复合函数求导法贝则 先回忆一下一元复合函数的微分法则 若y=f(u)而u=q(x)可导则复合函数 y=o(x)对x的导数为4=.m dx du dx 这一节我们将把这一求导法则推广到多元函 数的情形,主要介绍多元复合函数的微分法和隐 函数的微分法。我们知道,求偏导数与求一元函 数的导数本质上并没有区别,对一元函数适用的 微分法包括复合函数的微分法在内,在多元函数 微分法中仍然适用,那么为什么还要介绍多元
复合函数求导法则 先回忆一下一元复合函数的微分法则 若y = f (u)而u = (x)可导 则复合函数 y = f[(x)] 对 x 的导数为 dx du du dy dx dy = 这一节我们将把这一求导法则推广到多元函 数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐 函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函 数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的 微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数 微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元
复合函数的微分法和隐函数的微分法呢? 这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数 如z=∫(x2-y2,xy)它是由z=f(u,v) 及u=x2-y2,v=x复合而成的 由于f没有具体给出在求饭,0时 ax ay 元复合函数的微分法则就无能为力了,为 此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的 微分法
复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？ 这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数 如 ( , ) 2 2 z = f x − y xy 它是由 z = f (u,v) u = x − y ,v = xy 及 2 2 复合而成的 由于 f 没有具体给出 在求 时 y z x z , 一元复合函数的微分法则就无能为力了，为 此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的 微分法
、链式法则 定理如果函数=()及ν=v(t)都在点可 导,函数z=f(u,v)在对应点(,v)具有连续偏 导数,则复合函数x=∫d(),y()在对应点可 导,且其导数可用下列公式计算: dz az du oz dy dt au dt av dt 证设t获得增量Δ, 则△=p(t+△)-p(t),△v=y(t+△)-y(t) 由于函数z=∫(u,ν)在点(,v)有连续偏导数
一、链式法则 定理 如果函数u = (t)及v = (t)都在点t 可 导，函数z = f (u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏 导数，则复合函数z = f [(t), (t)]在对应点t 可 导，且其导数可用下列公式计算： dt dv v z dt du u z dt dz + = ． 证 设 t 获得增量 t， 则 u = (t + t) − (t), v = (t + t) −(t); 由于函数z = f (u,v)在点(u,v) 有连续偏导数
A=△+△卩十61△+E2△v, 当△M→>0,△ν→0时,E1→>0,E2→>0 △zaz△a z△△u△1 E E △tbu△t △t △t 2 △t 当∧t→>0时,△u→>0,△→0 △ △pdh △tdt △tdt △zOz 0△ t au dt ay dt
, 1 2 v u v v z u u z z + + + = 当u → 0，v → 0时， 1 → 0， 2 → 0 t v t u t v v z t u u z t z + + + = 1 2 当t → 0时， u → 0，v → 0 , dt du t u → , dt dv t v → lim . 0 dt dv v z dt du u z t z dt dz t + = = →
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 dz a du az dv o dw 十 dt au dt av dt aw dt 以上公式中的导数称为全导數 at 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况:z=∫[叭(x,y),v(x,y)
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz + + = z u v w t 以上公式中的导数 称为全导数. dt dz 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z = f[(x, y),(x, y)]
如果l=p(x,y)及ν=y(x,y)都在点x,y) 具有对x和y的偏导数,且函数z=∫(u,v)在对应 点(u,ν)具有连续偏导数,则复合函数 z=∫[y(x,y),v(x,y)在对应点x,y)的两个偏 导数存在,且可用下列公式计算 oz az au az av az az au az av ax au ax av ax ay au ay av ay 链式法则如图示
如果u = (x, y)及v = ( x, y)都在点(x, y) 具有对x和y 的偏导数，且函数z = f (u,v)在对应 点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 z = f [(x, y), (x, y)]在对应点(x, y) 的两个偏 导数存在，且可用下列公式计算 x v v z x u u z x z + = ， y v v z y u u z y z + = . 链式法则如图示 z u v x y
az au az av 0aaa x au ax ay ax Oz Ou az ay 十 ou ayay ay 称为标准法则或2×2法则 这个公式的特征: (1)函数=∫(x,y)v(x,川有两个自变量x和y 故法则中包含0x0x两个公式; ax a
= x z u z x u + v z , x v = y z u z y u + v z . y v 称为标准法则或 22法则 这个公式的特征： ⑴函数 z = f[u(x, y),v(x, y)] 有两个自变量 x 和 y 故法则中包含 y z x z , 两个公式；
(2)由于在复合过程中有两个中间变量u和v 故法则中每一个公式都是两项之和,这两 项分别含有ax0z (3)每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似, 即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对 自变量的导数” 多元复合函数的求导法则简言之即: “分道相加,连线相乘
⑵由于在复合过程中有两个中间变量 u 和 v 故法则中每一个公式都是两项之和，这两 项分别含有 v z u z , ⑶每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似， 即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对 自变量的导数” 多元复合函数的求导法则简言之即： “分道相加，连线相乘
类似地再推广,设u=p(x,y)、ν=v(x,y)、 W=w(x,y)都在点(x,y)具有对x和y的偏导数,复 函数z=f1(x,y),v(x,y)2w(x,y)在对应点x,y) 两个偏导数存在,且可用下列公式计算 十 十 ax au ax oy ax ow ax az a au az av az aw 十 ay au ay av ay aw a
类似地再推广，设u = (x, y)、v = ( x, y)、 w = w( x, y)都在点(x, y)具有对x 和y 的偏导数，复合 函数z = f[(x, y), (x, y), w(x, y)]在对应点(x, y) 的 两个偏导数存在，且可用下列公式计算 x w w z x v v z x u u z x z + + = , y w w z y v v z y u u z y z + + = . z w v u y x
特殊地z=∫(u,x,y)其中=p(x,y) 即z=∫|p(x,y),x,y,令ν=x,W≡ Op Ow 0. ax dy 1, ay 区 az af du, af az-af au_af 别 ax au axax Oy au ay ay 类似 两者的区别 把z=f(u,x,y 把复合函数z=∫p(x,y),x,川中的及y看作不 中的y看作不变而对x的偏导数变而对x的偏导数
特殊地 z = f ( u, x, y ) 其中 u = ( x, y ) 即 z = f[(x, y), x, y], 令 v = x , w = y , = 1 , xv = 0 , xw = 0 , yv = 1 . yw , xf xu uf xz + = . yf yu uf yz + = 两者的区别 把复合函数 z = f[(x, y), x, y] 中的 y看作不变而对 x的偏导数 把 z = f (u, x, y) 中的 u 及 y 看作不 变而对x 的偏导数 区别类似