率都存在 (1)必要性,由事件A与B独立,知事件A与B也独立,因此P(B|A)=P(B),P(BA) P(B),从而 P(BI A)=P(BI A) (2)充分性.由P(B|A)=P(B|A),可见 P(AB 2-P(B)-P(AB) P(A)1-P(A) P(AB)[1-P(A)]= P(A)P(B)-P(A)P(AB) P(AB)= P(A)P(B) 因此A和B独立 二(本题满分8分) 假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布,平均无故障工作的时间(EX)力5 小时,设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该 设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y) 解设x的分布参数为A由于Er=⊥=5,可见A=5 显然 - min 对于y<0,F(y)=0;对于y≥2,F(y)=1. 设0≤y<2,有 F(y)=P|y≤y = PIminX,2}≤yl P|X≤yl 于是,Y的分布函数为 0,若y<0 F(y) 若0≤ 若y≥2