体积 、旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 条直线旋转一周而成的立体。这直线叫做 旋转轴 圆柱 圆锥 圆台
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 体 积 一、旋转体的体积
一般地,如果旋转体是由连续曲线y=f(x)、 直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体,体积为多少? 取积分变量为x, x∈[a,b 在[a,b上任取小区 间[x,x+xl, a lxde b 取以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素,=叫f(x) 旋转体的体积为 alf(x)idx
一般地，如果旋转体是由连续曲线y = f (x)、 直线x = a、x = b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为x ， x[a,b] 在[a,b]上任取小区 间[x, x + dx]， 取以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV f x dx 2 = [ ( )] 旋转体的体积为 V f x dx b a 2 [ ( )] = x y o y = f (x) x x + dx
类似地,由连续曲线x=g(y),及直线y=c,y=d,x=0 所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的立体的体积 为 V=r(y)dy 例1求椭圆 × =o(y 所围成的平面图形分别绕x 轴和y轴旋转一周所成的旋 转体(旋转椭球体)的体积
x = ( y),及直线y = c, y = d, x = 0 所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成的立体的体积 为 = d c V ( y)dy 2 x y o x = ( y) c d 例1 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 所围成的平面图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转一周所成的旋 转体（旋转椭球体）的体积 类似地，由连续曲线
解①这个旋转体可以看成是由半个椭圆 a-x 及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成的立体 b 2Va'-x dx=rab 3 ②与上同理椭球体也可以看成由半个椭圆 b 及y轴围成的平面图形绕y轴旋转而成的立体
①这个旋转体可以看成是由半个椭圆 2 2 a x a b y = − 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的立体 a x dx a b V a a 2 2 2 2 1 = − − 2 3 4 = ab ②与上同理 椭球体也可以看成由半个椭圆 2 2 b y b a x = − 及 y 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转而成的立体 解
2 2=zJ2√b2-y24=,m2b 3 特别当a=b时旋转体成为球体 3 二V2 3 例2求星形线x3+y3=m3(a>0)绕x轴旋转 构成旋转体的体积 3 2 解 x∈|-u,a
b y dy b a V b b 2 2 2 2 2 = − − a b 2 3 4 = 特别当 a = b 时 旋转体成为球体 3 1 2 3 4 V =V = a 例 2 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a 0)绕x轴旋转 构成旋转体的体积. 解 , 3 2 3 2 3 2 y = a − x 3 3 2 3 2 2 y = a − x x[−a, a]
旋转体的体积 3 32 =|元a3-x3c 105尤a° 例3求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的 拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋 转构成旋转体的体积 解绕x轴旋转的旋转体体积 Ta 兀y(x 2元a 2 T a(1-cost)2.a(1-cos t 2兀 na(1-3 cost+3cos2't-cos t)dt =5x2a3 0
旋转体的体积 V a x dx a a 3 3 2 3 2 = − − . 105 32 3 = a 例 3 求摆线x = a(t − sin t)，y = a(1− cos t)的 一拱与 y = 0所围成的图形分别绕x 轴 、y 轴 旋 转构成旋转体的体积. 解 绕x轴旋转的旋转体体积 a 2a y(x) V y x dx a x ( ) 2 2 0 = = − − 2 0 2 2 a (1 cost) a(1 cost)dt = − + − 2 0 3 2 3 a (1 3cost 3cos t cos t)dt 5 . 2 3 = a
绕y轴旋转的旋转体体积 Bx=x,() 可看作平面图OABC与OBC A 2Ta X 分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差 2a 2 nux(y)dt- Txf(ydt 0 πa2(t-sint)2 a sin tdt 2兀 兀2 πa-(t-sin t). asin tdt T a (t-sint)sin tdt =6T'a
绕y轴旋转的旋转体体积 o y 2a x A 2a C B ( ) 2 x = x y ( ) 1 x = x y 可看作平面图OABC与OBC 分别绕 y轴旋转构成旋转体的体积之差. V x y dt a y ( ) 2 2 0 2 = x y dt a ( ) 2 2 0 1 − = − 2 2 2 a (t sin t) asin tdt − − 0 2 2 a (t sin t) asin tdt = − 2 0 3 2 a (t sin t) sin tdt 6 . 3 3 = a
例4证明由平面图形0≤a≤b,0≤y≤f(x) (f(x)连续)绕y轴旋转而成的立体的体积为 V=2 f(x)dx 证V(x,x+dhlc[a,b对应的部分量4 可近似看成内径为x,外径为x+dx 高为∫(x)的薄壁圆筒 故A≈z1(x+d)2-x21Jf(x) →d=2mf(x)dx
例4 证明由平面图形 0 a b,0 y f (x) （f ( x ) 连续） 绕 y 轴旋转而成的立体的体积为 = b a V 2 xf (x)dx [x, x + dx] [a,b] 对应的部分量 V 可近似看成内径为 x ，外径为 x + dx 高为 f ( x ) 的薄壁圆筒 故 [( ) ] ( ) 2 2 V x + dx − x f x dV = 2xf (x)dx 证
或展开后近似于长为2m宽为dx高为 f(x)的薄长方体→d=2mf(x)hx →V=2xf(x)x 利用这个公式,可知上例中 2 T V,=2rxlf(x)Idx 0 2兀 2T a(t-sint) a(l-costd[a(t-sint) 0 2ta 2S(t-sint)(1-cos t)dt 6
或展开后近似于长为 宽为 dx 高为 f(x) 的薄长方体 2x dV = 2xf (x)dx = b a V 2 xf (x)dx 利用这个公式，可知上例中 V x f x dx a y 2 | ( ) | 2 0 = = − − − 2 0 2 a(t sin t) a(1 cost)d[a(t sin t)] = − − 2 0 3 2 2 a (t sin t)(1 cost) dt 6 . 3 3 = a
例5求由曲线y=4-x2及y=0所围成的图形 绕直线x=3旋转构成旋转体的体积 解取积分变量为y,y∈|0,4 体积元素为 d=[PM-πQMp 「m(3+4-y)2-(3-√4-y)2 =12π√4-yd, V=12丌4-ydy=64π
例 5 求由曲线 2 y = 4 − x 及 y = 0所围成的图形 绕直线x = 3旋转构成旋转体的体积. 解 取积分变量为y , y[0,4] 体积元素为 dV [ PM QM ]dy 2 2 = − [ (3 4 y) (3 4 y) ]dy 2 2 = + − − − − = 12 4 − ydy, V ydy = − 4 0 12 4 = 64. M dy Q P