《高等数学》课程教学资源：第四章 一元函数的导数和微分 §4－3 高阶导数

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 54-3高阶导数 设y=f(x),若y≠(x)可导,则f(x)是x的函 数若f(x)仍可导,则可求f(x)的导数记作(f (x)y=f"(x)称为f(x)的二阶导数若f"(x)仍可导, 则又可求∫"x)的导数, OD 高等數粤

设 y = f (x), 若y =f (x)可导, 则f '(x)是x的函 数.若f '(x)仍可导, 则可求f '(x)的导数.记作 (f '(x))'=f ''(x).称为f (x)的二阶导数.若f ''(x)仍可导, 则又可求f ''(x)的导数,…. §4－3 高阶导数

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 般,设yf(x)的导数y=f(x)存在且 仍可导,记)导数为y,y”或(x) 即,2=y”=f"(x)=(f(x)y,称为(x)的 二阶导数 若y仍可导记y=y3=f(x)=((x) dx 称为f(x)的三阶导数 OD 高等數粤

一般, 设y= f (x)的导数y' = f '(x)存在且 仍可导, 记f '(x)的导数为 , ( ). d d 2 2 y f x x y 或  ( ) ( ( )) , d d , 2 2 = y  = f  x = f  x  x y 即 ( ) ( ( )) d d , (3) (3) 3 3  = y = f x = f  x  x y 若y 仍可导 记 称为f (x)的三阶导数. 二阶导数. 称为f (x)的

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 一般,若ym仍可导记y=y0)=-m(x)=(m( 称为f(x)的n阶导数 阶以上的导数都称为高阶导数记Cm(I) 为区间I上所有具有m阶连续导数的函数所成 集合为统一符号,有时记yo=y,=y,y12)=y OD 高等數粤

( ) ( ( )) d d , , ( 1) ( ) ( ) ( 1) = = =  − − y f x f x x y y n n n n n 一般 若 n 仍可导 记 称为f (x)的n阶导数. 二阶以上的导数都称为高阶导数.记Cm(I) 为区间I上所有具有m阶连续导数的函数所成 集合. 为统一符号, 有时记y (0)=y, y (1)=y', y (2)=y

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例1.设物体作变速运动.在[0,这段时间内 所走路程为S=S(t),指出S"()的物理意义 解:我们知道,S′=K(1).而S"=( 注意到,△=V(t+△)-()表示在[t,t+△t 这段时间内速度()的增量(改变量).从而 △ =a表示在△这段时间内的平均加速度 △t 故lim △p a().即,S"=()=a()为物体 △->0△t 在时刻加速度 OD 高等數粤

例1. 设物体作变速运动. 在[0, t]这段时间内 所走路程为S = S(t), 指出S''(t)的物理意义. 解: 我们知道, S'=V(t). 而S''=V'(t) 注意到, V = V ( t +t)−V(t)表示在[t, t +t] 这段时间内速度V(t)的增量(改变量). 从而 a 表示在 t这段时间内的平均加速度. t V =    故 lim ( ). 0 a t t V t =    → 即, S'' = V'(t) = a(t)为物体 在时刻t的加速度

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例2.验证y=x4满足2(y)2=(y-)y x-3 解 1+ x-4 xX 2(x-4) 2 X 从而 2 (y)2-(y-1)y x x-4(x-4)3 OD 高等數粤

例2. 2( ) ( 1) . 43 2 y y y xx y  = −  −− 验证 = 满足 解: 43 −− = xx y 4 1 1 − = + x. ( 4) 1 2 −  = − x y 4 ( 4) 2( 4) − − −  = − x x y 从而 3 2 2 2 ( 4) 2 4 1 ( 4) 1 2( ) ( 1) 2 −  −  −   −−  − −  =  x x x y y y = 0 3 ( 4 ) 2− = x

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例3.设y=x",n为正整数,求y)和ym+) 解 n(n-1)xy2,y3)=n(n-1)(n-2) -1)3·21xn=nl! 而y+=(m)=0 易见,若f(x),g(x)均存在n阶导数,则 ((x)+g(x))(n=f(n(x)+g n(x) 类似,设f(x)=ax+a1xn1a2x-2+.+an1xn+an, 为n次多项式,则f(n(x)=aol,而(+x)=0 OD 高等數粤

例3. 解: y' = nxn–1 , , , . ( ) ( +1) = n n n 设y x n为正整数 求y 和y y'' = n(n–1)x n–2 , y (3)= n(n–1)(n–2) x n–3 , …, y (n)= n(n–1)… 3 ·2 ·1x n–n = n! 而 y (n+1)= (n!)' = 0 易见, 若f (x), g(x)均存在n阶导数, 则 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x n n n  =  类似, 设f (x)=a0x n +a1x n–1 +a2x n–2 +…+an–1 x n +an , 为n次多项式, 则f (n) (x)=a0n!, 而f (n+1)(x)= 0

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例4.设(1)y=e,(2)y=a、(a>0,a≠1),求ym) 解:(1) 故 特别,取=1,得(e n(n)= ox 取=-1,得(e))=(-1)y) (2)由于ax=emn,由(1)得 e na (na) 高等歐學

例4. (1) , (2) ,( 0, 1), . x x (n) 设 y = e y = a a  a  求y  解: (1) y' = ex , y'' = ex  2 , y (3)=ex  3 ,…, 故 y (n) = ex  n . 特别, 取 = 1, 得(e x ) (n) = e x (a x ) (n) = ( e xlna ) (n) 取 = –1, 得(e –x ) (n) =(–1)(n) e x . (2) 由于a x = e xlna , 由(1)得 = a x (lna) n = e xlna (lna) n

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例5.求y sinx的n 阶导数y 解:我们知道y=cosx,y sinr. 13 -cOSX (4)= sinx, 但的通项公式难写,并且不好记 由于c0sx=s(x+).从而 y=(sinx)=cosx=sin(x+o) sin (x Z)=cos(x+7)=sin(x+2 OD 高等數粤

例5. 求y = sinx的n阶导数y (n) . 解: 我们知道 y' =cosx, y'' = –sinx, y (3)= –cosx, y (4)= sinx,… 但y (n)的通项公式难写, 并且不好记. ). 2 cos sin(  由于 x = x + 从而 y  = (sinx) ). 2 sin(  =cosx = x +         = + ) 2 sin(  y x ) 2 cos(  = x + ). 2 sin( 2  = x + 

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG sin (x +2 cos(x+2 sin(x+3. 故y=(sinx)=sin(x+n7) 类似,(c0sx)=c0(x+n) 高等歐學

       = +  ) 2 sin( 2 (3)  y x ) 2 cos( 2  = x +  ). 2 sin( 3  = x +  ( ) ( ) (sin ) n n 故 y = x ). 2 sin(  = x + n ). 2 , (cos ) cos( ( )  x = x + n 类似 n

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例6.设y=sin2x,求ym) 解:y=(sin2x)′=2 esInxcox=sin2x y=(sin2x)'=sin( 2x+). 2 (3) Sin(2x+2·)·2 丌 =sn2x+(m-1) OD 高等數粤

例6. 设y = sin2x, 求 y (n) . 解: y' = (sin2x)' y'' =(sin2x)' = 2sinxcox = sin2x. ) 2 2 = sin(2 +   x ) 2 , 2 sin(2 2 (3) 2 = +    y x …… 2 . 2 sin 2 ( 1) ( ) −1        = + −  n n y x n 