匚高等数学 第二节三重积分 一、三重积分的概念及性质 例.非均匀分布立体的质量 设有空间立体Ω,当Ω的质量是均匀分布时, 入则Ω的质量M=g2的体密度×Ω的体积 若9的质量不是均匀分布的,则不能上述方 式算质量M 设空间立体g.其质量非均匀分布,体密度 μ(x,y,z)连续,求9的质量M
例. 非均匀分布立体的质量 设有空间立体, 当的质量是均匀分布时, 则的质量M= 的体密度× 的体积. 若的质量不是均匀分布的, 则不能上述方 式算质量M . 设空间立体. 其质量非均匀分布, 体密度 (x , y , z)连续, 求的质量 M. 第二节 三重积分 一、三重积分的概念及性质
匚高等数学 ()将豆分成n个小立体1,92,9n 记△V表示的Ω2,的体积,i=1,2,,n 由于(x,y,z)连续,从而当9很小时 在92上(x,y,2)的变化不大可近似 看作不变
(i) 将分成 n 个小立体 1 , 2 ,…, n , 记 Vi 表示的i 的体积, i = 1, 2, …, n. 由于 (x , y , z)连续, 从而当i很小时, 在i上 (x , y , z) 的变化不大. 可近似 看作不变
匚高等数学 ()即,V(5,m,)∈D1,以(5,m1,)作为2 的体密度从而,的质量 m1≈p(n,)△V (i)因此,的质量M≈∑A(2m25)△v (iv)若记A=max{的直径} 1≤i<n 则M=1im∑(5,m,)△V )0
(ii) 即, ( i , i , i ) Di , 以 ( i , i , i )作为 i 的体密度. 从而, i的质量 mi ( i , i , i ) V i (iii) 因此, 的质量 = n i M i i i Vi 1 ( , , ) (iv) max{ }, 1 若记 i的直径 i n = lim ( , , ) . 1 0 → = = n i M i i i Vi 则
匚高等数学 定义1 设g0时,和式 ∑f(x,y,=)AV的极限都存在且为则称f(x,y)在 g2上可积记为f(x,y2)∈R(g)
设R3为有界闭区域, f (x, y, z)是定义在上 的有界函数. 将任意分成 n 个无公共内点的小区域 i , (i =1, 2, …, n), 用Vi表示i的体积. 并记 max{ }. 1 i 的直径 i n = ( , , ) , ( , , ) , 1 i n i xi yi zi i f xi yi zi V = 作和 如果对任意的分法和任意的取法, 当 →0时, 和式 ( , , ) . 1 f x y z V I i n i i i i 的极限都存在且为 = 则称 f (x, y, z)在 上可积, 记为f (x, y, z)R(), 定义1
匚高等数学 并称此极限值为f(x,y,=)在g上的三重积分,记作 (3yh,即 )=m2/(x,)AP 其中“「”称为三重积分号,称为积分区域,f (x,y,z)称为被积函数,d称为体积元素,三重积分也 (x, y, zdxdydz Q
并称此极限值I为f (x, y, z)在上的三重积分, 记作 = → = n i i i i Vi f x y z dv f x y z 1 0 ( , , ) lim ( , , ) 其中 “ ” 称为三重积分号, 称为积分区域, f (x, y, z)称为被积函数, dv称为体积元素, 三重积分也 记为 f (x, y,z)dxdydz. ( , , ) , f x y z dv 即
匚高等数学 三重积分的性质与二重积分性质完全类似, 比如若f(x,y,z)在Ω上连续,则f(x,y,z)在上可 积∫h=2的体积常数因子可从积分号中 提出来;和的积分等于积分之和积分的可加性; 积分的保号性;积分中值定理等
三重积分的性质与二重积分性质完全类似, 比如若 f (x, y, z)在上连续, 则 f (x, y, z)在上可 积; 常数因子可从积分号中 提出来; 和的积分等于积分之和;积分的可加性; 积分的保号性; 积分中值定理等. = 的体积; dv
匚高等数学 二、三重积分的计算 1直角坐标系下三重积分的计算 类似于二重积分,三重积分可化为三个定积分 计算(三次积分) 2=2(xy) 设Ω是R3中一母线平 行于z轴,上,下底分 别为z=z2(x,y)2z X z1(x,y)的柱体.Ω在xy 面上的投影区域记为 如图 D XV
1.直角坐标系下三重积分的计算. 类似于二重积分, 三重积分可化为三个定积分 计算(三次积分). 设是R3中一母线平 行于z 轴, 上, 下底分 别为 z = z2 (x, y), z = z1 (x, y)的柱体. 在xy 面上的投影区域记为 Dxy . 如图 0 y z x z2 = z2 (x,y) Dxy b a z1 = z1 (x,y) 二、三重积分的计算
匚高等数学 则(xy: f(, y, z)dz dxdy (x,y) (其中1(x,y)≤2(xy) (若Dy:y(x)≤y≤y2(x)a≤x≤b,为x型区域) 二2=2(xy) b (x) ax b f(x,y, z)dz Jy(x) x,y) (x,y) y=y(x) D
= Dxy z x y z x y f (x, y,z)dV f (x, y,z)dz dxdy. ( , ) ( , ) 2 1 则 ( ( , ) ( , )) 1 2 其中 z x y z x y ( : ( ) ( ), , 若Dxy y1 x y y2 x a x b 为x—型区域) ( , , ) . ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 = z x y z x y y x y x b a dx dy f x y z dz 0 y z x z2 = z2 (x,y) Dxy b a z1 = z1 (x,y) y=y1 (x) y=y2 (x)
匚高等数学 若Dn:x(y)≤xx1(y)C≤y≤d,即为y型区域 则∫9(00 x2(y) (x,y) f(, y, z)dz x1(y) 应用时先画出Ω的草图,看z是从哪一曲面变到哪 曲面确定最里层积分上,下限然后到D上作二重 积分 口诀从里到外,面一面,线一线点一点
: ( ) ( ), , 若Dxy x1 y x x2 y c y d 即为y—型区域. 则 f (x, y,z)dV ( , , ) . ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 = z x y z x y x y x y d c dy dx f x y z dz 应用时先画出的草图, 看 z 是从哪一曲面变到哪一 曲面. 确定最里层积分上, 下限. 然后到Dxy上作二重 口诀:从里到外, 面—面, 线—线, 点—点. 积分
匚高等数学 注:1.当g是一柱体,但侧面的母线平行于y轴 它在xz面上的投影区域为Dx2 则可选择先 对y积分,然后到D上作二重积分 2.当Ω是一柱体,但侧面的母线平行于x轴, 在y面上的投影区域为D,则可选择先 对x积分,然后到D上作二重积分
注：1. 当是一柱体, 但侧面的母线平行于 y 轴, 它在xz面上的投影区域为Dxz, 则可选择先 对 y 积分, 然后到Dxz上作二重积分. 2. 当是一柱体, 但侧面的母线平行于 x 轴, 它在yz面上的投影区域为Dyz, 则可选择先 对x 积分, 然后到Dyz上作二重积分