2004年数学四试题分析、详解和评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) sIn x (1)若ln (cosx-b)=5,则a=1,b=-4 x→0 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题 【详解】因为lin (cosx-b)=5,且 lim sin x·(cosx-b)=0,所以 im(e2-a)=0,得a=1.极限化为 x→0 lim(cosx-b=lm(cosx-b)=1-b=5,b=-4 x-0x 因此,a=1,b=-4 【评注】一般地,已知lmf(x 1)若g(x)→>0,则∫(x)→0 (2)若f(x)→0,且A≠0,则g(x)→0. 完全类似的例题见《数学复习指南》P36例160,P43第1(3)题,P44第2(10)题 第6题,《数学题型集粹与练习题集》P19例1.34,《数学四临考演习》P79第7题 《考研数学大串讲》P12例17、19 (2)设y= arctan e-h dy 【分析】本题为基础题型,先求导函数即可 详解】因为y=atnc2-x+he2+,y=°x-1+ 【评注】本题属基本题型,主要考查复合函数求导 类似例题在一般教科书上均可找到 (3)设f(x)= 则|1f(x-1)dx= 【分析】本题属于求分段函数的定积分,先换元:x-1=1,再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可 【详解】令x-1=1,[1f(x-1)dx=1f(n)d=1f(x)dt
1 2004 年数学四试题分析、详解和评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） (1) 若 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x ，则 a = 1 ，b = − 4 . 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x ，且 lim sin (cos ) 0 0 − = → x x b x ，所以 lim ( ) 0 0 − = → e a x x ，得 a = 1. 极限化为 (cos ) lim (cos ) 1 5 sin lim 0 0 − = − = − = → − → x b b x x x b e a x x x x ，得 b = −4. 因此，a = 1，b = −4. 【评注】一般地，已知 ( ) ( ) lim g x f x ＝ A ， (1) 若 g(x) → 0，则 f (x) → 0； (2) 若 f (x) → 0，且 A 0，则 g(x) → 0. 完全类似的例题见《数学复习指南》P36 例 1.60，P43 第 1(3)题，P44 第 2(10)题、 第 6 题，《数学题型集粹与练习题集》P19 例 1.34，《数学四临考演习》P79 第 7 题， 《考研数学大串讲》P12 例 17、19. (2) 设 1 arctan ln 2 2 + = − x x x e e y e ，则 1 1 2 1 + − = = e e dx dy x . 【分析】本题为基础题型，先求导函数即可. 【详解】因为 ln( 1) 2 1 arctan 2 = − + + x x y e x e ， 1 1 1 2 2 2 + − + + = x x x x e e e e y ， 所以， 1 1 2 1 + − = = e e dx dy x . 【评注】 本题属基本题型，主要考查复合函数求导. 类似例题在一般教科书上均可找到. (3) 设 − − = 2 1 1 , 2 1 2 1 , ( ) 2 x xe x f x x ，则 2 1 ( 1) 2 2 1 − = − f x dx . 【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x − 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可. 【详解】令 x − 1 = t， − − − = = 1 2 1 1 2 1 2 2 1 f (x 1)dx f (t)dt f (x)dt
21xeax+i1(-1x=0+(-3)=- 【评注】一般地,对于分段函数的定积分,按分界点划分积分区间进行求解 完全类似的例题见《数学复习指南》P96例417,《数学四临考演习》P6第2题, P68第15题,《考研数学大串讲》P41例14 0-10 (4)设A=100,B=P-AP,其中P为三阶可逆矩阵,则 B20-2A2=030 00-1 【分析】将B的幂次转化为A的幂次,并注意到A2为对角矩阵即得答案 【详解】因为 A2=0-10.B20=P1A0P 001 B204=P(A P=PEP=E 300 200-2A42=030 【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查 完全类似的例题可见《数学复习指南》P291例213 (5)设A=(a)2是实正交矩阵,且a1=1,b=(10),则线性方程组Ax=b的解是 (100) 【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果 【详解】因为x=Ab,而且A=(a)是实正交矩阵,于是A=A2,A的每一个行 (列)向量均为单位向量,所以 x=ab=ab a13)(0 【评注】本题主要考査正交矩阵的性质和矩阵的运算. 类似的例题可见《考研数学大串讲》(2002版世界图书出版公司)P74例33
2 ＝ 2 1 ) 2 1 ( 1) 0 ( 1 2 1 2 1 2 1 2 + − = + − = − − x e dx dx x . 【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. 完全类似的例题见《数学复习指南》P96 例 4.17，《数学四临考演习》P61 第 2 题， P68 第 15 题，《考研数学大串讲》P41 例 14. （4） 设 − − = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 A ， B P AP −1 = ，其中 P 为三阶可逆矩阵, 则 − = 2004 2 B 2A 0 0 −1 0 3 0 3 0 0 ． 【分析】 将 B 的幂次转化为 A 的幂次, 并注意到 2 A 为对角矩阵即得答案. 【详解】因为 − − = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 A , B P A P 2004 −1 2004 = . 故 B = P A P = P EP = E 2004 −1 2 1002 −1 ( ) , − = 2004 2 B 2A 0 0 −1 0 3 0 3 0 0 . 【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查． 完全类似的例题可见《数学复习指南》P.291 例 2.13. (5) 设 ( ) 33 A = aij 是实正交矩阵，且 a11 =1， T b = (1,0,0) ，则线性方程组 Ax = b 的解是 T (1,0,0) ． 【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果. 【详解】因为 x A b −1 = , 而且 ( ) 33 A = aij 是实正交矩阵, 于是 −1 A = A T , A 的每一个行 (列)向量均为单位向量, 所以 = = = = − 0 0 1 13 12 11 1 a a a x A b A b T . 【评注】本题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算． 类似的例题可见《考研数学大串讲》(2002 版, 世界图书出版公司) P.174 例 33
(6)设随机变量X服从参数为的指数分布,则P{X>√DX} 【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案 【详解】由于DX=,X的分布函数为 F(x) 00 故 P(X>VDX)=1-P(X<VDX)=1-P(X53)=1-5)7 【评注】本题是对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型 二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)函数f(x)= Lx sin( x-2) 在下列哪个区间内有界 x(x-1)(x-2) (C)(1,2) (D)(2,3) A 【分析】如∫(x)在(a,b)内连续,且极限im.f(x)与limf(x)存在,则函数f(x) 在(a,b)内有界 【详解】当x≠0,1,2时,∫(x)连续,而lmf(x)= sin 3 sin 2 18 2 f(x) ,linf(x)=∞,lif(x)=∞, 所以,函数f(x)在(-1,0)内有界,故选(A) 【评注】一般地,如函数∫(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在闭区间{a,b上有界; 如函数∫(x)在开区间(a,b)内连续,且极限lmf(x)与lmf(x)存在,则函数f(x) x→a x→b 在开区间(a,b)内有界 完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P4例1.10,《数学四临考演习》P51 第15题 (8)设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且lnf(x)=a 8()=(),x≠0 (A)x=0必是g(x)的第一类间断点 (B)x=0必是g(x)的第二类间断点 (C)x=0必是g(x)的连续点 (D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关
3 (6) 设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, 则 P{X DX } = e 1 . 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于 2 1 λ DX = , X 的分布函数为 − = − 0, 0. 1 , 0, ( ) x e x F x λx 故 P{X DX } = 1− P{X DX } = − } = 1 1 { λ P X ) 1 1 ( λ − F e 1 = . 【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型. 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数 2 ( 1)( 2) | |sin( 2) ( ) − − − = x x x x x f x 在下列哪个区间内有界. (A) (−1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ A ] 【分析】如 f (x)在(a , b)内连续，且极限 lim f (x) x a → + 与 lim f (x) x b → − 存在，则函数 f (x) 在(a , b)内有界. 【详解】当 x 0 , 1 , 2 时，f (x)连续，而 18 sin 3 lim ( ) 1 = − + →− f x x ， 4 sin 2 lim ( ) 0 = − → − f x x ， 4 sin 2 lim ( ) 0 = → + f x x ， = → lim ( ) 1 f x x ， = → lim ( ) 2 f x x ， 所以，函数 f (x)在(−1 , 0)内有界，故选(A). 【评注】一般地，如函数 f (x)在闭区间[a , b]上连续，则 f (x)在闭区间[a , b]上有界； 如函数 f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限 lim f (x) x a → + 与 lim f (x) x b → − 存在，则函数 f (x) 在开区间(a , b)内有界. 完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P4 例 1.10，《数学四临考演习》P51 第 15 题. (8) 设 f (x)在(− , +)内有定义，且 f x a x = → lim ( ) ， = = 0 , 0 ) , 0 1 ( ( ) x x x f g x ，则 (A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点. (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点. (C) x = 0 必是 g(x)的连续点. (D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. [ D ]
【分析】考查极限mg(x)是否存在,如存在,是否等于g0即可,通过换元=1 可将极限lmg(x)转化为imf(x) x→>0 x→0 【详解】因为lmg(x)=limf()=limf()=a(令l=-),又g(0)=0,所以, 当a=0时,img(x)=g(0),即g(x)在点x=0处连续,当a≠0时, img(x)≠g(0),即x=0是g(x)的第一类间断点,因此,g(x)在点x=0处的连续性 与a的取值有关,故选(D) 【评注】本题属于基本题型,主要考查分段函数在分界点处的连续性 完全类似的例题见《数学复习指南》P4例170,《数学题型集粹与练习题集》P2例1.35. (9)设f(x)=x(1-x),则 (A)x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点 (B)x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点 (C)x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点 (D)x=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点 【分析】由于f(x)在x=0处的一、二阶导数不存在,可利用定义判断极值情况, 考查f(x)在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号,判断拐点情况 【详解】设00,而f(0)=0,所以x=0是f(x) 的极小值点 显然,x=0是∫(x)的不可导点.当x∈(-8,0)时,f(x)=-x(1-x),f"(x)=2>0, 当x∈(0,6)时,f(x)=x(1-x),f"(x)=-20 (10)设f(x)=10,x=0,F(x)=f(lh,则 1.x<0 (A)F(x)在x=0点不连续 (B)F(x)在(-∞,+∞)内连续,但在x=0点不可导 (C)F(x)在(-∞,+∞)内可导,且满足F'(x)=f(x) (D)F(x)在(-∞,+∞)内可导,但不一定满足F(x)=f(x) [B] 【分析】先求分段函数f()的变限积分F(x)=-J/()M,再讨论函数F)的连续性与 可导性即可 【详解】当x<0时,F(x
4 【分析】考查极限 lim ( ) 0 g x x→ 是否存在，如存在，是否等于 g(0)即可，通过换元 x u 1 = ， 可将极限 lim ( ) 0 g x x→ 转化为 lim f (x) x→ . 【详解】因为 ) lim ( ) 1 lim ( ) lim ( 0 0 f u x g x f x→ x→ u→ = = = a(令 x u 1 = )，又 g(0) = 0，所以， 当 a = 0 时， lim ( ) (0) 0 g x g x = → ，即 g(x)在点 x = 0 处连续，当 a 0 时， lim ( ) (0) 0 g x g x → ，即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点 x = 0 处的连续性 与 a 的取值有关，故选(D). 【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. 完全类似的例题见《数学复习指南》P41 例 1.70，《数学题型集粹与练习题集》P20 例 1.35. (9) 设 f (x) = |x(1 − x)|，则 (A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点. (B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点. [ C ] 【分析】由于 f (x)在 x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况， 考查 f (x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况. 【详解】设 0 0，而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x) 的极小值点. 显然，x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x (− , 0)时，f (x) = −x(1 − x)， f (x) = 2 0 ， 当 x (0 , )时，f (x) = x(1 − x)， f (x) = −2 0 ，所以(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. 故选(C). 【评注】对于极值情况，也可考查 f (x)在 x = 0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. 完全类似的例题见《数学复习指南》P141 例 6.9，《考研数学大串讲》P96 例 5. (10) 设 − = = 1, 0 0 , 0 1, 0 ( ) x x x f x ， = x F x f t dt 0 ( ) ( ) ，则 (A) F(x)在 x = 0 点不连续. (B) F(x)在(− , +)内连续，但在 x = 0 点不可导. (C) F(x)在(− , +)内可导，且满足 F(x) = f (x). (D) F(x)在(− , +)内可导，但不一定满足 F(x) = f (x). [ B ] 【分析】先求分段函数 f (x)的变限积分 = x F x f t dt 0 ( ) ( ) ，再讨论函数 F(x)的连续性与 可导性即可. 【详解】当 x < 0 时， F x dt x x = − = − 0 ( ) ( 1) ；
当x>0时,F(x)=-0=x,当x=0时,F(=0即F()=, 显然,F(x)在(-∞,+∞)内连续,但在x=0点不可导.故选(B) 【评注】本题主要考查求分段函数的变限积分.对于绝对值函数:|x-x|在x=x处 不可导:f(x)=x"|x-x0在x=x0处有n阶导数,则f("(x)=(n+1)川x-x 完全类似的例题见《数学复习指南》P95例415,《考研数学大串讲》P42例15 (11)设∫(x)在a,b]上连续,且f(a)>0,f(b)f(a) (B)至少存在一点x0∈(a,b),使得∫(x0)>f(b) (C)至少存在一点x∈(a,b),使得∫(x)=0 (D)至少存在一点x∈(a,b),使得f(x0)=0 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项,由排除法可选出错误选项 【详解】首先,由已知∫(x)在[a,b上连续,且f(a)>0,f(b)0,由极限的保号性,至少存在一点x∈(ab) 使得(x0)-/(a>0,即f(x)>f(a).同理,至少存在一点x∈(ab 使得∫(x0)>∫(b).所以,(A)(B)(C)都正确,故选(D) 【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性,有一定的难度 完全类似的例题见《数学复习指南》P130例58,《数学题型集粹与练习题集》P70例5.. (12)设n阶矩阵A与B等价,则必须 (A)当|A=a(a≠0)时,|BF=a.(B)当AF=a(a≠0)时,|B-a (C)当|A|≠=0时,|B=0 (D)当A|=0时,|B}=0 【分析】利用矩阵A与B等价的充要条件:r(A)=r(B)立即可得 【详解】因为当|A}=0时,r(A)<n,又A与B等价,故r(B)<n,即B}=0,从而选 (D) 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查,属基本题型
5 当 x > 0 时， F x dt x x = = 0 ( ) 1 ，当 x = 0 时，F(0) = 0. 即 F(x) = |x|， 显然，F(x)在(− , +)内连续，但在 x = 0 点不可导. 故选(B). 【评注】本题主要考查求分段函数的变限积分. 对于绝对值函数： | | 0 x − x 在 0 x = x 处 不可导；f (x) = | | 0 x x x n − 在 0 x = x 处有 n 阶导数，则 ( ) ( 1)!| | 0 ( ) f x n x x n = + − . 完全类似的例题见《数学复习指南》P95 例 4.15，《考研数学大串讲》P42 例 15. (11) 设 f (x) 在[a , b]上连续，且 f (a) 0, f (b) 0 ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 ( ) 0 f x > f (a). (B) 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 ( ) 0 f x > f (b). (C) 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 f (x0 ) = 0 . (D) 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 ( ) 0 f x = 0. [ D ] 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知 f (x) 在[a , b]上连续，且 f (a) 0, f (b) 0 ，则由介值定理， 至少存在一点 ( , ) x0 a b ，使得 f (x0 ) = 0 ； 另外， 0 ( ) ( ) ( ) lim − − = → + x a f x f a f a x a ，由极限的保号性，至少存在一点 ( , ) x0 a b 使得 0 ( ) ( ) 0 0 − − x a f x f a ，即 ( ) ( ) f x0 f a . 同理，至少存在一点 ( , ) x0 a b 使得 ( ) ( ) f x0 f b . 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D). 【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. 完全类似的例题见《数学复习指南》P130 例 5.8，《数学题型集粹与练习题集》P70 例 5.4. (12) 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价, 则必须 (A) 当 | A |= a(a 0) 时, | B |= a . (B) 当 | A |= a(a 0) 时, | B |= −a . (C) 当 | A | 0 时, | B |= 0 . (D) 当 | A |= 0 时, | B |= 0 . [ D ] 【分析】 利用矩阵 A 与 B 等价的充要条件: r(A) = r(B) 立即可得. 【详解】因为当 | A |= 0 时, r(A) n , 又 A 与 B 等价, 故 r(B) n , 即 | B |= 0 , 从而选 (D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型
相关知识要点见《数学复习指南》P284-286 (13)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的a∈(01),数u满足P{X>un}=a 若PXkx}=∝,则x等于 (A)u (B) (C)u (D) u [B] 【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得 【详解】由P{Xkx}=a,以及标准正态分布密度曲线的对称性可得 PiX>x 故正确答案为(B) 【评注】本题是对标准正态分布的性质,严格地说它的上分位数概念的考查 见《数学复习指南》P489分位数概念的注释 (14)设随机变量X1X2,…Xn(m>1)独立同分布,且方差σ2>0.令随机变量 X,则 (A)DH+1)=+2 n+2 a2.(B)D(X1-Y) (C) Cov(X,,r) (D)Cov(X12Y)=σ [CI 【分析】利用协方差的性质立即得正确答案 【详解】由于随机变量X1,X2,…,Xn(n>1)独立同分布,于是可得 Cov(XI, r)=Cov(X,,>X,)=Cov(X,X,) Cov(X, X =-D(X1)=-a 故正确答案为(C) 【评注】本题是对协方差性质的考查,属于基本题 相关知识点见《数学复习指南》P454类似的例题可见《2004文登模拟试题》数三的第一 套第23题 三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分8分)
6 相关知识要点见《数学复习指南》P.284-286. (13) 设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1) , 对给定的 α (0,1), 数 α u 满足 P{X uα } = α , 若 P{| X | x} = α , 则 x 等于 (A) 2 α u . (B) 2 1 α u − . (C) 2 1 α u − . (D) α u1− . [ B ] 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】 由 P{| X | x} = α , 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得 2 1 { } α P X x − = . 故正确答案为(B). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查. 见《数学复习指南》P.489 分位数概念的注释. (14) 设随机变量 X X Xn , , , 1 2 (n 1) 独立同分布，且方差 0 2 σ ．令随机变量 = = n i Xi n Y 1 1 ， 则 (A) 2 1 2 ( ) σ n n D X Y + + = ． (B) 2 1 2 ( ) σ n n D X Y + − = ． (C) n σ Cov X Y 2 1 ( , ) = ． (D) 2 1 Cov(X ,Y) = σ ． [ C ] 【分析】 利用协方差的性质立即得正确答案.. 【详解】 由于随机变量 X X Xn , , , 1 2 (n 1) 独立同分布, 于是可得 ( , ) 1 ) 1 ( , ) ( , 1 1 1 1 1 = = = = n i i n i i Cov X X n X n Cov X Y Cov X ( , ) 1 ( , ) 1 1 1 1 1 Cov X X n Cov X X n n i = i = = 2 1 1 ( ) 1 σ n D X n = = . 故正确答案为(C). 【评注】本题是对协方差性质的考查, 属于基本题. 相关知识点见《数学复习指南》P.454, 类似的例题可见《2004 文登模拟试题》数三的第一 套第 23 题. 三、解答题(本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分 8 分)
COs x 求lm( x→>0sn2x 【分析】先通分化为“”型极限,再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可 【详解】m(-sx)=lmx- Sin xcos x x---Sn22 2x--sin 4x OS 4x =lim 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型,对于“0”型极限,应充分利用等价无穷小 替换来简化计算 完全类似的例题见《数学复习指南》P28例145 (16)(本题满分8分) 求∫(√x2+y2+y,其中D是由圆x2+y2=4和(x+1y2+y2=1所围成的 平面区域(如图) 【分析】首先,将积分区域D分为大圆D={(x,y)x2+y2≤4}减去小 D2={(x,y)|(x+1)2+y2≤l},再利用对称性与极坐标计算即可 【详解】令D1={(x,y)|x2+y2≤4},D2={(x,y)(x+1)2+y2≤1}, 由对称性,ydo=0 Vx+y do= x+yodo- x"+y do 2 16丌3216 所以,j(2+y2+y=0(x=2 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型,对于二重积分,经常利用对称性 及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算 7
7 求 ) cos sin 1 lim ( 2 2 2 0 x x x x − → . 【分析】先通分化为“ 0 0 ”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】 x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 sin sin cos ) lim cos sin 1 lim ( − − = → → = 3 0 4 2 2 0 4 sin 4 2 1 2 lim sin 2 4 1 lim x x x x x x x x − = − → → . 3 4 6 (4 ) 2 1 lim 6 1 cos 4 lim 2 2 0 2 0 = = − = → → x x x x x x . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“ 0 0 ”型极限，应充分利用等价无穷小 替换来简化计算. 完全类似的例题见《数学复习指南》P28 例 1.45. (16) (本题满分 8 分) 求 + + D ( x y y)d 2 2 ，其中 D 是由圆 4 2 2 x + y = 和 ( 1) 1 2 2 x + + y = 所围成的 平面区域(如图). 【分析】首先，将积分区域 D 分为大圆 {( , )| 4} 2 2 D1 = x y x + y 减去小圆 {( , )|( 1) 1} 2 2 D2 = x y x + + y ，再利用对称性与极坐标计算即可. 【详解】令 {( , )| 4}, {( , )|( 1) 1} 2 2 2 2 2 D1 = x y x + y D = x y x + + y ， 由对称性， = 0 D yd . + = + − + 1 2 2 2 2 2 2 2 D D D x y d x y d x y d − = − 2cos 0 2 2 3 2 2 0 2 2 0 d r dr d r dr . (3 2) 9 16 9 32 3 16 = − = − 所以， (3 2) 9 16 ( ) 2 2 + + = − D x y y d . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性 及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算
完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P11例812(1),《数学四临考演习》P16 第17题,《考研数学大串讲》P9例2. (17)(本题满分8分) 设f(a,v)具有连续偏导数,且满足f2(t,v)+fr(4,v)=av 求y(x)=e2f(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解 【分析】先求y,利用已知关系f2(u,v)+f(l,y)=,可得到关于y的一阶微分方程 【详解】y=-2e-2xf(x,x)+e2f(x,x)+e2f(x,x)=-2y+x2e-2x 因此,所求的一阶微分方程为y+2y=x2e2x 解得y=c2x2e2d2+C)=(2x2+C2C为任意常数 【评注】本题综合了复合函数求偏导数与微分方程,但是,求偏导数与解微分方程都是 基本题型 完全类似的例题见《数学复习指南》P243例1111《数学题型集粹与练习题集》P95例713、 例714,《数学四临考演习》P3第16题,《考研数学大串讲》P76例14 (18)(本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中价格P∈(0,20),Q为需求量 (D)求需求量对价格的弹性E4(E4>0) (I)推导=Q(1-Ea)(其中R为收益),并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时, dp 降低价格反而使收益增加 【分析】由于E>0,所以二如由Q=PQ及EB=如可推导 dR Q(-Ed 【详解】()E=PP 0 dP 20-P (I)由R=PQ,得 R P 0+ Q(1+ Qdl-ed 又由Bd-20 1,得P=10 P 当101,于是一<0, 故当10<P<20时,降低价格反而使收益增加
8 完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P101 例 8.12(1)，《数学四临考演习》P16 第 17 题，《考研数学大串讲》P79 例 2. (17) (本题满分 8 分) 设 f (u , v)具有连续偏导数，且满足 f u v f u v uv u ( , ) + v ( , ) = . 求 ( ) ( , ) 2 y x e f x x − x = 所满足的一阶微分方程，并求其通解. 【分析】先求 y ，利用已知关系 f u v f u v uv u ( , ) + v ( , ) = ，可得到关于 y 的一阶微分方程. 【详解】 x v x u x x y e f x x e f x x e f x x y x e 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 − − − − = − + + = − + ， 因此，所求的一阶微分方程为 x y y x e 2 2 2 − + = . 解得 dx x dx x y e x e e dx C x C e 2 2 2 2 3 2 ) 3 1 ( ) ( − − − + = + = (C 为任意常数). 【评注】 本题综合了复合函数求偏导数与微分方程，但是，求偏导数与解微分方程都是 基本题型. 完全类似的例题见《数学复习指南》P243 例 11.11，《数学题型集粹与练习题集》P95 例 7.13、 例 7.14，《数学四临考演习》P3 第 16 题，《考研数学大串讲》P76 例 14. (18) (本题满分 9 分) 设某商品的需求函数为 Q = 100 − 5P，其中价格 P (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性 Ed ( Ed > 0)； (II) 推导 (1 ) Q Ed dP dR = − (其中 R 为收益)，并用弹性 Ed 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. 【分析】由于 Ed > 0，所以 dP dQ Q P Ed = ；由 Q = PQ 及 dP dQ Q P Ed = 可推导 (1 ) Q Ed dP dR = − . 【详解】(I) P P dP dQ Q P Ed − = = 20 . (II) 由 R = PQ，得 (1 ) (1 ) Q Ed dP dQ Q P Q dP dQ Q P dP dR = + = + = − . 又由 1 20 = − = P P Ed ，得 P = 10. 当 10 1，于是 0 dP dR ， 故当 10 < P < 20 时，降低价格反而使收益增加
【评注】当E1>0时,需求量对价格的弹性公式为E1=P=-P 2 dp o dP 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式 dR=(1-Edrodp, dR=(-Edo E ER b-1-E(收益对价格的弹性) 这些公式在文登学校辅导材料系列之五《数学应用专题(经济类)》有详细的总结 完全类似的例题见《数学复习指南》P255例124,《数学应用专题(经济类》P2. (19)(本题满分9分) 设F(x) ′∈2x,x≤o,S表示夹在x轴与曲线y=F(x)之间的面积对任何1>0, x>0 S()表示矩形1≤x≤b,0sy≤F(的面积求 (D)S()=S-S(1)的表达式; (I)S()的最小值 【分析】曲线y=F(x)关于y轴对称,x轴与曲线y=F(x)围成一无界区域,所以, 面积S可用广义积分表示 【详解】()S=2「 S1()=2te, 因此S(1)=1-2e21,t∈(0,+∞) I)由于S()=-2(1-2)e-2, 故S0的唯一驻点为t=1, 又S(1)=8(1-1)e-2,S" >0 所以,S(5)=1-为极小值,它也是最小值 【评注】本题综合了面积问题与极值问题,但这两问题本身并不难,属于基本题型 完全类似的例题见《数学复习指南》P143例6.13,《数学题型集粹与练习题集》P80例611. (20)(本题满分13分) 设线性方程组
9 【评注】当 Ed > 0 时，需求量对价格的弹性公式为 dP dQ Q P dP dQ Q P Ed = = − . 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式： dR = (1− Ed )Qdp ， E Q dp dR d = (1− ) ， p dQ E dR d ) 1 = (1− ， Ed Ep ER =1− (收益对价格的弹性). 这些公式在文登学校辅导材料系列之五《数学应用专题(经济类)》有详细的总结. 完全类似的例题见《数学复习指南》P255 例 12.4，《数学应用专题(经济类)》P2. (19) (本题满分 9 分) 设 = − , 0 , 0 ( ) 2 2 e x e x F x x x ，S 表示夹在 x 轴与曲线 y = F(x)之间的面积. 对任何 t > 0， ( ) 1S t 表示矩形−t x t，0 y F(t)的面积. 求 (I) S(t) = S − ( ) 1S t 的表达式； (II) S(t)的最小值. 【分析】曲线 y = F(x)关于 y 轴对称，x 轴与曲线 y = F(x)围成一无界区域，所以， 面积 S 可用广义积分表示. 【详解】(I) 2 1 0 2 0 2 = = − = + − + − x x S e dx e ， t S t te 2 1 ( ) 2 − = ， 因此 t S t te 2 ( ) 1 2 − = − ，t (0 , +). (II) 由于 t S t t e 2 ( ) 2(1 2 ) − = − − ， 故 S(t)的唯一驻点为 2 1 t = ， 又 t S t t e 2 ( ) 8(1 ) − = − ， 0 4 ) 2 1 ( = e S ， 所以， e S 1 ) 1 2 1 ( = − 为极小值，它也是最小值. 【评注】本题综合了面积问题与极值问题，但这两问题本身并不难，属于基本题型. 完全类似的例题见《数学复习指南》P143 例 6.13，《数学题型集粹与练习题集》P80 例 6.11. (20) (本题满分 13 分) 设线性方程组
0, +2x4=0, 3x1+(2 (4+p)x3+4x4=1 已知(1-11-1)是该方程组的一个解,试求 (Ⅰ)方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解 (Ⅱ)该方程组满足x2=x3的全部解 【分析】含未知参数的线性方程组的求解,当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化 增广矩阵为阶梯形,然后对参数进行讨论.由于本题已知了方程组的一个解,于是可先由它 来(部分)确定未知参数 【详解】将(1,-1,1-1)代入方程组,得λ=H.对方程组的增广矩阵A施以初等行变换 120→01 32+λ2+λ41)(0022-1)22-12-1 (I)当λ≠时,有 010 22 r(A)=r(A)=301311 r(A)=r(4)=2<4,故方程组有无穷多解,且0=(-10,0)为其一个特解 对应的齐次线性方程组的基础解系为n1=(1-310)2,n2=(-1-20.2)
10 + + + + + = + + + = + + + = 3 (2 ) (4 ) 4 1, 2 2 0, 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x λ x μ x x x x x x x λx μx x 已知 T (1,−1,1,−1) 是该方程组的一个解，试求 (Ⅰ) 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (Ⅱ) 该方程组满足 2 3 x = x 的全部解． 【分析】 含未知参数的线性方程组的求解, 当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化 增广矩阵为阶梯形, 然后对参数进行讨论. 由于本题已知了方程组的一个解, 于是可先由它 来(部分)确定未知参数. 【详解】 将 T (1,−1,1,−1) 代入方程组，得 λ = μ ．对方程组的增广矩阵 A 施以初等行变换, 得 − − − − − − → + + = 0 0 2(2 1) 2 1 2 1 0 1 3 1 1 1 0 2 1 3 2 2 4 1 2 1 1 2 0 1 1 0 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ A ， (Ⅰ) 当 2 1 λ 时，有 → − − 2 1 2 1 0 0 1 2 1 2 1 0 1 0 1 0 0 1 0 A ， r(A) = r(A) = 3 4 ，故方程组有无穷多解，且 T ξ ,0) 2 1 , 2 1 (0, 0 = − 为其一个特解， 对应的齐次线性方程组的基础解系为 T η = (−2,1,−1,2) ，故方程组的全部解为 T T ξ ξ kη ,0) k( 2,1, 1,2) 2 1 , 2 1 (0, = 0 + = − + − − ( k 为任意常数)． 当 2 1 λ = 时，有 − − → 0 0 0 0 0 0 1 3 1 1 2 1 2 1 1 0 1 A ， r(A) = r(A) = 2 4 ，故方程组有无穷多解，且 T ξ ,1,0,0) 2 1 ( 0 = − 为其一个特解， 对应的齐次线性方程组的基础解系为 T η (1, 3,1,0) 1 = − ， T η ( 1, 2,0,2) 2 = − −