§5向量空间
§5 向量空间
封闭的概念 定义:所谓封闭,是指集合中任意两个元素作某一运算得到 的结果仍属于该集合 例:试讨论下列数集对四则运算是否封闭? 整数集Z 有理数集Q 实数集R
封闭的概念 定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到 的结果仍属于该集合． 例：试讨论下列数集对四则运算是否封闭？ ◼ 整数集 Z ◼ 有理数集 Q ◼ 实数集 R
向量空间的概念 定义:设V是n维向量的集合,如果 ①集合V非空, ②集合V对于向量的加法和乘数两种运算封闭, 具体地说,就是: √若a∈v,b∈V则a+b∈V.(对加法封闭) √若a∈v,∈R,则λa∈W.(对乘数封闭 那么就称集合V为向量空间
向量空间的概念 定义：设 V 是 n 维向量的集合，如果 ① 集合 V 非空， ② 集合 V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭， 具体地说，就是： ✓ 若 a ∈ V， b ∈ V，则a + b ∈ V ．（对加法封闭） ✓ 若 a ∈ V， l ∈ R，则 l a ∈ V ．（对乘数封闭） 那么就称集合 V 为向量空间．
例:下列哪些向量组构成向量空间? 1.n维向量的全体Rn 2.集合V={(0,x2,…,xn)x2,…,xn∈R} 3.集合V2={(1,x2, 2 ∈R} 4.齐次线性方程组的解集S1={x|Ax=0} 5.非齐次线性方程组的解集S2={xAx=b} 解:集合Rn,Ⅵ1,S1是向量空间, 集合V2,S2不是向量空间 定义:齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间
例：下列哪些向量组构成向量空间？ 1. n 维向量的全体Rn 2. 集合 V1 = { (0, x2 , …, xn ) T | x2 , …, xn ∈R } 3. 集合 V2 = { (1, x2 , …, xn ) T | x2 , …, xn ∈R } 4. 齐次线性方程组的解集 S1 = { x | Ax = 0 } 5. 非齐次线性方程组的解集 S2 = { x | Ax = b } 解：集合 Rn ，V1，S1 是向量空间， 集合 V2，S2 不是向量空间． 定义：齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间
例:设a,b为两个已知的n维向量,集合 L={a+μb|,p∈R} 是一个向量空间吗? 解:设x1,x2∈L,k∈R,因为 x1+x2=(1a+p1b)+(2a+/2b (A1+a2)a+(1+p2)b∈L ·kx1=k(1a+p1b)=(ka1)a+(ky1)b∈L 所以,L是一个向量空间
例：设 a, b 为两个已知的 n 维向量，集合 L = {l a + m b | l, m ∈R } 是一个向量空间吗？ 解：设 x1 , x2 ∈L， k∈R，因为 ⚫ x1 + x2 = (l1a + m1b) + (l2a + m2b) = (l1 + l2 ) a + (m1 + m2 ) b∈ L ⚫ k x1 = k (l1a + m1b) = (kl1 ) a + (km1 ) b ∈ L 所以，L 是一个向量空间．
定义:把集合 L={a+μb|,p∈R} 称为由向量a,b所生成的向量空间 一般地,把集合 L={1a1+a2a2+…+λn{mA1,12,…,1m∈R} 称为由向量a1,a2,…,am所生成的向量空间 例:设向量组a1,m2,…,amn和b1,b2,…,b等价,记 L1={A1a1+12a2+,+an{ma1,12,…,xm∈R}, L2={H1b1+p2b2+…+pb、|p1,p2,…,∈R}, 试证L1=L2 结论:等价的向量组所生成的空间相等 ①
定义：把集合 L = {l a + m b | l, m ∈R } 称为由向量 a, b 所生成的向量空间． 一般地，把集合 L = {l1a1 + l2a2 + …+ l mam | l1 , l2 , ..., l m ∈R } 称为由向量a1 , a2 , ..., am 所生成的向量空间． 例：设向量组a1 , a2 , ..., am 和 b1 , b2 , ..., bs 等价，记 L1 = { l1a1 + l2a2 + …+ l mam | l1 , l2 , ..., l m ∈R }， L2 = { m1b1 + m2b2 + …+ ms bs | m1 , m2 , ..., ms ∈R }， 试证 L1 = L2 ． 结论：等价的向量组所生成的空间相等．
向量空间的基的概念 定义:设有向量空间,如果在V中能选出r个向量a1a2,…, a,满足 ③a1,a23…,a,线性无关; ②V中任意一个向量都能由a,a2,…,a线性表示; 那么称向量组a1,a2,,a是向量空间V的一个基 r称为向量空间V的维数,并称V为r维向量空间 向量空间 向量组 向量空间的基 向量组的最大无关组 向量空间的维数 向量组的秩
向量空间的基的概念 定义：设有向量空间 V ，如果在 V 中能选出 r 个向量a1 , a2 , …, ar，满足 ① a1 , a2 , …, ar 线性无关； ② V 中任意一个向量都能由 a1 , a2 , …, ar 线性表示； 那么称向量组 a1 , a2 , …, ar 是向量空间 V 的一个基． r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间． 向量空间 向量空间的基 向量空间的维数 向量组 向量组的最大无关组 向量组的秩
1.n维向量的全体Rn 解:En的列向量组是R的一个基,故R的维数等于n 2.集合V1={(0,x2,…,xn)Tx2,…,xn∈R} 解:En的后n-1个列向量是V的一个基,故V的维数等于 3.n元齐次线性方程组的解集S1={x|Ax=0} 解:齐次线性方程组的基础解系是S1的一个基,故S1的维 数等于n-R4)
1. n 维向量的全体 Rn 解：En 的列向量组是 Rn 的一个基，故Rn的维数等于 n . 2. 集合 V1 = { (0, x2 , …, xn ) T | x2 , …, xn ∈R } 解：En 的后 n－1个列向量是V1 的一个基，故 V1 的维数等于 n－1 ． 3. n 元齐次线性方程组的解集 S1 = { x | Ax = 0 } 解：齐次线性方程组的基础解系是 S1 的一个基，故 S1 的维 数等于 n－R(A) ．
4.由a1,a2,…,amn所生成的向量空间 L={λ1a1+A2a2+…+annA1,12,…,m∈R} 若a1,a2,…,am线性无关,则 a1,a2,…,an是向量空间L的一个基 若a1,a2,…,am线性相关,则 向量组A:a1,a2,…,am 等价于向量组A的最大无关组A:a1,a2 从而L工L1={41a1+λ2a2+…+41a1|41,A2,…,4∈R} 故向量组A就是L的一个基,A0中向量的个数就是L的维数
4. 由a1 , a2 , ..., am 所生成的向量空间 L = { l1a1 + l2a2 + …+ l mam | l1 , l2 , ..., l m ∈R } • 若 a1 , a2 , ..., am 线性无关，则 a1 , a2 , ..., am 是向量空间 L 的一个基． • 若 a1 , a2 , ..., am 线性相关，则 向量组 A：a1 , a2 , ..., am 等价于 向量组 A 的最大无关组 A0 ：a1 , a2 , ..., ar 从而 L =L1= { l1a1 + l2a2 + …+ lrar | l1 , l2 , ..., lr ∈R } 故向量组 A0 就是 L 的一个基， A0中向量的个数就是 L 的维数
定义:如果在向量空间V中取定一个基a1,a2,…,a,那么V 中任意一个向量可唯一表示为 x=A1a1+2a2+…+mn 数组九1,2…,,称为向量x在基a1,a2,…,a,中的坐标 10|0 例:E=(e,42"=)=|010的列向量组是R的一个基, 001 0 那么b=3|=20+31+70=2c1+3e2+7e3 b在基e,e2,e3中的坐标
定义：如果在向量空间 V 中取定一个基 a1 , a2 , ..., ar ，那么V 中任意一个向量可唯一表示为 x = l1a1 + l2a2 + …+ lrar 数组 l1 , l2 , ..., lr 称为向量 x 在基 a1 , a2 , ..., ar 中的坐标． 例： ( 1 2 3 ) 的列向量组是 R3 的一个基， 1 0 0 , , 0 1 0 0 0 1 E e e e = = 1 0 0 2 0 3 1 7 0 0 0 1 = + + 1 2 3 = + + 2 3 7 e e e 2 3 7 b = 那么 b 在基 e1 , e2 , e3 中的坐标