2003年考研数学(一)真题评注.doc_大学文库

2 1 1 4 2 2 2 0 0 − = − = − x y ，可解得 x0 =1, y0 = 2 ，相应地有 5. 2 0 2 z0 = x0 + y = 故所求的切平面方程为 2(x −1) + 4( y − 2) − (z − 5) = 0 ，即 2x + 4y − z = 5 . 【评注】本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.279 【例 10.28】和《数学题型集粹和练习题集》P.112 【例 8.13】. （3）设 cos ( ) 0 2 =  −     = x a nx x n n ，则 2 a = 1 . 【分析】将 ( ) ( ) 2 f x = x −  x   展开为余弦级数 cos ( ) 0 2 =  −     = x a nx x n n ，其系数计算公式为  =   0 ( ) cos 2 a f x nxdx n . 【详解】根据余弦级数的定义，有 a x xdx x d sin 2x 1 cos 2 2 0 2 0 2 2   =  =     =  −     0 0 2 [ sin 2 sin 2 2 ] 1 x x x xdx =   = −     0  0 0 [ cos 2 cos 2 ] 1 cos 2 1 x d x x x xdx =1. 【评注】本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一 P.62 第一大题第（6）小题和《数学复习指南》P.240 【例 8.37】. （ 4 ）从 2 R 的基         − =         = 1 1 , 0 1 1  2 到基         =         = 2 1 , 1 1 1  2 的过渡矩阵为         −1 − 2 2 3 . 【分析】 n 维向量空间中，从基    n , , , 1 2  到基    n , , , 1 2  的过渡矩阵 P 满足 [    n , , , 1 2  ]=[    n , , , 1 2  ]P ，因此过渡矩阵 P 为： P=[ 1 1 2 , , , ] −     n [ , , , ] 1  2   n . 【详解】根据定义，从 2 R 的基         − =         = 1 1 , 0 1 1  2 到基         =         = 2 1 , 1 1 1  2 的过渡矩

4 【分析】已知方差 1 2  = ，对正态总体的数学期望  进行估计，可根据 ~ (0,1) 1 N n X −  ，由     = − − } 1 1 { 2 u n X P 确定临界值 2  u ，进而确定相应的置信区间. 【详解】由题设， 1− = 0.95 ，可见  = 0.05. 于是查标准正态分布表知 1.96. 2 u = 本题 n=16, x = 40, 因此，根据 1.96} 0.95 1 {  = − n X P  ，有 1.96} 0.95 16 1 40 {  = −  P ，即 P{39.51,40.49} = 0.95 ，故  的置信度为 0.95 的置信区间是 (39.51,40.49) . 【评注】本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.608 【例 6.16】. 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数 f(x)在 (−,+) 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ] y O x 【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共 4 个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定. 【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在 x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见 x=0 为极大值点，故 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C). 【评注】本题属新题型，类似考题 2001 年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知 f(x)的图象去推导 f (x) 的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过

5 （2）设 { },{ },{ } n n n a b c 均为非负数列，且 lim = 0 → n n a , lim = 1 → n n b , =  → n n lim c ,则必有 (A) an  bn 对任意 n 成立. (B) n n b  c 对任意 n 成立. (C) 极限 n n n a c → lim 不存在. (D) 极限 n n n b c → lim 不存在. [ D ] 【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除 (A),(B)；而极限 n n n a c → lim 是 0 型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限 n n n b c → lim 属 1  型，必为无穷大量，即不存在. 【详解】用举反例法，取 n an 2 = ， bn =1， ( 1,2, ) 2 1 cn = n n =  ，则可立即排除 (A),(B),(C)，因此正确选项为(D). 【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见《数学最后冲刺》P.179. （3）已知函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且 1 ( ) ( , ) lim 2 2 2 0, 0 = + − → → x y f x y xy x y ，则 (A) 点(0,0)不是 f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是 f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是 f(x,y)的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为 f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】由题设，容易推知 f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为 f(x,y)的极值，关键看在点(0,0) 的充分小的邻域内 f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号. 【详解】由 1 ( ) ( , ) lim 2 2 2 0, 0 = + − → → x y f x y xy x y 知，分子的极限必为零，从而有 f(0,0)=0, 且 2 2 2 f (x, y) − xy  (x + y ) ( x , y 充分小时），于是 ( , ) (0,0) ( ) . 2 2 2 f x y − f  xy + x + y 可见当 y=x 且 x 充分小时， ( , ) (0,0) 4 0 2 4 f x y − f  x + x  ；而当 y= -x 且 x 充分小时， ( , ) (0,0) 4 0 2 4 f x y − f  −x + x  . 故点(0,0)不是 f(x,y)的极值点，应选(A). 【评注】本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想，类似分析思想的例题见《数学复习指南》P.43 【例 1.71】. （4）设向量组 I：  r , , , 1 2  可由向量组 II：    s , , , 1 2  线性表示，则 (A) 当 r  s 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当 r  s 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当 r  s 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当 r  s 时，向量组 I 必线性相关. [ D ]

6 【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：  r , , , 1 2  可由向量组 II：   s , , , 1 2  线性表示，则当 r  s 时，向量组 I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组 I：  r , , , 1 2  可由向量组 II：   s , , , 1 2  线性表示，且向量组 I 线性无关，则必有 r  s. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案. 【详解】用排除法：如         =         =         = 1 0 , 0 1 , 0 0 1 1  2 ，则 1 0 1 0  2 =  +  ，但 1 2  ,  线性无关，排除(A)；         =         =         = 0 1 , 0 1 , 0 0 1  2 1 ，则 1 2  , 可由  1 线性表示，但  1 线性无关，排除(B)；         =         =         = 1 0 , 0 1 , 0 1 1 1  2 ，1 可由 1 2  ,  线性表示，但 1 线性无关，排除(C). 故正确选项为(D). 【评注】本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见《数学复习指南》P.409 定理 11. （5）设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题： ① 若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A)  秩(B)； ② 若秩(A)  秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解； ③ 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解. 以上命题中正确的是 (A) ① ②. (B) ① ③. (C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项. 【详解】若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)，则不能推出 Ax=0 与 Bx=0 同解，如       = 0 0 1 0 A ，       = 0 1 0 0 B ，则秩(A)=秩(B)=1，但 Ax=0 与 Bx=0 不同解，可见命题④不成立，排除(D), 故正确选项为(B). 【评注】文登学校数学辅导班上曾介绍过这样一个例题：【例】齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解的充要条件 (A) r(A)=r(B). (B) A,B 为相似矩阵. (C) A, B 的行向量组等价. (D) A,B 的列向量组等价. [ C ] 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案

10   − = + − − D x y x L y x e dy ye dx (e e )dxdy sin sin sin sin . 因为 D 具有轮换对称性，所以  − + D y x (e e )dxdy sin sin =  + − D y x (e e )dxdy sin sin ，故 xe dy ye dx xe dy ye dx x L x y L sin y sin sin sin − = −   − − . (2) 由(1)知   − − − = + D x y x L y x e dy ye dx (e e )dxdy sin sin sin sin = e dxdy e dxdy D D y x   − + sin sin = e dxdy e dxdy D D x x   − + sin sin （利用轮换对称性） = ( ) 2 2 . sin sin 2 +  =    − e e dxdy dxdy D D x x 【评注】本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的. 本题完全类似例题见《数学复习指南》P.325 的【例 12.15】, 相当于此例题中取 x x e sin ( ) −  = ，也就是说，本题是【例 12.15】的特殊情形. 六、（本题满分 10 分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为 k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下 a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 r(0<r<1). 问 (1) 汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米.）【分析】本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限. 【详解】 (1) 设第 n 次击打后，桩被打进地下 n x ，第 n 次击打时，汽锤所作的功为 W (n =1,2,3, ) n . 由题设，当桩被打进地下的深度为 x 时，土层对桩的阻力的大小为 kx ，所以 2 2 1 0 1 2 2 1 a k x k W kxdx x = = =  ， ( ). 2 ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 x a k x x k W kxdx x x = = − = −  由 2 1 W = rW 可得