第二章数列的极限与常数项级数
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 第一节数列的极限 、数列的极限 设xnf(m)是一个以自然数集为定义域的函 数将其函数值按自变量大小顺序排成一列,x1 x2xn2…,称为一个数列xn称为数列的第n项, 也称为通项数列也可表示为{xn}或xn(xn OD 高等數粤
设xn =f (n)是一个以自然数集为定义域的函 数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x1 , x2 ,…xn , …, 称为一个数列. xn称为数列的第n项， 也称为通项,数列也可表示为{xn}或xn =f (xn ) 第一节 数列的极限 一、数列的极限
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例.1 34n+1 1+ 23 1) 23 12 (-1)”+1 0.1.0.1 (-1)"+1 4.{n2},1,4,9, OD 高等數粤
例. , 1 1. 1 n xn = + , ( 1) 2. − n n , 2 ( 1) 1 3. − + = n n x 4.{ }, 2 n , 1 , 3 4 , 2 3 2, n n + , ( 1) , , 3 1 , 2 1 1, n n − − − , 2 ( 1) 1 0,1,0,1, , − + n 1,4,9, ,n 2 ,
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 看数列1.xn=1+ n x 342 432 从直观上看这个数列当n越来越大时,对 应的项x会越来越接近于1,或者说“当n趋向 于无穷大时,数列x趋近于1"如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实? OD 高等數粤
1 x 看数列1. n xn 1 =1+ 从直观上看,这个数列当n越来越大时, 对 应的项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向 于无穷大时, 数列xn趋近于1.如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实? 2 x1 2 3 x2 3 4 x3 4 5 xn x4
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 注意到实数a,b的接近程度由a-b确定 a-b越小,则a,b越接近因此,要说明“当n 越来越大时,x越来越接近于1”就只须说明 “当n越来越大时,|xn-1会越来越接近于0” 而要说明“|xn-1越来越接近于0”则只须说 明“当n充分大时,xn-1能够小于任意给定 的,无论多么小的正数ε”就行了,也就是说无 论你给一个多么小的正数E当n充分大时, xn-1|比还小,由于e是任意的从而就说明了 xn-1会越来越接近于0 OD 高等數粤
注意到,实数a, b的接近程度由| a−b |确定. | a−b |越小, 则a, b越接近.因此, 要说明“ 当n 越来越大时, xn越来越接近于1”就只须说明 “ 当n越来越大时, | xn−1 |会越来越接近于0”. 而要说明“| xn−1 |越来越接近于0”则只须说 明“ 当n充分大时,| xn−1 |能够小于任意给定 的, 无论多么小的正数” 就行了,也就是说无 论你给一个多么小的正数, 当n充分大时, | xn−1 | 比还小,由于是任意的,从而就说明了 |xn−1| 会越来越接近于0
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 事实上,|xn-1|=-,给E= 很小,要 1000 E1x,-1=n10005须17100即可,也即在这个 数列中,从第1001项开始以后各项都有|xn-1k 1000 OD 高等數粤
事实上, n xn 1 | −1|= , 给 1000 1 = , 很小, 1000 1 1 | −1|= n xn , 只须n>1000 即可, 数列中,从第1001项开始,以后各项都有 1000 1 | xn −1| 要 也即在这个
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 又给E 则从第10001项开始 10000 以后各项都有|xn-1k< 10000 OD 高等數粤
又给 10000 1 = , 则从第10001项开始, 以后各项都有 10000 1 | xn −1|
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 般,任给E>0,不论多么小,要使|xn-1|=-.因此,从第+1项开始,以后各项都有 x2-1kE.因是任意的这就说明了当n越来越大时, xn会越来越接近于1 OD 高等數粤
一般, 任给 >0, 不论多么小, − = n xn 1 | 1| 只须 1 n . 因此, 从第 1 1 + 项开始, 以后各项都有 | −1| n x . 因是任意的, 这就说明了当n越来越大时, xn会越来越接近于1. 要使
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定义:设{xn}是一个数列,a是一个常数, 若b>0,彐正整数N,使得当n>N时, 都有|xnaa(n→ (lin n→)+0 或,xn→>a(n→+∞) 这时,也称{xn}的极限存在,否则,称{xn}的 极限不存在,或称{xn}是发散的 OD 高等數粤
定义: 设{xn}是一个数列, a是一个常数, lim = , , → ( → ) → x a x a n n n n 或 若 >0, 正整数N, 使得当n>N时, 都有|xn−a|<,则称a是数列{xn}当n 无限增大时的极限, 或称{xn}收敛于a, 记作 这时, 也称{xn}的极限存在, 否则, 称{xn}的 极限不存在, 或称{xn}是发散的. ( lim = , , → ( → +)) →+ x a x a n n n n 或
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 若比E>0,正整数N,使得当nN时, 都有xn(E=xmi呗 比如,对于刚才的数列1.有lm(+1)=1 0.而lim (-1)+1 和1imn2不存在 2 注1.定义中的E是预先给定的,任意小的正数, 其任意性保证了x,可无限接近于a 另外,ε又是确定的,它不是变量 OD 高等數粤
比如, 对于刚才的数列1. 有 ) 1 1 lim (1+ = n→ n 注1. 定义中的是预先给定的, 任意小的正数, 其任意性保证了xn可无限接近于a, 另外, 又是确定的, 它不是变量. 若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xn−a|<, . a n x lim n = → 则记 0, ( 1) lim = − → n n n lim . 2 ( 1) 1 lim 而 和 n 2不存在 n n n→ → − +