2003年考研数学(一)真题评注

2003年考研数学(一)真题评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)lim(cos x)n+r")= 【分析】1型未定式,化为指数函数或利用公式lmf(x)3((1)=em(x)1)g(进 计算求极限均可 【详解1】lmn(csx)m0+x)=en4x)mx 而lim In cos x=lim-_2 In cos x lim cosx Ind 故原式=e2=1 【详解2】因为lin(cosx-1) =m-2 ln(1+x2) 所以原式=e2=1 【评注】本题属常规题型,完全类似例题见《数学复习指南》P2425【例1.30-31】 (2)曲面z=x2+y2与平面2x+4y-z=0平行的切平面的方程是 2x+4 【分析】待求平面的法矢量为n={24,-1},因此只需确定切点坐标即可求出平面方 程,而切点坐标可根据曲面z=x2+y2切平面的法矢量与n={2,4,-1}平行确定 【详解】令F(x,y,z)=z-x2 F=1 设切点坐标为(x,y0,0),则切平面的法矢量为{-2x-2y0,1},其与已知平面 2x+4y-z=0平行,因此有

1 2003 年考研数学（一）真题评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1） ln(1 ) 1 0 2 lim (cos ) x x x + → = e 1 . 【分析】  1 型未定式，化为指数函数或利用公式 ( ) lim ( ) g x f x (1 )  = lim( f ( x) 1)g ( x) e − 进行 计算求极限均可. 【详解 1】 ln(1 ) 1 0 2 lim (cos ) x x x + → = x x x e lncos ln(1 ) 1 lim 2 →0 + , 而 2 1 2 cos sin lim ln cos lim ln(1 ) ln cos lim 0 2 0 2 0 = − − = = → + → → x x x x x x x x x x ， 故 原式= . 1 2 1 e e = − 【详解 2】 因为 2 2 1 1 lim ln(1 ) 1 lim (cos 1) 2 2 0 2 0 = − − = + −  → → x x x x x x ， 所以 原式= . 1 2 1 e e = − 【评注】 本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.24-25 【例 1.30-31】. （ 2 ） 曲 面 2 2 z = x + y 与平面 2x + 4y − z = 0 平行的切平面的方程是 2x + 4y − z = 5 . 【分析】 待求平面的法矢量为 n = {2,4,−1}  ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方 程, 而切点坐标可根据曲面 2 2 z = x + y 切平面的法矢量与 n = {2,4,−1}  平行确定. 【详解】 令 2 2 F(x, y,z) = z − x − y ，则 F x x  = −2 ， F y y  = −2 ， F z  =1. 设切点坐标 为 ( , , ) 0 0 0 x y z ，则切平面 的法矢量 为 { 2 , 2 ,1} 0 0 − x − y ，其与已知 平面 2x + 4y − z = 0 平行，因此有

-2xo 2 可解得x0=1,y=2,相应地有=0=x2+y2=5 故所求的切平面方程为 2(x-1)+4(y-2)-(x-5)=0,即2x+4y-z=5 【评注】本题属基本题型,完全类似例题见《数学复习指南》P279【例10.28】和 《数学题型集粹和练习题集》P12【例8.13】 (3)设x2=∑ an cost(-x≤xx),则a2-1 【分析】将f(x)=x2(-r≤xsx)展开为余弦级数x2=∑ a cos nx((-r≤x≤x), 其系数计算公式为an=2r( rcos ndx 【详解】根据余弦级数的定义,有 a2=20x2 cos 2xax [x2 Lx sin 2 2x·2xdx] dcos Lcos 2 coS 2xdx] 【评注】本题属基本题型,主要考查傅里叶级数的展开公式,本质上转化为定积分的 计算.完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P62第一大题第(6)小题和《数 学复习指南》P240【例8.37】 (4)从R2的基a1=a 到基B1=,B2=的过渡矩阵为 【分析】n维向量空间中,从基a1a2…an到基B13B2,…,Bn的过渡矩阵P满足 [B1,B2,…,Bn][a12a2…,anP,因此过渡矩阵P为: P=[a1,a2,…,an[B1,月2…,Bn] 【详解】根据定义,从R2的基a1-0) 到基月=,B2=的过渡矩

2 1 1 4 2 2 2 0 0 − = − = − x y ， 可解得 x0 =1, y0 = 2 ，相应地有 5. 2 0 2 z0 = x0 + y = 故所求的切平面方程为 2(x −1) + 4( y − 2) − (z − 5) = 0 ，即 2x + 4y − z = 5 . 【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.279 【例 10.28】和 《数学题型集粹和练习题集》P.112 【例 8.13】. （3） 设 cos ( ) 0 2 =  −     = x a nx x n n ，则 2 a = 1 . 【分析】将 ( ) ( ) 2 f x = x −  x   展开为余弦级数 cos ( ) 0 2 =  −     = x a nx x n n ， 其系数计算公式为  =   0 ( ) cos 2 a f x nxdx n . 【详解】 根据余弦级数的定义，有 a x xdx x d sin 2x 1 cos 2 2 0 2 0 2 2   =  =     =  −     0 0 2 [ sin 2 sin 2 2 ] 1 x x x xdx =   = −     0  0 0 [ cos 2 cos 2 ] 1 cos 2 1 x d x x x xdx =1. 【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的 计算. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一 P.62 第一大题第（6）小题和《数 学复习指南》P.240 【例 8.37】. （ 4 ） 从 2 R 的 基         − =         = 1 1 , 0 1 1  2 到 基         =         = 2 1 , 1 1 1  2 的过渡矩阵为         −1 − 2 2 3 . 【分析】 n 维向量空间中，从基    n , , , 1 2  到基    n , , , 1 2  的过渡矩阵 P 满足 [    n , , , 1 2  ]=[    n , , , 1 2  ]P ，因此过渡矩阵 P 为 ： P=[ 1 1 2 , , , ] −     n [ , , , ] 1  2   n . 【详解】根据定义，从 2 R 的基         − =         = 1 1 , 0 1 1  2 到基         =         = 2 1 , 1 1 1  2 的过渡矩

阵为 P=a1,a2I[B1,B2] 0-112 0-1‖12 【评注】本题属基本题型,完全类似例题见《数学复习指南》P429【例3.35】 (5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 6x,0≤x≤y≤1 f(x,y) 0.其他, 则P{X+Y≤1} 【分析】已知二维随机变量(X,Y的概率密度fxy),求满足一定条件的概率 Pg(X1)≤},一般可转化为二重积分P8(Xx,1)≤a}=/(xyd进行计算 【详解】由题设,有 P(+ys1)=s(r, y)drdy=dx[6.xdy x+y≤l O 【评注】本题属基本题型,但在计算二重积分时,应注意找出概率密度不为零与满足 不等式x+y≤1的公共部分D,再在其上积分即可.完全类似例题见《文登数学全真模拟试 卷》数学一P14第一大题第(5)小题 (6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布N(,1),从中随机地抽取16个 零件,得到长度的平均值为40(cm),则的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49) 注:标准正态分布函数值d(1.96)=0.975,(1645)=0.95)

3 阵为 P=[ 1 1 2 , ] −   [             − = − 1 2 1 1 0 1 1 1 , ] 1 1  2 . = . 1 2 2 3 1 2 1 1 0 1 1 1       − − =            − 【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.429 【例 3.35】. （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ， x x y f x y 其他 0 1, 0, 6 , ( , )       = 则 P{X + Y  1} = 4 1 . 【分析 】 已知二维随机变量(X,Y) 的概率密度 f(x,y) ，求满足一定条件的概率 { ( , ) }0 P g X Y  z ，一般可转化为二重积分 { ( , ) }0 P g X Y  z =   0 ( , ) ( , ) g x y z f x y dxdy 进行计算. 【详解】 由题设，有 P{X + Y  1} =    +  − = 1 2 1 0 1 ( , ) 6 x y x x f x y dxdy dx xdy = . 4 1 (6 12 ) 2 1 0 2 − =  x x dx y 1 D O 2 1 1 x 【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足 不等式 x + y  1 的公共部分 D，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试 卷》数学一 P.14 第一大题第（5）小题. （6）已知一批零件的长度 X (单位：cm)服从正态分布 N(,1) ，从中随机地抽取 16 个 零件，得到长度的平均值为 40 (cm)，则  的置信度为 0.95 的置信区间是 (39.51,40.49) . (注：标准正态分布函数值 (1.96) = 0.975,(1.645) = 0.95.)

【分析】已知方差a2=1,对正态总体的数学期望进行估计,可根据 N(0,1),由P <la}=1-α确定临界值aa,进而确定相应的置信区间 【详解】由题设,1-a=095,可见∝=0.05.于是查标准正态分布表知a=1.96 本题n=16,x=40,因此,根据P <196}=0.95,有 P <196}=0.95,即P{395140.49}=0.95,故μ的置信度为095的置 信区间是(39514049) 【评注】本题属基本题型,完全类似例题见《数学复习指南》P608【例6.16】 选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其导函数的图形如图所示,则fx)有 (A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点 【分析】答案与极值点个数有关,而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点 共4个,是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定 【详解】根据导函数的图形可知,一阶导数为零的点有3个,而x=0则是导数不存 在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致,必为极值点,且两个极小值点 个极大值点;在x=0左侧一阶导数为正,右侧一阶导数为负,可见x=0为极大值点,故 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点,应选(C) 【评注】本题属新题型,类似考题2001年数学一、二中曾出现过,当时考查的是已 知f(x)的图象去推导∫(x)的图象,本题是其逆问题.完全类似例题在文登学校经济类串讲 班上介绍过

4 【分 析 】 已 知 方差 1 2  = ， 对 正 态 总 体的 数 学 期望  进 行 估 计 ， 可根 据 ~ (0,1) 1 N n X −  ，由     = − − } 1 1 { 2 u n X P 确定临界值 2  u ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设， 1− = 0.95 ，可见  = 0.05. 于是查标准正态分布表知 1.96. 2 u = 本题 n=16, x = 40, 因此，根据 1.96} 0.95 1 {  = − n X P  ，有 1.96} 0.95 16 1 40 {  = −  P ，即 P{39.51,40.49} = 0.95 ，故  的置信度为 0.95 的置 信区间是 (39.51,40.49) . 【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.608 【例 6.16】. 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设函数 f(x)在 (−,+) 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ] y O x 【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点， 共 4 个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定. 【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而 x=0 则是导数不存 在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点， 一个极大值点；在 x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见 x=0 为极大值点，故 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C). 【评注】 本题属新题型，类似考题 2001 年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已 知 f(x)的图象去推导 f (x) 的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲 班上介绍过

(2)设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且man=0,imbn=1, lm c=∞,则必有 (A)an0:而当y=x且充分小时, f(x,y)-f(0,0)≈-x2+4x4s时,向量组Ⅱ必线性相关 (C)当rs时,向量组I必线性相关

5 （2）设 { },{ },{ } n n n a b c 均为非负数列，且 lim = 0 → n n a , lim = 1 → n n b , =  → n n lim c ,则必有 (A) an  bn 对任意 n 成立. (B) n n b  c 对任意 n 成立. (C) 极限 n n n a c → lim 不存在. (D) 极限 n n n b c → lim 不存在. [ D ] 【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除 (A),(B)； 而极限 n n n a c → lim 是 0 型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极 限 n n n b c → lim 属 1  型，必为无穷大量，即不存在. 【详解】 用举反例法，取 n an 2 = ， bn =1， ( 1,2, ) 2 1 cn = n n =  ，则可立即排除 (A),(B),(C)，因此正确选项为(D). 【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完 全类似方法见《数学最后冲刺》P.179. （3）已知函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且 1 ( ) ( , ) lim 2 2 2 0, 0 = + − → → x y f x y xy x y ，则 (A) 点(0,0)不是 f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是 f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是 f(x,y)的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为 f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】 由题设，容易推知 f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为 f(x,y)的极值，关键看在点(0,0) 的充分小的邻域内 f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号. 【详解】 由 1 ( ) ( , ) lim 2 2 2 0, 0 = + − → → x y f x y xy x y 知，分子的极限必为零，从而有 f(0,0)=0, 且 2 2 2 f (x, y) − xy  (x + y ) ( x , y 充分小时），于是 ( , ) (0,0) ( ) . 2 2 2 f x y − f  xy + x + y 可见当 y=x 且 x 充分小时， ( , ) (0,0) 4 0 2 4 f x y − f  x + x  ；而当 y= -x 且 x 充分小时， ( , ) (0,0) 4 0 2 4 f x y − f  −x + x  . 故点(0,0)不是 f(x,y)的极值点，应选(A). 【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新， 有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想， 类似分析思想的例题见《数学复习指南》P.43 【例 1.71】. （4）设向量组 I：  r , , , 1 2  可由向量组 II：    s , , , 1 2  线性表示，则 (A) 当 r  s 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当 r  s 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当 r  s 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当 r  s 时，向量组 I 必线性相关. [ D ]

【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理:若向量组1:a,a2…,an 可由向量组I:B1,B2,…,B,线性表示,则当r>s时,向量组I必线性相关或其逆否命 题:若向量组I:a1,a2,…ar,可由向量组I:B1,B2,…B线性表示,且向量组I线性无 关,则必有r≤s.可见正确选项为(D).本题也可通过举反例用排除法找到答案 【详解】用排除法如1={0B=(0B=(1),则a=0,B+0B,但B,B 线性无关,排除(A):01-(0)(0 2-0 则a1,a2可由B1线性表示,但B1线 性无关,排除(B);a1=B1= a1可由B1,B2线性表示,但a1线性无 关,排除(C).故正确选项为(D 【评注】本题将一已知定理改造成选择题,如果考生熟知此定理应该可直接找到答案 若记不清楚,也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见《数学复习指南》P409定 理1 (5)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵,现有4个命题: ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)≥秩(B) ②若秩(A)≥秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解 ③若Ax=0与Bx=0同解,则秩(A=秩(B) ④若秩(A)=秩(B),则Ax=0与Bx=0同解 以上命题中正确的是 (A)①② (B)①③ (D)③④ B 【分析】本题也可找反例用排除法进行分析,但①②两个命题的反例比较复杂一些, 关键是抓住③与④,迅速排除不正确的选项 【详解】若Ax=0与Bx=0同解,则n-秩A=n-秩(B,即秩(A)=秩(B),命题③成立, 可排除(A)C):但反过来,若秩A)=秩(B),则不能推出Ax=0与Bx=0同解,如A 00 ,则秩(A=秩(B)=1,但Ax=0与B=0不同解,可见命题④不成立,排除(D), 故正确选项为(B) 【评注】文登学校数学辅导班上曾介绍过这样一个例题 【例】齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件 (A)r(A=r(B) (B)A,B为相似矩阵 (C)AB的行向量组等价 (D)AB的列向量组等价 有此例题为基础,相信考生能迅速找到答案

6 【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：  r , , , 1 2  可由向量组 II：   s , , , 1 2  线性表示，则当 r  s 时，向量组 I 必线性相关. 或其逆否命 题：若向量组 I：  r , , , 1 2  可由向量组 II：   s , , , 1 2  线性表示，且向量组 I 线性无 关，则必有 r  s. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案. 【详解】用排除法：如         =         =         = 1 0 , 0 1 , 0 0 1 1  2 ，则 1 0 1 0  2 =  +  ，但 1 2  ,  线性无关，排除(A)；         =         =         = 0 1 , 0 1 , 0 0 1  2 1 ，则 1 2  , 可由  1 线性表示，但  1 线 性无关，排除(B)；         =         =         = 1 0 , 0 1 , 0 1 1 1  2 ，1 可由 1 2  ,  线性表示，但 1 线性无 关，排除(C). 故正确选项为(D). 【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案， 若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见《数学复习指南》P.409 定 理 11. （5）设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题： ① 若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A)  秩(B)； ② 若秩(A)  秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解； ③ 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则 Ax=0 与 Bx=0 同解. 以上命题中正确的是 (A) ① ②. (B) ① ③. (C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些， 关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项. 【详解】 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立， 可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)，则不能推出 Ax=0 与 Bx=0 同解，如       = 0 0 1 0 A ，       = 0 1 0 0 B ，则秩(A)=秩(B)=1，但 Ax=0 与 Bx=0 不同解，可见命题④不成立，排除(D), 故正确选项为(B). 【评注】 文登学校数学辅导班上曾介绍过这样一个例题： 【例】 齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解的充要条件 (A) r(A)=r(B). (B) A,B 为相似矩阵. (C) A, B 的行向量组等价. (D) A,B 的列向量组等价. [ C ] 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案

设随机变量X~1(mn>1)y=2,则 (A)Y~x2(m) (B)Y~x(n-1) (C)Y~F(n,1) (D)Y~F(1,n) 【分析】先由t分布的定义知X 其中U~N(0,1),V~x2(n),再将其代入 Y=x2,然后利用F分布的定义即可 【详解】由题设知,X ,其中U~N(0,1)V~x2(m),于是 这里U2~2(1),根据F分布的定义知Y 1-F(n1)故 应选(C) 【评注】本题综合考查了t分布、x2分布和F分布的概念,要求熟练掌握此三类常用 统计量分布的定义,见《文登数学全真模拟试卷》数学一P57第二大题第(6)小题(事实 上完全相当于原题)和《数学复习指南》P592的定义和P595的【解题提示】 三、(本题满分10分) 过坐标原点作曲线y=nx的切线,该切线与曲线y=nx及x轴围成平面图形D (1)求D的面积A (2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V 【分析】先求出切点坐标及切线方程,再用定积分求面积A;旋转体体积可用一大立 体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算,为了帮助理解,可画一草图 【详解】(1)设切点的横坐标为x0,则曲线y=lnx在点(x,lnxa)处的切线方程是 In (x-x0) 由该切线过原点知hnxo-1=0,从而x0=e.所以该切线的方程为 平面图形D的面积 A=f(e'-ey)dy=3 (2)切线y=-x与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积

7 （6）设随机变量 2 1 ~ ( )( 1), X X t n n  Y = ，则 (A) ~ ( ) 2 Y  n . (B) ~ ( 1) 2 Y  n − . (C) Y ~ F(n,1) . (D) Y ~ F(1, n) . [ C ] 【分析】 先由 t 分布的定义知 n V U X = ，其中 ~ (0,1), ~ ( ) 2 U N V  n ，再将其代入 2 1 X Y = ，然后利用 F 分布的定义即可. 【详解】 由题设知， n V U X = ，其中 ~ (0,1), ~ ( ) 2 U N V  n ，于是 2 1 X Y = = 1 2 2 U n V U n V = ，这里 ~ (1) 2 2 U  ，根据 F 分布的定义知 ~ ( ,1). 1 2 F n X Y = 故 应选(C). 【评注】 本题综合考查了 t 分布、 2  分布和 F 分布的概念，要求熟练掌握此三类常用 统计量分布的定义, 见《文登数学全真模拟试卷》数学一 P.57 第二大题第（6）小题（事实 上完全相当于原题）和《数学复习指南》P.592 的定义和 P.595 的【解题提示】. 三 、（本题满分 10 分） 过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D. (1) 求 D 的面积 A; (2) 求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积 A; 旋转体体积可用一大立 体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图. 【详解】 (1) 设切点的横坐标为 0 x ，则曲线 y=lnx 在点 ( ,ln ) 0 0 x x 处的切线方程是 ( ). 1 ln 0 0 0 x x x y = x + − 由该切线过原点知 ln x0 −1 = 0 ，从而 . 0 x = e 所以该切线的方程为 . 1 x e y = 平面图形 D 的面积  = − = − 1 0 1. 2 1 A (e ey)dy e y （2） 切线 x e y 1 = 与 x 轴及直线 x=e 所围成的三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体积

曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为 V2=hr(e-e")'c 因此所求旋转体的体积为 1=5m2-x(-)b=2-2+3 e 【评注】本题不是求绕坐标轴旋转的体积,因此不能直接套用现有公式.也可考虑用 微元法分析,完全类似例题见《数学复习指南》P197的【例734】和P201的【例742】 四、(本题满分12分) 将函数f(x)= arctan12展开成x的幂级数,并求级数∑ (-1)的 和 【分析】幂级数展开有直接法与间接法,一般考查间接法展开,即通过适当的恒等变 形、求导或积分等,转化为可利用已知幂级数展开的情形。本题可先求导,再利用函数1 的幂级数展开=1+x+x2+…+x"+…即可,然后取x为某特殊值,得所求级数的 和 【详解】因为∫(x)=-1+4 2>-1)4x2.x∈(22 又f(0)= 所以 f(x)=(0+/r=-22-)4 x∈ 4 2n+1 因为级数∑(收敛,函数在x=1处连续,所以

8 为 . 3 1 2 1 V = e 曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 旋转所得的旋转体体积为 V e e dy y 2 1 0 2 ( )  =  − ， 因此所求旋转体的体积为 (5 12 3). 6 ( ) 3 1 2 1 0 2 2 = 1 − 2 = − − = − +  V V V e e e dy e e y    y 1 D O 1 e x 【评注】 本题不是求绕坐标轴旋转的体积，因此不能直接套用现有公式. 也可考虑用 微元法分析，完全类似例题见《数学复习指南》P.197 的【例 7.34】和 P.201 的【例 7.42】. 四 、（本题满分 12 分） 将函数 x x f x 1 2 1 2 ( ) arctan + − = 展开成 x 的幂级数，并求级数   = + − 0 2 1 ( 1) n n n 的和. 【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变 形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。本题可先求导，再利用函数 1− x 1 的幂级数展开 = + + ++ + − n x x x x 2 1 1 1 即可，然后取 x 为某特殊值，得所求级数的 和. 【详解】 因为 ). 2 1 , 2 1 2 ( 1) 4 , ( 1 4 2 ( ) 2 0 2 = − −  − +  = −   = x x x f x n n n n 又 f(0)= 4  , 所以 f x f f t dt t dt n n x x n n 2 [ ( 1) 4 ] 4 ( ) (0) ( ) 2 0 0 0     = = +  = − −  = ). 2 1 , 2 1 , ( 2 1 ( 1) 4 2 4 2 1 0  − + − − +  =  x x n n n n n  因为级数   = + − 0 2 1 ( 1) n n n 收敛，函数 f(x)在 2 1 x = 处连续，所以

f(x)= 2s(-1)4 得 z 2n+l 再由f(=)=0,得 ∑(=),=z 【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P228的【例8.25】 五、(本题满分10分) 已知平面区域D=(x,y)0≤x≤x,0≤y≤},L为D的正向边界试证: (1)xeinydy dx=fxe"sindy d x 【分析】本题边界曲线为折线段,可将曲线积分直接化为定积分证明,或曲线为封闭 正向曲线,自然可想到用格林公式:(2)的证明应注意用(1)的结果 【详解】方法 (1)左边=d 右边 r me"siny dy-mesindrx =t(esinx+e -sin)dx, 所以5xed-y-mdk= fxe"sindy-yemr (2)由于ex+ex≥2,故由(1)得 f xe in dy-ye in ax=n(e"in +e"sin )oar22r 方法二: (1)根据格林公式,得 Je-sinr ∫(emy+e-m)dd

9 ]. 2 1 , 2 1 , ( 2 1 ( 1) 4 2 4 ( ) 2 1 0  − + − = − +  =  x x n f x n n n n  令 2 1 x = ，得    = +  = + −  = − + − = − 0 2 1 0 2 1 ( 1) 4 ] 2 1 2 1 ( 1)4 2 [ 4 ) 2 1 ( n n n n n n n f   , 再由 ) 0 2 1 f ( = ，得 . 4 ) 2 1 ( 2 1 4 ( 1) 0   = − = + −   = f n n n 【评注】 完全类似例题见《数学复习指南》P.228 的【例 8.25】. 五 、（本题满分 10 分） 已知平面区域 D ={(x, y) 0  x  ,0  y  }，L 为 D 的正向边界. 试证： (1) xe dy ye dx xe dy ye dx x L x y L sin y sin sin sin − = −   − − ; (2) 2 . sin sin 2 −   −  xe dy ye dx x L y 【分析】 本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭 正向曲线，自然可想到用格林公式；(2)的证明应注意用(1)的结果. 【详解】 方法一： (1) 左边= e dy e dx y x   − − 0 sin 0 sin     =  − +   0 sin sin (e e )dx x x ， 右边=   − −     0 0 sin sin e dy e dx y x =  − +   0 sin sin (e e )dx x x ， 所以 xe dy ye dx xe dy ye dx x L x y L sin y sin sin sin − = −   − − . (2) 由于 2 sin sin +  x − x e e ，故由（1）得 ( ) 2 . 2 0 sin sin sin sin    − = +    − − x e dy ye dx e e dx x x x L y 方法二： （1） 根据格林公式，得   − − − = + D x y x L y x e dy ye dx (e e )dxdy sin sin sin sin

ready )dxdy 因为D具有轮换对称性,所以 ∫em+e-b=( e-siny +elina)h 故5xe"hy d x= fxe-sin dy-yesindor (2)由(1)知 fxe in dy-ye"sin dr=[(einy +e-sinn)dxdy fein dxdy +[e-sinrdrdy eddy+‖le- dxdy(利用轮换对称性) 「 (en+ e-si)dxdy≥「1atdy=22 【评注】本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的,因此期 望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的另外,一个题由两部分构成时,求证第 二部分时应首先想到利用第一部分的结果,事实上,第一部分往往是起桥梁作用的 本题完全类似例题见《数学复习指南》P325的【例12.15】,相当于此例题中取 x)=eˉs,也就是说,本题是【例12.15】的特殊情形. 六、(本题满分10分) 某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻 力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为kk>0)汽 锤第一次击打将桩打进地下am根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次 击打时所作的功之比为常数r(0<r<1).问 1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? 注:m表示长度单位米 【分析】本题属变力做功问题,可用定积分进行计算,而击打次数不限,相当于求数 列的极限 【详解】(1)设第n次击打后,桩被打进地下xn,第n次击打时,汽锤所作的功为 Wn(mn=1,2,3,…).由题设,当桩被打进地下的深度为x时,土层对桩的阻力的大小为kx, 所以 k W,=kxdx 2 由W2=W1可得

10   − = + − − D x y x L y x e dy ye dx (e e )dxdy sin sin sin sin . 因为 D 具有轮换对称性，所以  − + D y x (e e )dxdy sin sin =  + − D y x (e e )dxdy sin sin ， 故 xe dy ye dx xe dy ye dx x L x y L sin y sin sin sin − = −   − − . (2) 由(1)知   − − − = + D x y x L y x e dy ye dx (e e )dxdy sin sin sin sin = e dxdy e dxdy D D y x   − + sin sin = e dxdy e dxdy D D x x   − + sin sin （利用轮换对称性） = ( ) 2 2 . sin sin 2 +  =    − e e dxdy dxdy D D x x 【评注】 本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期 望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第 二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的. 本题完全类似例题见《数学复习指南》P.325 的【例 12.15】, 相当于此例题中取 x x e sin ( ) −  = ，也就是说，本题是【例 12.15】的特殊情形. 六 、（本题满分 10 分） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻 力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为 k,k>0）.汽 锤第一次击打将桩打进地下 a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次 击打时所作的功之比为常数 r(0<r<1). 问 (1) 汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m 表示长度单位米.） 【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数 列的极限. 【详解】 (1) 设第 n 次击打后，桩被打进地下 n x ，第 n 次击打时，汽锤所作的功为 W (n =1,2,3, ) n . 由题设，当桩被打进地下的深度为 x 时，土层对桩的阻力的大小为 kx ， 所以 2 2 1 0 1 2 2 1 a k x k W kxdx x = = =  ， ( ). 2 ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 x a k x x k W kxdx x x = = − = −  由 2 1 W = rW 可得