隐巫数的求导法则 一个方程的情形 l.F(x,y)=0 隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(x0,y)的 某一邻域内具有连续的偏导数,且F(x0,y)=0 F(x,y0)≠0,则方程F(x,y)=0在点P(x,y0)的 某一邻域內恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数y=∫(x),它满足条件y=∫(x),并 有 小y
1. F(x, y) = 0 隐函数存在定理 1 设函数F( x, y)在点 ( , ) 0 0 P x y 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且 ( , ) 0 F x0 y0 = ， Fy (x0 , y0 ) 0，则方程F( x, y) = 0在点 ( , ) 0 0 P x y 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y = f ( x)，它满足条件 ( ) 0 x0 y = f ，并 有 y x F F dx dy = − . 隐函数的求导法则 一、一个方程的情形
例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1 的隐函数y=f(x),并求这函数的一阶和二阶导 数在x=0的值 解令F(x,y)=x2+y2-1 则Fx=2x,F=2y, F(0,1)=0,F(0,1)=2≠0, 依定理知方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1的 函数y=f(x) 函数的一阶和二阶导数为
例１ 验证方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x = 0时y = 1 的隐函数y = f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x = 0的值. 解 令 ( , ) 1 2 2 F x y = x + y − 则 F 2 x , x = F 2 y , y = F ( 0 , 1 ) = 0 , ( 0,1 ) = 2 0, Fy 依定理知方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x = 0 时y = 1的 函数 y = f (x)． 函数的一阶和二阶导数为
小y F dx dy y-xy d 例2已知nx2+y2= arctan,求 解令F(x,y)=ln、x2+p2- arctan!
y x F F dx dy = − , y x = − 0, 0 = dx x= dy 2 2 2 y y xy dx d y − = − 2 y y x y x − − = − , 1 3 y = − 1. 0 2 2 = − x= dx d y 例 2 已知 x y ln x y arctan 2 2 + = ，求 dx dy . 解 令 ( , ) ln arctan , 2 2 x y F x y = x + y −
WU F(, y)=3211, 2, Fy(x,D)=y-x n t y r t y dy_ Fx x+y dx F 2.F(x,y,z)=0 隐函数存在定理2设函数F(x,y,z)在点P(x0, y,a)的某一邻域內有连续的偏导数,且F(x0, y,z)=0,F2(x0,y0,x0)≠0,则方程F(x,y, z)=0在点P(x,y,x)的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y),它满足条件x0=f(x,y) 并有 Z z ax F ay Fy
则 ( , ) , 2 2 x y x y F x y x + + = ( , ) , 2 2 x y y x F x y y + − = y x F F dx dy = − . y x x y − + = − 2. F(x, y,z) = 0 隐函数存在定理 2 设函数F(x, y,z)在点 ( , P x0 , ) 0 0 y z 的某一邻域内有连续的偏导数，且 ( , F x0 , ) 0 y0 z0 = ，Fz (x0 , y0 ,z0 ) 0，则方程F(x, y, z) = 0在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x, y)，它满足条件 ( , ) 0 0 0 z = f x y ， 并有 z x F F x z = − ， z y F F y z = −
u=F(rs),r=x, s=y(x) S u=F(x,y,z)2=孔(x,y) y 例3设x2+y2+2-4z=0,求z ax 解令F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z
u = F(r,s),r = x,s = y(x) u r s x u = F(x, y,z),z = z(x, y) u x y z x y 例 3 设 4 0 2 2 2 x + y + z − z = ，求 2 2 x z . 解 令 ( , , ) 4 , 2 2 2 F x y z = x + y + z − z
Oz F 则 F.=2x,F=2z-4 ax F 2 (2-x)+x(2-z)+x ax 2 ax (2-z) (2-x) (2-x)2+x (2-x) 例4设z=∫(x+y+2,z),求,, ay az 思影把看成x,y的函数对求偏导数, ax 把x看成,y的函数劝求偏导数得 把y看成x,z的函数欢求偏导数得 oz
则 F 2x, x = F = 2z − 4, z , 2 z x F F x z z x − = − = 2 2 x z 2 (2 ) (2 ) z x z z x − − + = 2 (2 ) 2 (2 ) z z x z x − − − + = . (2 ) (2 ) 3 2 2 z z x − − + = 例 4 设z = f (x + y + z, xyz)，求 x z ， y x ， z y . 思路： 把z看成x, y 的函数对x 求偏导数得 x z ， 把x看成z, y的函数对y 求偏导数得 y x ， 把y看成x,z的函数对z 求偏导数得 z y
解令=x+y+z,V=xz, 则 z=∫(u,v), 把看成x,y的函数劝求偏导数得 =fa(14+)+/,(0+xy, z 整理得ax f +yzf f -xvf 把x看成x,y的函数劝求偏导数得
解 令 u = x + y + z, v = xyz, 则 z = f (u,v), 把z看成x, y的函数对x 求偏导数得 x z (1 ) x z f u = + ( ), x z f yz xy v + + 整理得 x z , 1 u v u v f xyf f yzf − − + = 把x看成z, y的函数对y 求偏导数得
0=f(+1)+J,(x+yA 整理得axf+xyf f +yf 把y看成x,的函数戏求偏导数得 au 1=fn·(0+1+f(x+xz ZZ az f -xyfr 整理得 x了
把y看成x,z的函数对z 求偏导数得 1 ( + 1) = z y f u ( ), z y f xy xz v + + 整理得 z y . 1 u v u v f xzf f xyf + − − = 0 ( + 1) = y x f u ( ), y x f xz yz v + + 整理得 y x , u v u v f yzf f xzf + + = −
二、方程组的情形 1、对于方程组F(x)=0 φ(x,y,z)=0 怎样求偏导数 首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数 当x给定以后相当于解含关于y,x的方程组 如果有解且唯一则对于不同的x就完全确定了y,乙 故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x)z=x)
二、方程组的情形 1、对于方程组 ( , , ) 0 ( , , ) 0 = = F x y z x y z 怎样求偏导数 首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数 当 x 给定以后相当于解含关于 y , z 的方程组 如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了y , z 故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x)
怎样求的dF(x,P,z)=0两边对x求导 注意左边是复合函数(三个中间变量), F+F1+F=0同理 dz ①+①·+① dx 若 ≠0 dy_ Fx dz 1 dJΦ,④ dJ④,Φ
若 = 0 y z Fy Fz J 则 , 1 x z Fx Fz dx J dy = − y x Fy Fx dx J dz 1 = − 怎样求 dx dz dx dy , F(x, y,z) = 0 两边对 x 求导 注意左边是复合函数（三个中间变量）， + + = 0 dx dz F dx dy Fx Fy z 同理 + + = 0 dx dz dx dy x y z