第3章集合 3.1集合的概念及其表示 32集合间的关系 3.3集合的运算 34集合中元素的计数
第3章 集合 3.1 集合的概念及其表示 3.2 集合间的关系 3.3 集合的运算 3.4 集合中元素的计数
第3章集合 集合是数学最基本的概念之一集合论是一门 简箪的概集合’(ets出发,定义数及萁 运算,进而发展到整个数学在这一点上它取得 极大的成功我们介绍集合论则不仅为此,还因为 让算机科学受应用的研究,也和集合论理论有着 极密切的关系集合不仅可用来表示数及其运算, 更可以用于非数值信息的表示和处理.像数据的删 节、插入、排序,数据间关系的描述,数据的组 织和査询等,都很难用传统的数值计算来处理 但却可以用集合运算来实现集合论是现代数学的 基础,几乎与现代数学的各个分支以及计算机和 等现代科技的研究领域都有着密切联系.本章主 要介绍了集合论的基本内容
第3章 集合 集合是数学最基本的概念之一.集合论是一门 研究数学基础的学科，它试图从一个比“数”更 简单的概念——集合（sets）出发，定义数及其 运算，进而发展到整个数学.在这一点上它取得了 极大的成功.我们介绍集合论则不仅为此，还因为 计算机科学及应用的研究，也和集合论理论有着 极密切的关系.集合不仅可用来表示数及其运算， 更可以用于非数值信息的表示和处理.像数据的删 节、插入、排序，数据间关系的描述，数据的组 织和查询等，都很难用传统的数值计算来处理， 但却可以用集合运算来实现.集合论是现代数学的 基础，几乎与现代数学的各个分支以及计算机科 学等现代科技的研究领域都有着密切联系.本章主 要介绍了集合论的基本内容
3.1集合的概念及其表示 ■3.1.1集合的概念 ■3.1.2集合的表示方法
3.1 集合的概念及其表示 3.1.1 集合的概念 3.1.2 集合的表示方法
3.1.1集合的概念 在中学数学中,我们给出了集合定义,“某 些指定的对象集在一起就形成一个集合”.例如, 全体大写英文字母,教室里的桌子,世界上所有 的哺乳动物等,这些都是集 般而言,集合是指确定的、可以互相区别 的一些事物所构成的整体 严格地说这算不得集合的定义,因为在集合 论中,集合是一个不作定义的原始概念(就像几 何学中的点、线、面等概念).不过,上述关于集 合概念的描述,有益于对它的内涵作直观的理解 和认
3.1.1 集合的概念 在中学数学中，我们给出了集合定义，“某 些指定的对象集在一起就形成一个集合”.例如， 全体大写英文字母，教室里的桌子，世界上所有 的哺乳动物等，这些都是集合. 一般而言，集合是指确定的、可以互相区别 的一些事物所构成的整体. 严格地说这算不得集合的定义，因为在集合 论中，集合是一个不作定义的原始概念（就像几 何学中的点、线、面等概念）.不过，上述关于集 合概念的描述，有益于对它的内涵作直观的理解 和认识
3.1.1集合的概念 组成集合的对象称为集合的元素请注意,这里“对象” 的概念是相当普遍的,可以是任何具体的或抽象的客体, 还可以是集 通常用大写不带标号或带标号的英文字母A B…,C1,…表示集合,用小写不带标号或带标号的英文字 母a,b,,C1表示集合的元素元素对于集合的隶属关系 是集合论的另一基本概念当个体a是集合A的元素时,称 a属于A,记为a∈A;当个体a不是集合A的元素时,称a不 属于A,记为agA 对任何对象a和任何集合A,或者a∈A或者aA,两者 恰居其一这正是集合对其元素的“确定性”要求
3.1.1 集合的概念 组成集合的对象称为集合的元素.请注意，这里“对象” 的概念是相当普遍的，可以是任何具体的或抽象的客体， 还可以是集合. 通常用大写不带标号或带标号的英文字母A， B,…,C1 ,…表示集合，用小写不带标号或带标号的英文字 母a,b,…,c1 ,…表示集合的元素.元素对于集合的隶属关系 是集合论的另一基本概念.当个体a是集合A的元素时，称 a属于A，记为a∈A；当个体a不是集合A的元素时，称a不 属于A，记为a A. 对任何对象a和任何集合A，或者a∈A或者a A,两者 恰居其一.这正是集合对其元素的“确定性”要求
3.1.1集合的概念 有一些集合,我们在本书以后的章节将常常用到,现 列举如下: ■N:全体自然数的集合,“0,1,2,3 ■Z:全体整数的集合,“.,-2,-1,0,1,2, ■z+全体正整数的集合,“1,2, ■Q:全体有理数的集合 ■R:全体实数数的集合 ■C:全体复数的集合. 当一个集合A中有有限个元素时,我们称集合A是有限 集,否则为无限集有限集A中元素的个数称为集合A的基, 记为A,如A={a,b,c},则|A=3
3.1.1 集合的概念 有一些集合，我们在本书以后的章节将常常用到，现 列举如下： N:全体自然数的集合，“0，1，2，3，…”； Z:全体整数的集合，“…,-2，-1，0，1，2，…”； Z+ :全体正整数的集合，“1，2，…”； Q:全体有理数的集合； R:全体实数数的集合； C:全体复数的集合. 当一个集合A中有有限个元素时，我们称集合A是有限 集，否则为无限集.有限集A中元素的个数称为集合A的基， 记为|A|，如A={a，b，c}，则|A|=3
3.1.2集合的表示方法 为了表示一个集合由哪些元素组成,集合有多种表示 方法,通常用以下3种方法 1.列举法:规定一个集合A时,将A中元素一一列举 或列出足够多的元素以反映A中成员的特征,表示形如 A={a,b,c,d}或A1={1,2,3,4,…} 2.描述法:规定一个集合A时,将A中元素的特征用 个条件公式来描述,表示形如 a= tap(a)) 其意义为:集合A当且仅当由满足条件公式P(a)的对象 所组成,即a∈A当且仅当P(a)真例如,集合A1可表示为 A1={×1且X∈Z}
3.1.2 集合的表示方法 为了表示一个集合由哪些元素组成，集合有多种表示 方法，通常用以下3种方法： 1.列举法：规定一个集合A时，将A中元素一一列举， 或列出足够多的元素以反映A中成员的特征，表示形如 A＝｛a，b，c，d｝或A1=｛1，2，3，4，…｝. 2.描述法：规定一个集合A时，将A中元素的特征用一 个条件公式来描述，表示形如 A=｛a|P(a)｝. 其意义为：集合A当且仅当由满足条件公式P(a)的对象 所组成，即a∈A当且仅当P(a)真.例如，集合A1可表示为 A1={x|x≥1且x∈Z}
3.1.2集合的表示方法 3文氏图法:用圆(或者封闭曲线组成 的图形)表示集合,集合中的点表示集合 的元素,称此类图为文氏图
3.1.2 集合的表示方法 3.文氏图法：用圆（或者封闭曲线组成 的图形）表示集合，集合中的点表示集合 的元素，称此类图为文氏图
32集合间的关系 定义3.2-1设有两个集合A和B,如果A的每一个 元素都是B的元素,即若x∈A必有x∈B,则称集合A 是集合B的子集,表示为AB(或B回A),读作 “A包含于B”(或“B包含A”).符号化表示为 AB会x(X∈A→X∈B 定义32-2若A〓B,且A,则称集合A是集合 B的真子集,表示为A已(或B ,读作“A真 包含于B”(或“B真包含A”).符号化表示为 A四B今X(X∈A→→∈B)X(X∈B→xgA) 定义3.2-3两个集合A和B相等当且仅当它们具有 相同的元素,即A=B当且仅当AB且BA符号化 表示为 A=B今x(X∈A→X∈B
3.2 集合间的关系 定义3.2-1 设有两个集合A和B，如果A的每一个 元素都是B的元素，即若x∈A必有x∈B，则称集合A 是集合B的子集，表示为A B（或B A），读作 “A包含于B”（或“B包含A”）.符号化表示为 A B x(x∈A→x∈B). 定义3.2-2 若A B，且A≠B，则称集合A是集合 B的真子集，表示为A B（或B A），读作“A真 包含于B”（或“B真包含A”）.符号化表示为 A B x(x∈A→x∈B)∧ x(x∈B→x A). 定义3.2-3 两个集合A和B相等当且仅当它们具有 相同的元素,即A＝B当且仅当A B且B A.符号化 表示为 A=B x(x∈A↔x∈B).
32集合间的关系 定义32-4不含任何元素的集合称为空集,记 作q 定义3.2-5在一个具体问题中,如果所涉及的 集合都是某个集合的子集,则称这个集合为全集, 港作U(或E 全集是一个相对性的概念,只要求包含我们所 讨论的集合所以,根据我们所研究的问题不同, 可以有不同的全集例如,在研究自然数的问题时 可以取自然数集N为全集在研究实数的问题时, 可以取实数集R为全集
3.2 集合间的关系 定义3.2-4 不含任何元素的集合称为空集，记 作φ . 定义3.2-5 在一个具体问题中，如果所涉及的 集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集， 记作U（或E）. 全集是一个相对性的概念，只要求包含我们所 讨论的集合.所以，根据我们所研究的问题不同， 可以有不同的全集.例如，在研究自然数的问题时， 可以取自然数集N为全集.在研究实数的问题时， 可以取实数集R为全集