§2矩阵的运算
§2 矩阵的运算
例某工厂生产四种货物,它在上半年和下半年向三家商店 发送货物的数量可用数表表示: 12 13 其中a表示上半年工厂向第i家 21222324商店发送第j种货物的数量 31 33 34 12 13 14 其中c表示工厂下半年向第i家 2n2n2324商店发送第/种货物的数量 31 32 33 34 试求:工厂在一年内向各商店发送货物的数量
例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店 发送货物的数量可用数表表示： 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a a a a a a a a a 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 c c c c c c c c c c c c 试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量． 其中aij 表示上半年工厂向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量． 其中cij 表示工厂下半年向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量．
解:工厂在一年内向各商店发送货物的数量 13 12 21 22 24 21 22 23 24 32 34 31 32 33 34 1+C1 12 3 +C 13 a+c 21+c 21 21 a 22 十 C,22+ 22 24+C2 31+C31 a +ca aa tc 32 32 33a 34
11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a a a a a a a a a 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 c c c c c c c c c c c c 11 11 12 12 13 13 14 14 21 21 22 22 23 23 24 24 31 31 32 32 33 33 34 34 a c a c a c a c a c a c a c a c a c a c a c a c + + + + + + + + + + + + 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a a a a a a a a a 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 c c c c c c c c c c c c 11 11 12 12 13 13 14 14 21 21 22 22 23 23 24 24 31 31 32 32 33 33 34 34 a c a c a c a c a c a c a c a c a c a c a c a c + + + + = + + + + + + + + 解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量 +
矩阵的加法 定义:设有两个mXMn矩阵A=(a),B=(bn,那么矩阵 A与B的和记作A+B,规定为 12 +b, In+b In +b a2n+, A+B= 21 21 22 22 am+ b, a2+bn2…am+bm 说明:只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算
一、矩阵的加法 定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A＋B，规定为 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b + + + + + + + = + + + 说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算
知识点比较 12a 22 23 22 23 22 +b 22 2 32 +b2 2 12 13 12 13 12 12 13 2 23 21 23 2a21a2+b22 23 +b 32 31 32 32 2033
12 12 2 11 13 21 2 23 31 3 2 2 3 3 2 3 2 a b a b a a a a a a b a + + + = 11 13 11 13 21 23 21 23 31 33 12 12 22 22 32 31 3 32 3 a a a a a a a a a a b a b a b a a a + 知识点比较 11 13 11 13 11 13 21 23 21 23 21 23 31 33 31 3 12 12 12 12 22 22 22 22 32 32 32 3 31 33 32 a a a a a a b a b a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a + + + + 11 13 11 13 11 13 21 23 21 23 21 23 31 33 31 33 12 12 12 12 22 22 22 22 32 32 32 32 31 33 2 2 2 2 2 2 a a b a b a b a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b + = + + +
矩阵加法的运算规律 Va,b,c∈R 设A、B、C是同型矩阵 交 换a+b=b+a A+B=B+A 律 结 合(a+b)+c=a+(b+c) (A+B)+C=A+(B+C) 律 设矩阵A=(a),记-A=(-a),称为矩阵A的负矩阵 彩// 他 A+(-A)=0,A-B=A+(-B)
交 换 律 结 合 律 其 他 矩阵加法的运算规律 a b c R , , a b b a + = + ( ) ( ) a b c a b c + + = + + A B B A + = + ( ) ( ) A B C A B C + + = + + A A + − = ( ) 0, ( ) A B A B − = + − 设 A、B、C 是同型矩阵 设矩阵 A = (aij) ，记－A = (－aij)，称为矩阵 A 的负矩阵． 显然
例(续)该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表 12 b 22 其中b1表示第i种货物的单价 b31b2b2表示第种货物的单件重量 42 设工厂向某家商店发送四种货物各λ件,试求:工厂向该商 店发送第j种货物的总值及总重量
设工厂向某家商店发送四种货物各 l 件，试求：工厂向该商 店发送第 j 种货物的总值及总重量． 例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表： 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量． 11 12 21 22 31 32 41 42 b b b b b b b b
解:工厂向该商店发送第j种货物的总值及总重量 12 26 1b 12 21 22 26, 1b 31 32 nb3 nb 32 41 b41b2 其中b1表示第i种货物的单价 表示第i种货物的单件重
= 11 12 21 22 31 32 41 42 b b b b b b b b 11 12 21 22 31 32 41 42 b b b b b b b b l l l l l l l l 11 12 21 22 31 32 41 42 b b b b b b b b 11 12 21 22 31 32 41 42 b b b b b b b b l l l l l l l l 解：工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量 l 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
二、数与矩阵相乘 定义:数λ与矩阵A的乘积记作AA或AA,规定为 11 12 礼a21a2 ZA=AN= n n
二、数与矩阵相乘 定义：数 l 与矩阵 A 的乘积记作 l A 或 A l ，规定为 11 12 1 21 22 2 1 1 n n m m mn a a a a a a A A a a a l l l l l l l l l l l = =
数乘矩阵的运算规律 Va,b,c∈R 设A、B是同型矩阵,,A是数 结合律 (ab)c=a(bc) (u)A=2(ua) 分 I+b)·C=aC+bc (九+p)A=A+山A 律 c·(a+b)=ca+cb (4+B)=A+B 备阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算 注
结 合 律 分 配 律 备 注 数乘矩阵的运算规律 a b c R , , ( ) ( ) ab c a bc = ( ) a b c ac bc + = + ( ) ( ) l l A A = ( ) l l + = + A A A c a b ca cb + = + ( ) l l l ( ) A B A B + = + 设 A、B是同型矩阵，l , 是数 矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算
