《高等数学》课程教学资源：第十二章（12.1）齐次方程

齐次型方程 、齐次型方程 1定义形如中=(y)的微分方程称为齐次方程 dx 2解法作变量代换、y即y=x, =u+x 代入原式 u+x s(m),即df(u)-u d 可分离变量的方程

1.定义 ( ) x y f dx dy 形如 = 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 作变量代换 , x y u = 即 y = xu, , dx du u x dx dy  = + 代入原式 f (u), dx du u + x = . ( ) x f u u dx du − 即 = 可分离变量的方程 齐次型方程 一、齐次型方程

当f(a)-≠0时,得∫=lnCx x=C),(p(u)= f(u-u 将u=y代入,得通解x=ce, 若彐a,使∫(u)-l=0,则u=u是新方程的解, 代回原方程,得齐次方程的解y=u0x

当 f (u) − u  0时, ln , ( ) C1 x f u u du = − 得  , (u) x Ce 即 =  − （ = ） f u u du u ( ) ( ) 将 代入, x y u = , ( ) x y x Ce  得通解 = , 若 u0 ( ) 0, 使 f u0 − u0 = , 则 u = u0是新方程的解 代回原方程 , . 得齐次方程的解 y = u0 x

例1求解微分方程 (x-ycos dx+xcos dy=0. 解令n=少,则d=x+ude, (x-ux cos u)dx+ xcosu(udx+ xdu)=0, cos udu =-, sinu=-Inx+C, 微分方程的解为siny=-Imx+C

例 1 求解微分方程 ( − cos ) + cos dy = 0. x y dx x x y x y 解 令 ， x y u = 则dy = xdu + udx， (x − uxcosu)dx + xcosu(udx + xdu) = 0, cos , x dx udu = − sinu = −ln x + C, 微分方程的解为 sin ln x C. x y = − +

例2求解微分方程,2 2 r -ry t y 解 dy 2y 29 dx x-xy+ y y,( 令n=y,则d=xdhn+utr, 2u2-u u+ru= u+u

例 2 求解微分方程 . 2 2 2 2 y xy dy x xy y dx − = − + 解 2 2 2 2 x xy y y xy dx dy − + − = , 1 2 2 2       − +  −      = x y x y x y x y , x y 令u = 则dy = xdu + udx, , 1 2 2 2 u u u u u xu − + − +  =

2 d x u-2 u u-2 u In(u-1)-In(u-2)Inu=Inx+In C, 2 U-1 L(L一 微分方程的解为(y-x)2=Oy(y-2x)

] , 1 1 2 2 ) 1 2 1 ( 2 1 [ x dx du u u u u = − + − − − − ln ln ln , 2 1 ln( 2) 2 3 ln(u − 1) − u − − u = x + C . ( 2) 1 2 3 Cx u u u = − − 微分方程的解为 ( ) ( 2 ) . 2 3 y − x = Cy y − x

例3抛物线的光学性质 实例:车灯的反射镜面 旋转抛物面 解如图设旋转轴ox轴 光源在(0,0),L:y=y(x) 设M(x,y)为上任一点, R MT为切线斜率为y, MN为法线,斜率为-, ∵∠OMN=∠NMR

例 3 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 解 如图 设旋转轴ox轴 光源在(0,0), L : y = y(x) 设M(x, y)为上任一点， MT为切线, 斜率为 y , , 1 , y MN  为法线 斜率为− OMN = NMR, x y o M T N R L

tan∠OMN=tan∠NMR, R 由夹tan∠OMN=yx 角正 切 式得 tan∠NMR 得微分方程 yy2+2xy-y=0,即y=-±()2+1

tanOMN = tanNMR, x y o M T N R L 由夹 角正 切公 式得            =  − −  −  = y NMR xy y x y y OMN 1 tan 1 1 tan 得微分方程 2 0, 2 yy + xy − y = ( ) 1. 2  = −  + y x y x 即 y

令u 得 1士√1+L u+x ual 分离变量 (1+u2)±1+u tat 令1+u2 t(t±1)x 积分得lnt土1 即√u2+1=-±1

令 ， x y u = , 1 1 2 u u dx du u x −  + 得 + = 分离变量 , (1 ) 1 2 2 x dx u u udu = − +  + 令1+ u 2 = t 2 ， , ( 1) x dx t t tdt = −  积分得 ln 1 ln , x C t  = 1 1, 2 + =  x C 即 u

平方化简得n2 C 2C 十 代回u=,得 3=2C/+C、「抛物线 所求旋转轴为ox轴的旋转抛物面方程为 y2+z2=2C(x+) 2

平方化简得 , 2 22 2 xC xC u = + 代回 , 得 xy u = ) 2 2 ( 2 C y = C x + 抛物线 所求旋转轴为ox轴的旋转抛物面方程为 ). 2 2 ( 2 2 C y + z = C x +

例4 xt y 解1+P xyx 令W=J u+x d x d x 代入化简并分离变量 1+U 两边积分 arctan-ln(1+l2) 2)=Inx+Inc 换回原变量 arctan J in1+2)=mx+mc x 2 或 arctan 2 2 x=cvx+y

x y x y dx dy − + = 解 x y x y dx dy − + = 1 1 令 x y u = 则 dx du u x dx dy = + 代入化简 并分离变量 dx x du u u 1 1 1 2 = + − 两边积分 u ln(1 u ) ln x lnc 2 1 arctan 2 − + = + 换回原变量 x c x y x y ln(1 ) ln ln 2 1 arctan 2 2 − + = + 或 2 2 arctan e c x y x y = + 例4