53向量组的秩
§3 向量组的秩
矩阵 系数矩阵 有限向量组与矩阵一一对应 增广矩阵 线性 有限 方程组 向量组 Ax=b有解 当且仅当 向量b可由矩阵A的列向量组线性表示 课本P88定理4: 向量组A:a1,a2,…,an线性相关的充要条件是矩阵A=(a1,a2 n 的秩小于向量的个数m; ·向量组A:a1,a2,,amn线性无关的充要条件是矩阵A=(a1,a2 ··5n 的秩等于向量的个数m
矩阵 线性 方程组 有限 向量组 系数矩阵 增广矩阵 有限向量组与矩阵一一对应 Ax = b 有解 当且仅当 向量 b 可由矩阵 A的列向量组线性表示 课本P. 88定理4： • 向量组 A：a1 , a2 , …, am 线性相关的充要条件是矩阵A = (a1 , a2 , …, am ) 的秩小于向量的个数m ； • 向量组 A：a1 , a2 , …, am 线性无关的充要条件是矩阵A = (a1 , a2 , …, am ) 的秩等于向量的个数m ．
n元线性方程组 向量组A:a1,a2,…,an Ax=b 矩阵(A,b 其中A是nxm矩阵 及向量b 是否存在解? R4)=R(4,b成立?向量b能否由向量组A 线性表示? 无解 R(4)<R(A,b) NO 有解 R(4)=R(,b) YES x的分量是线性组合的系数 唯一解 R(4)=R(,b) =未知数个数 表达式唯一 无穷解 R(4)=R(4,b) <未知数个数 表达式不唯
n元线性方程组 Ax = b 其中 A 是 n×m 矩阵 矩阵 (A, b) 向量组 A: a1 , a2 , …,an 及向量 b 是否存在解？ R(A) = R(A, b) 成立？ 向量 b 能否由向量组 A 线性表示？ 无解 R(A) < R(A, b) NO 有解 R(A) = R(A, b) YES x 的分量是线性组合的系数 唯一解 R(A) = R(A, b) = 未知数个数 表达式唯一 无穷解 R(A) = R(A, b) < 未知数个数 表达式不唯一
回顾:矩阵的秩 定义:在mXn矩阵A中,任取k行k列(k≤m,km), 位于这些行列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处 的位置次序而得的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式 规定:零矩阵的秩等于零 定义:设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有 r+1阶子式(如果存在的话)全等于零,那么D称为矩阵 A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(4) 结论:矩阵的秩 矩阵中最高阶非零子式的阶数 =矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数
回顾：矩阵的秩 定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k 2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式． 规定：零矩阵的秩等于零． 定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)． 结论： 矩阵的秩 = 矩阵中最高阶非零子式的阶数 = 矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数
向量组的秩的概念 定义:设有向量组A,如果在A中能选出r个向量a1,a2…, a,满足 ①向量组A0:a1,a2,,a,线性无关; ②向量组A中任意r+1个向量(如果A中有+1个向量的 话)都线性相关 那么称向量组A是向量组A的一个最大线性无关向量组, 简称最大无关组 最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩,记作R4
向量组的秩的概念 定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1 , a2 , …, ar，满足 ① 向量组 A0 ：a1 , a2 , …, ar 线性无关； ② 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有r + 1个向量的 话）都线性相关； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组， 简称最大无关组． 最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩，记作RA ．
2-1-112 11-214 例:求矩阵A= 的秩,并求A的一个 4-62-24 最高阶非零子式
例：求矩阵 的秩，并求 A 的一个 最高阶非零子式． 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 A − − − = − − −
解:第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵 12)(11-21 2 4-62-240001-3 36-979丿0000 行阶梯形矩阵有3个非零行,故R(4)=3 第二步求A的最高阶非零子式。选取行阶梯形矩阵中非零行 的第一个非零元F应的是选取矩阵A的第 二、四列 A0=(a1,a2,a4) 4-6-2001 367)(000
第二步求 A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行 的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 二、四列． 解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵． 行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 ~ 4 6 2 2 4 0 0 0 1 3 3 6 9 7 9 0 0 0 0 0 r A − − − − − = − − − − 0 1 2 4 2 1 1 111 ( , , ) ~ 462 3 6 7 r A a a a − = = − − 0 111 0 1 1 0 0 1 000 B =
11 1|01 A=(a1a2a4)= B 4-6-200 367)(000 R(A0)=3,计算A0的前3行构成的子式 8≠0 因此这就是A的一个最高阶非零子式 结论:矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的,但矩阵的秩 是唯一的
0 1 2 4 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 ( , , ) ~ 4 6 2 0 0 1 3 6 7 0 0 0 r A a a a B − = = = − − R(A0 ) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式 2 1 1 1 1 1 8 0 462 − = − − − 因此这就是 A 的一个最高阶非零子式． 结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩 是唯一的．
11 A=(a1a2a4)= B 4-6-200 367)(000 事实上, 根据R(4)=3可知:A的3个列向量就是矩阵A的列向量组的一 个线性无关的部分组 在矩阵A任取4个列向量,根据R(4)=3可知:4中所有4阶子式 都等于零,从而这4个列向量所对应的矩阵的秩小于4,即这4个 列向量线性相关 A的3个列向量就是矩阵A的列向量组的一个最大线性无关组 矩阵A的列向量组的秩等于3 同理可证,矩阵A的行向量组的秩也等于3
事实上， ◼ 根据 R(A0 ) = 3 可知： A0的 3 个列向量就是矩阵A 的列向量组的一 个线性无关的部分组． ◼ 在矩阵 A 任取 4 个列向量，根据R(A) = 3 可知：A中所有4 阶子式 都等于零，从而这4 个列向量所对应的矩阵的秩小于4，即这 4 个 列向量线性相关． ◼ A0的 3 个列向量就是矩阵A 的列向量组的一个最大线性无关组． ◼ 矩阵 A 的列向量组的秩等于3． ◼ 同理可证，矩阵A 的行向量组的秩也等于3． 0 1 2 4 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 ( , , ) ~ 4 6 2 0 0 1 3 6 7 0 0 0 r A a a a B − = = = − −
矩阵 系数矩阵 有限向量组与矩阵一一对应 增广矩阵 矩阵的秩等于列(行)向量组的秩 线性 有限 方程组 向量组 Ax=b有解 当且仅当 向量b能否由向量组A线性表示 一般地, 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 矩阵的秩等于它的行向量组的秩.(P90定理6)
矩阵 线性 方程组 有限 向量组 系数矩阵 增广矩阵 有限向量组与矩阵一一对应 矩阵的秩等于列（行）向量组的秩 Ax = b 有解 当且仅当 向量 b 能否由向量组 A 线性表示 一般地， ◼ 矩阵的秩等于它的列向量组的秩． 矩阵的秩等于它的行向量组的秩．（P.90 定理6）
