欢迎同学们归来 上期考试情况总结 本期课程安排 作业问题 答疑时间 本期期中考试
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定积分的概念 前一章我们从导数的逆运算引出了不定积 分,系统地介绍了积分法,这是积分学的第一类 基本问题。本章先从实例出发,引出积分学的第 二类基本问题—定积分,它是微分(求局部量 )的逆运算(微分的无限求和—求总量),然 后着重介绍定积分的计算方法,它在科学技术领 域中有着极其广泛的应用。 重点定积分的概念和性质,微积分基本公 式,定积分的换元法和分部积分法 点定义及换元法和分部法的运用
定积分的概念 前一章我们从导数的逆运算引出了不定积 分，系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类 基本问题。本章先从实例出发，引出积分学的第 二类基本问题——定积分，它是微分（求局部量 ）的逆运算（微分的无限求和——求总量），然 后着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领 域中有着极其广泛的应用。 重点 定积分的概念和性质，微积分基本公 式，定积分的换元法和分部积分法 难点 定义及换元法和分部法的运用
基本要 ①正确理解定积分的概念及其实际背景 ②记住定积分的性质并能正确地运用 ③掌握变上限定积分概念,微积分基本定理, 并会用NL公式计算定积分, ④能正确熟练地运用换元法和分部积分法 计算定积分 ⑤正确理解两类广义积分概念, 并会用定义计算一些较简单的广义积分
基本要求 ①正确理解定积分的概念及其实际背景 ②记住定积分的性质并能正确地运用 ③掌握变上限定积分概念，微积分基本定理， 并会用N-L公式计算定积分， ④能正确熟练地运用换元法和分部积分法 ⑤正确理解两类广义积分概念， 并会用定义 计算一些较简单的广义积分。 计 算定积分
、问题的提出 实例1(求曲边梯形的面积) 求面积问题由来已久,对于由直线所围成的 平面图形的面积我们已经会求,下图所示的图形 如何求面积 将其置于直角 坐标系下考察4 B 问题归结为AmBb4与ABbA 的面积之差 曲边梯形 bx
实例1 （求曲边梯形的面积） 求面积问题由来已久，对于由直线所围成的 平面图形的面积我们已经会求，下图所示的图形 如何求面积 将其置于直角 坐标系下考察 o x y a b A B m 问题归结为AmBbaA与AnBbaA n 的面积之差 曲边梯形 一、问题的提出
曲边梯形由连续曲线 y y=∫(x)(f(x)≥0)、 x轴与两条直线x=a、 x=b所围成 b x 用矩形面积近似取代曲边梯形面积
曲边梯形由连续曲线 y = f (x)( f (x) 0)、 x轴与两条直线x = a、 x = b所围成. a b x y o y = f (x) A = ? 用矩形面积近似取代曲边梯形面积
b x o (四个小矩形) (九个小矩形) 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近 曲边梯形面积 观察下列演示过程,注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
a b x y o （四个小矩形） a b x y o （九个小矩形） 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 3个分割点的图示 1.(上和-下和) 1.05556(积分近似值) 播放
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放
曲边梯形如图所示在区间[a,b内插入若干 个分点,a=x0<x1<x2<…<xn1<xn=b, 把区间[a,b分成n 个小区间[x1,x 长度为Ax1=x2-x21; 在每个小区间[x1a1,x 上任取一点5, O a x, xi-Ex, xm-b x 以[x1,x:内为底,f(2)为高的小矩形面积为 A1=∫(5△x
曲边梯形如图所示 a b x y o , [ , ] a x0 x1 x2 x 1 x b a b 个分点， = n− n = 在区间 内插入若干 ; [ , ] [ , ] 1 1 − − i = i − i i i x x x x x a b n 长度为 个小区间 ， 把区间 分成 上任取一点 ， i 在每个小区间 i xi xi [ , ] −1 x1 xi−1 xi xn−1 以[xi−1 , xi ]为底，f (i )为高的小矩形面积为 i i xi A = f ( )
曲边梯形面积的近似值为 A≈∑∫(5)Ax 当分割无限加细,即小区间的最大长度 =max{△x,△x2,…Axn} 趋近于零(九→>0)时, 曲边梯形面积为A=lim∑f()Ax
曲边梯形面积的近似值为 i n i A f i x = ( ) 1 趋近于零 时， 当分割无限加细 即小区间的最大长度 ( 0) max{ , , } , 1 2 → = x x xn 曲边梯形面积为 i n i A = f i x = → lim ( ) 1 0
实例2(求变速直线运动的路程) 设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)是 时间间隔[T,T2]上的一个连续函数,且 v()≥0,求物体在这段时间内所经过的路程 思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上 速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便 得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值
实例2 （求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是 时间间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程. 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．