习题三解答 沿下列路线计算积分[2d (1)自原点到3+i的直线段 (2)自原点沿实轴至3,再由3沿垂直向上至3+i (3)自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向右至3+i 解(1) 0≤t≤1,故x=3+it,0≤ts1。d=(3+ik C2 O (3+i)21=(3+i)=6+2i 2)CC于=+,C之参数方程为1(015),C2之参数方程为 (0≤t≤1) y=1, 故 d=[9r23d+[(3+i)idt=6+2i。 (3) d- C3:z=i10≤t≤1) 0≤1≤1) 故“=h=-F,d+(a+) 2.分别沿y=x与y=x2算出、积分∫2+1yk的值 解(1)沿y=x。此时z=t+i(0≤t≤1)。d=(+ikt,于是 +)k:+)+02+- (2)沿y=x2,此时x=1+it2(0≤1≤1。d=(+i2n,故 "(2+)=c2+)+:2)h=(+)+:2)h=(+)(2+12 3.设∫(=)在单连域D内解析,C为D内任何一条正向简单闭曲线,问 ∮Re(=mU(=0 是否成立,如果成立,给出证明:如果不成立,举例说明 解未必成立。令∫()=,C=1,则f(2)在全平面上解析,但是
- 1 - 习题三解答 1.沿下列路线计算积分 ∫ +i z dz 3 0 2 。 （1）自原点到3 + i 的直线段 （2）自原点沿实轴至 3，再由 3 沿垂直向上至3 + i ； （3）自原点沿虚轴至 i，再由 i 沿水平方向右至3 + i 。 解（1） ⎩ ⎨ ⎧ = = , 3 , y t x t 0 ≤ t ≤ 1，故 z = 3t + it ，0 ≤ t ≤ 1。 dz = (3 + i)dt 于是 z dz ( )( ) 3t it 3 i dt 2 3 1 0 1 0 2 = + + ∫ ∫ + ( ) ∫ = + 1 0 3 2 3 i t dt ( ) i 3 26 3 i 6 3 1 0 1 (3 i) | 3 1 3 3 3 = + t = + = + （2） ∫∫∫∫ + + = + + 3 i 0 3 i 0 2 2 2 2 1 2 z dz z dz z dz z dz C C 。C1 之参数方程为 ⎩ ⎨ ⎧ = = , 3 , y t x t (0 ≤ t ≤ 1)；C2 之参数方程为 ⎩ ⎨ ⎧ = = , 3, y t x (0 ≤ t ≤ 1) 故 ( ) ∫∫ ∫ + = ⋅ + + ⋅ = + 3 i 0 1 0 1 0 2 2 2 i 3 26 z dz 9t 3dt 3 it i dt 6 。 （3） ∫ ∫∫ ∫ ∫ + + = + = + 3 i 0 i 0 3 i i 2 2 2 2 2 3 4 z dz z dt z dz z dz z dz C C 。 C3 : z = it( ) 0 ≤ t ≤ 1 ； : 3 i (0 1) C4 z = t + ≤ t ≤ ， 故 ( ) ∫∫ ∫ + = − ⋅ + + ⋅ = + 3 i 0 1 0 1 0 2 2 2 i 3 26 z dz t i dt 3t i 3dt 6 2．分别沿 y = x 与 2 y = x 算出、积分 ( ) ∫ + + i x y dz 1 0 2 i 的值。 解（1）沿 y = x 。此时 z = t + it( ) 0 ≤ t ≤ 1 。 dz = (1+ i)dt ，于是 ( ) ()( ) ∫ ∫ + + = + + 1 i 0 1 0 2 2 x i y dz t it 1 i dt ( ) ( ) ( ) ∫ ⎟ = − + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + = + + 1 0 2 i 6 5 6 1 2 i 3 1 1 i t it dt 1 i 。 （2）沿 2 y = x ，此时 i ( ) 0 1 2 z = t + t ≤ t ≤ 。 dz = (1+ i 2t)dt ，故 ( )( )( ) ∫ ∫ + + = + + 1 i 0 1 0 2 2 2 x i y dz t it 1 i 2t dt ( )( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = + + = + + 1 0 1 0 2 2 3 1 i t 1 i 2t dt 1 i t i 2t dt ( ) i 6 5 6 1 2 i 3 1 1 i ⎟ = − + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + 。 3．设 f ( )z 在单连域 D 内解析，C 为 D 内任何一条正向简单闭曲线，问 [ ( )] [ ( )] ∫ ∫ C Re f z dz = C Im f z dz = 0 是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。 解 未必成立。令 f ( )z = z ，C : z = 1，则 f (z)在全平面上解析，但是 x 3+i C2 O C1 C3 i C4 y (z) 3
「Rc/=CRe-〔asp-smO+1=ri0 fclmv(e)k:=[ Imei peie=fsin e(sin 0 +icose M0=-T*0 4.利用单位圆上三=的性质,及柯西积分公式说明∮2=2z,其中C为正向单位圆周1==1 d=-d=2ri,(利用柯西积分公式) 5.计算积分元止的值,其中C为正向圆周:(1)|=2:(2)H=4 解(1)因在|=2上有=2,=+==4,从而有三=4,故有 (2)因在C上有|=|=4,:=1=16,从而有三=16,故有 6.利用观察法得出下列积分的值 解利用柯西一古萨基本定理和柯西积分公式。 7.沿指定曲线的正向计算下列各积分 (1) c,C|z-2}=1 (2) C: =-aba 3)∮a C|-2i=3/2 (4) C|z=2 5319-1=-1Cr1(6)9ch,C为包围=的闭曲线 ,C|z=3/2 sin cd= c:= (二2+1)(二2+4) (9) sn二 e-dz (10) 解(1)由cmy积分公式,5:2h=2i (2)解1: d 三+ad=2ri 2+a 解2:51:2士 d/=1 2+a (3)由 Cauchy积分公式,ded_re"d(x+1)=2ni =t/e +1
- 2 - [ ] ( ) [ ] ∫ ∫ = π θ θ 2 0 Re Re i i C f z dz e de ( ) ∫ = − + = ≠ π θ θ θ θ π 2 0 cos sin i cos d i 0 [ ] ( ) [ ] ∫ ∫ = π θ θ 2 0 i i Im f z dz Im e de C ( ) ∫ = − + = − ≠ π θ θ θ θ π 2 0 sin sin i cos d 0 4．利用单位圆上 1 z z = 的性质，及柯西积分公式说明 2 i C zdz = π v∫ ，其中C 为正向单位圆周| |1 z = 。 解 1 2 i C C zdz dz z = = π v v ∫ ∫ ，（利用柯西积分公式） 5．计算积分 dz z z ∫ C 的值，其中 C 为正向圆周：（1） z = 2；（2） z = 4 解 （1）因在| z |= 2 上有| z |= 2， | | 4 2 z ⋅ z = z = ，从而有 z z 4 = ，故有 4 i 2 | | | | 2 2 | | 2 4 = = = π ∫ ∫ = ∫ = dz z dz dz z z C z z Z （2）因在 C 上有| z |= 4， | | 16 2 z ⋅ z = z = ，从而有 z z 16 = ，故有 8 i 4 | | | | 4 4 | | 4 16 = = = π ∫ ∫ = ∫ = dz z dz dz z z C z z Z 6．利用观察法得出下列积分的值。 解 利用柯西－古萨基本定理和柯西积分公式。 7．沿指定曲线的正向计算下列各积分。 （1） ∫C − z dz z e 2 ，C :| z − 2 |= 1 （2） 2 2 C dz z a − v∫ ，Cza a :| | − = （3） i 2 1 z C e dz z + v∫ ，C z :| 2i | 3/ 2 − = （4） 3 C zdz z − v∫ ，C z :| | 2 = （5） 2 3 , ( 1)( 1) C dz z z − − v∫ Cz r :| | 1 = < （6） 3 cos C z zdz v∫ ，C z 为包围 ＝ 的闭曲线 0 （7） 2 2 ( 1)( 4) C dz z z + + v∫ ，C z :| | 3/ 2 = （8） sin C zdz z v∫ ，C :| z |= 1 （9） ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − C dz z z 2 2 sin π ，C :| z |= 2 （10） 5 z C e dz z v∫ ，C :| z |= 1 解 （1）由 Cauchy 积分公式， ∫ = = − = C z z z dz e e z e 2 i 2 i 2 2 π 2 π （2） 解 1： ∫ ∫ = + = − + = − = C C z a z a a dz z a z a z a dz i 1 2 i 1 2 2 π π ， 解 2： ∫ ∫ ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = C C − C dz z a dz z a a z a dz 1 1 2 1 2 2 [ ] 2 i 0 i 2 1 a a π = π − = （3）由 Cauchy 积分公式， ii i 2 i /( i) 2i / 1 -i i zz z C C z e dz e dz z e e zzz π π = + = == + + v v ∫ ∫
(4)(5)(6)由柯西基本定理知:其结果均为0 (7)因被积函数的奇点二=±i在C的内部,z=±2i在C的外部,故由复合闭路定理及 Cauchy 积分公式有 d d= (二2+1)(二2+4)1-(2+1)(二2+4) f上++4止上++ TT J (z+i(z2+4 (-1)(=2+ sin dz (8)由 Cauchy积分公式 =2risin= _0=0 (9)由高阶求导公式, e de 2Ti (10)由高阶求导公式 8.计算下列各题 1)e"d=: 2)2 ch 3=d: 3)sin=d=: 4)J-sin ed:: 5)[(z-i)ed:6) i1+tan z cosd(沿到i的直线段) 解1)「 =0 2)ch=dz=-sh 3 3)sin 2id== xi 1-cos 2 in 2 )n=(丌-sh2)i 4)L=sin zd==(sin=-=cos :)l=sin1-cosl 5)(-i) d==(i-1-=)e-1=1-cos1 +i(sin1-D) 6)1+mn=(am+m2:/2)=-(mn1+m21+t2+ithl 9.计算下列积分 4 d,其中C|二=4为正向 21 ∮二其中C=-1=6为正向 3)∮在其中C1==2为正向,C2=3为负向 C=Ci+C
- 3 - （4）（5）（6）由柯西基本定理知：其结果均为 0 （7）因被积函数的奇点 z = ± i 在 C 的内部， z = ±2 i 在 C 的外部，故由复合闭路定理及 Cauchy 积分公式有： ∫ ∫ − = ∫ + = + + + + + = + + 3 1 | i| 2 2 3 1 | i| 2 2 2 2 ( 1)( 4) ( 1)( 4) ( 1)( 4) C z z z z dz z z dz z z dz = ( )( ) ( )( ) ∫ − = ∫ + = + + + + − + + 3 1 | i| 2 3 1 | i| 2 i i 4 1 i i 4 1 z z dz z z z dz z z z i 2 i 2 ( i)( 4) 1 2 i ( i)( 4) 1 2 i = =− − + + + + = z z z z z z π π 0 3 3 = − = π π （8）由 Cauchy 积分公式， 0 sin 2 isin | 0 z C zdz z z = π = = v∫ （9）由高阶求导公式， 2 i( ) sin ' 0 2 sin 2 2 = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ π π π C z dz z z z （10）由高阶求导公式， (4) 5 0 2i i () | 4! 12 z z z C e dz e z π π v∫ = = = 8．计算下列各题： 1） 3 i 2 i z e dz π ∫−π ； 2） 0 i 6 π ch 3zdz ∫ ； 3） i 2 - i sin zdz π ∫ π ； 4） 1 0 z zdz sin ∫ ； 5） i 0 ( i) z z e dz − − ∫ ； 6） i 2 1 1 tan (1i ) cos z dz z + ∫ 沿 到 的直线段 。 解 1） 3 i 2 3 i 2 i i 0 2 z z e e dz π π π π − − = ∫ ＝ 2） 0 0 i/6 i 6 1 ch 3 sh 3 | i/3 3 π zdz z = π = − ∫ 3） i i 2 i - i -i -i 1 cos 2 sin 2 1 sin ( ) | ( sh 2 )i 2 24 2 zz z zdz dz π π π π π π π π − = =− =− ∫ ∫ 4） 1 1 0 0 z zdz z z z sin (sin cos ) | sin1 cos1 = − =− ∫ 5） i i 0 0 ( i) (i 1 ) | 1 cos1 i(sin1 1) z z z e dz z e − − − = −− =− + − ∫ 6） i 2i 2 2 2 1 1 1 tan 1 1 (tan tan / 2) | (tan1 tan 1 th 1) i th1 cos 2 2 z dz z z z + = + =− + + + ∫ 9．计算下列积分： 1） 4 3 ( ) , :| | 4 1 2i C dz C z z z + = + + v∫ 其中 为正向 2） 2 2i , :| 1| 6 1 C dz C z z = + v∫ 其中 － 为正向 3） 1 2 3 1 2 cos , :| | 2 :| | 3 CC C z dz C z C z z = + = = v∫ 其中 为正向， 为负向
4)d女 其中C为以± i为顶点的正向菱形 d,其中a为{a≠l的任何复数,C|z=1为正向 乎(+1+= d=2i(4+3)=14 dz 2i/(二+i) a+d2/ i/(二-i) c=0 cos二 cos二 3) d (cos =)l2=02 L=0--(cosz)"l=0=0 5)当|ap1时,14(z-a)在=1上解析,故Cd=0: (z-a) 当|ak<1时 (e)"=rie (二-a) 101证明:当C为任何不通过原点的简单闭曲线时,∮==0 证明当原点在曲线C内部时,∮d=2i()l=0=0:当原点在曲线C外部时,1/2在C内 解析,故手=0 1.下列两个积分的值是否相等?积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到?为什么? 解∮=∫2ic"d=0:∮d=j4edb=0,故两个积分的值相等。但不能利用闭路 变形原理从1)的值得到,因二不是一个解析函数 12.设区域D为右半平面,z为D内圆周|二=1上的任意一点,用在D内的任意一条曲线C连结原 点与二,证明Re 证明函数,2在右半平面解析,故在计算从0到=沿任意一条曲线C的积分时与积分路径无 1d4=1+入+/把e 2 7 412+2cos,(分子分母同乘以1+e-)
- 4 - 4） 1 6 , i 2 5 C dz C z i ± ± v∫ 其中 为以 ， 为顶点的正向菱形 － 5） 3 , | | 1 :| | 1 ( ) z C e dz a a C z z a ≠ = − v∫ 其中 为 的任何复数， 为正向 解 1） 4 3 ( ) 2 i(4 3) 14 i 1 2i C dz z z + += π π + + v∫ ＝ 2） 2 | i| 1 | i| 1 2i 2 /( i) 2 /( i) 0 1 -i i Cz z iz iz dz dz dz zzz −= += + − =+= + + vv v ∫∫ ∫ 3） 12 1 2 333 0 0 cos cos cos 2 i 2 i (cos )'' | (cos )'' | 0 2! 2! z z CC C C C zzz dz dz dz z z zzz π π − = = = + =−= − = v vv ∫ ∫∫ 4） 2 i i C dz z = π v∫ － 5） 当| |1 a > 时， 3 3 1/( ) | | 1 0 ( ) z C e z a z dz z a − ≤ − 在 上解析，故 ＝ v∫ ； 当| |1 a < 时， 3 2 i ( )'' | i ( ) 2! z z a z a C e dz e e z a π = = π − v∫ ＝ 10．证明：当C 为任何不通过原点的简单闭曲线时， 2 1 0 C dz z = v∫ 。 证明 当原点在曲线C 内部时， 2 0 1 2 i(1)' | 0 z C dz z = π = = v∫ ；当原点在曲线C 外部时， 2 1/ z 在C 内 解析，故 2 1 0 C dz z = v∫ 。 11．下列两个积分的值是否相等？积分 2）的值能否利用闭路变形原理从 1）的值得到？为什么？ 1） || 2 z z dz z = v∫ ； 2） || 4 z z dz z = v∫ 解 2 i || 2 0 2i 0 z z dz e d z π θ θ − = = = v∫ ∫ ； 2 i || 4 0 4i 0 z z dz e d z π θ θ − = = = v∫ ∫ ，故两个积分的值相等。但不能利用闭路 变形原理从 1）的值得到，因 z z 不是一个解析函数。 12．设区域 D 为右半平面， z 为 D 内圆周| |1 z = 上的任意一点，用在 D 内的任意一条曲线C 连结原 点与 z ，证明 2 0 1 Re . 1 4 z d π ζ ζ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + ∫ 证明 函数 2 1 1+ζ 在右半平面解析，故在计算从 0 到 z 沿任意一条曲线C 的积分时与积分路径无 关。则 i 1 2 2 2i 0 00 0 1 1 i 2i cos . 1 1 1 4 2 2cos 2 z e d dx d d x e η θ θ η π η ζ η η ζ η = + =+ + ++ + ∫ ∫∫ ∫ （分子分母同乘以 2i 1 e− η + ）
e 1d4 13.设C1与C2为相交于M、N两点的简单闭曲线,它们所围的区域分别为B1与B2。B1与B2的公 共部分为B。如果f(-)在B1-B与B-B内解析,在C1、C2上也解析,证明:∮()k=手()k 证明在B-B上f()为解析函数,则由柯西基本定理∮f()=0:同理∮f()=0 则∫f()+∫f()=∫f(+「f(),即f()=∮f( 14.设C为不经过a与-a的正向简单闭曲线,a为不等于零的 任何复数试就a与同C的各种不同位置,计算积分5 解(i)当a在C的内部而-a在C的外部时 f=2nd=计如d=24=x1 (i)当-a在C的内部而a在C的外部时, dz=2r i (i)当a与-a在C的内部时,设C1,C2分别为以a,-a为心半径充分小的圆周使C1,C2均在C的内 部且互不相交也互不包含,则由复合闭路定理及 Cauchy积分公式得 =出止+止=m+m (ⅳ)当a与-a都在C的外部时,由 Cauchy-Gourssat定理得 15.设C1与C2为两条互不包含,也互不相交的正向简单闭曲线,证明: cdx sIn 当=在C内时, z|sinz,当在C内时 证明利用cmty积分公式,当=在C内时,n手 -dz 而 当在C内时,1==0、元sn:=。故结论成立。 cdz 16.设函数f(=)在04=k<1内解析,且沿任何圆周C:|=上r,0<r<1的积分为零,问/(=)是否需在 =0处解析?试举例说明之。 解不一定。如令f()=,则其在04k1内解析,且沿任何圆周C:|=|=r,0<F<1的积分
- 5 - B1 C1 C2 B2 M N E F B G H 故 2 0 1 Re . 1 4 z d π ζ ζ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + ∫ 13．设C1 与C2 为相交于 M、N 两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为 B1与 B2 。 B1与 B2 的公 共部分为 B 。如果 f ( )z 在 B1 − B 与 B2 − B 内解析，在C1、C2 上也解析，证明： 1 2 () () C C f z dz f z dz = v v ∫ ∫ 。 证明 在 B1 − B 上 f ( )z 为解析函数，则由柯西基本定理 () 0 MENGM f z dz = v∫ ；同理 () 0 MHNFM f z dz = v∫ 则 () () () () NGM MEN MHN NFM f z dz f z dz f z dz f z dz +=+ ∫∫∫∫ ，即 1 2 () () C C f z dz f z dz = v∫ ∫v 。 14．设 C 为不经过 a 与-a 的正向简单闭曲线，a 为不等于零的 任何复数，试就a与-a同C的各种不同位置，计算积分 ∫C − dz z a z 2 2 。 解 （i）当 a 在 C 的内部而-a 在 C 的外部时 ∫ ∫ = + = − + = − = C z a C z a z dz z a z a z dz z a z 2 i i 2 2 π π 。 （ii）当− a 在 C 的内部而 a 在 C 的外部时， ∫ ∫ = − = + − = − =− c c z a z a z dz z a z a z dz z a z 2 i i 2 2 π π （iii）当 a 与－a 在 C 的内部时，设C1 ,C2 分别为以 a,−a 为心半径充分小的圆周使 1 2 C ,C 均在C 的内 部且互不相交也互不包含，则由复合闭路定理及 Cauchy 积分公式得 ∫ ∫ ∫ = + = + − + − + = c c − c dz i i i z a z a z dz z a z a z dz z a z 1 2 2 2 2 π π π （iv）当 a 与－a 都在 C 的外部时，由 Cauchy-Gourssat 定理得 ∫ = C − dz z a z 0 2 2 。 15．设C1与C2 为两条互不包含，也互不相交的正向简单闭曲线，证明： 1 2 2 2 0 01 0 0 0 02 1 sin , 2 i sin , C C z dz zdz z zC π zz zz z zC ⎡ ⎤ ⎧ ⎢ ⎥ + = ⎨ − − ⎣ ⎦ ⎩ v v ∫ ∫ 当 在 内时, 当 在 内时. 证明 利用 Cauchy 积分公式， 0 1 当 在 内时, z C 0 1 2 2 2 0 0 1 | 2 i z z C z dz z z π z z = = = − v∫ ，而 2 0 1 sin 0 2 i C zdz π z z = − v∫ ； 0 2 当 在 内时, z C 1 2 0 1 0 2 i C z dz π z z = − v∫ ，而 0 2 0 0 1 sin sin | sin 2 i z z C zdz z z π z z = = = − v∫ 。故结论成立。 16．设函数 f ( )z 在0 <| z |< 1内解析，且沿任何圆周 C：| z |= r ，0 < r < 1的积分为零，问 f ( )z 是否需在 z=0 处解析？试举例说明之。 解 不一定。如令 ( ) 2 1 z f z = ，则其在0 <| z |< 1内解析，且沿任何圆周 C：| z |= r ，0 < r < 1的积分
但显然∫(=)=—在=0处不解析 17设f()与g()在区域D内处处解析,C为D内任何一条简单光滑闭曲线,它的内部全属于D如 果∫(=)=g(=)在C上所有点都成立,试证在C的内部所有点处f(=)=g(=)也成立。 证因f(二)g()在D内处处解析故在C上及其内部也处处解析,设二0为C的内部的任一点,则由 Cauchy积分公式有 (a)=2 g{) 又因在C上∫(=)=8(),故 520d:=5 从而f(=0)=g(=0)由=0的任意性,在C的内部均有f()=g(=) l8.设区域D是圆环域,f(=)在D内解析,以圆环的中心为中心作正向圆周K与K2,K2包含K1, 二0为K1,K2之间任一点,试证(35.1)仍成立,但C要换成K1+K2(见图) 证明参照78页闭路变形定理的证明方法。 1设/()在单连通区域D内解析,且不为零,C为D内任何一条简单光滑闭曲线,问积分( 是否为零?为什么? 解等于零。因()在D内解析,故f()具有各阶导数且仍为解析函数,从而f()在D内也解析 又因在D内)=0,故在D内解析,从而在C上及C的内部也解析,于是由 Cauchy-Gourss定理里, 有 f(=) 20.试说明柯西一古萨基本定理中的C为什么可以不是简单闭曲线? 21.设f(二)在区域D内解析,C为D内的任意一条正向简单闭曲线,证明:对在D内但不在C上 的任意一点 50,等式:f(=) f(=) c成立 证明利用Cay积分公式,有∮(d=2mv()L=2mV()而由高阶导数公式 f(2)d=2f()l==2mjf(=),故所证等式成立。 22.如果(x,y)和(x,y)都具有二阶连续偏导数,且适合拉普拉斯方程,而s=n-v,t=+v 那么s+i是x+iy的解析函数。 证明由(x,y)和v(x,y)都具有二阶连续偏导数,而s=9,-Vx,t=q+V,知,S,t具有一阶 连续的偏导数,在证S,满足C一R方程即可。注意x+On=0,vx+vm=0,则 S1=Ox-x=0y+Wy=1,;S=0y-Wn=-0x-x=-1,故S,t满足C=R方程,即
- 6 - ( ) ∫ ∫ = = = C z r dz z f z dz | | 2 0 1 但显然 ( ) 2 1 z f z = 在 z=0 处不解析。 17.设 f ( )z 与 g( )z 在区域 D 内处处解析，C 为 D 内任何一条简单光滑闭曲线，它的内部全属于 D。如 果 f () () z = g z 在 C 上所有点都成立，试证在C 的内部所有点处 f (z) = g(z)也成立。 证 因 f () () z , g z 在 D 内处处解析故在C 上及其内部也处处解析，设 0 z 为C 的内部的任一点，则由 Cauchy 积分公式有 ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ − = − = C C dz z z g z i dz g z z z f z i f z 0 0 0 0 2 1 , 2 1 π π ， 又因在 C 上 f ( )z = g(z)，故 ( ) ( ) ∫ ∫ − = C C − dz z z g z dz z z f z 0 0 ， 从而 () (), 0 0 f z = g z 由 0 z 的任意性，在C 的内部均有 f (z) = g(z)。 18．设区域 D 是圆环域， f ( )z 在 D 内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周 K K 1 2 与 ，K K 2 1 包含 ， 0 z 为 K K1 2 , 之间任一点，试证（3.5.1）仍成立，但 1 2 C KK ( ). − 要换成 见图 + 证明 参照 78 页闭路变形定理的证明方法。 19．设 f ( )z 在 单连通区域 D 内解析，且不为零，C 为 D 内任何一条简单光滑闭曲线，问积分 ( ) ( ) ∫C f z f ' z dz 是否为零？为什么？ 解 等于零。因 f ( )z 在 D 内解析，故 f (z) 具有各阶导数且仍为解析函数，从而 f '( )z 在 D 内也解析， 又因在 D 内 f ( )z ≠ 0，故 ( ) f ( )z f ' z 在 D 内解析，从而在 C 上及 C 的内部也解析，于是由 Cauchy-Gourssat 定理， 有 ( ) ( ) ∫ = C dz f z f z 0 ' 。 20．试说明柯西－古萨基本定理中的C 为什么可以不是简单闭曲线？ 21．设 f ( )z 在区域 D 内解析，C 为 D 内的任意一条正向简单闭曲线，证明：对在 D 内但不在C 上 的任意一点 0 z ，等式： 2 0 0 '( ) ( ) ( ) C C f z fz dz dz zz zz = − − v v ∫ ∫ 成立。 证明 利用 Cauchy 积分公式，有 0 0 0 '( ) 2 i '( ) | 2 i '( ) z z C f z dz f z f z z z = = π π = − v∫ ；而由高阶导数公式 0 2 0 0 () 2i '( ) | 2 i '( ) ( ) 1! z z C f z dz f z f z z z π = = = π − v∫ ，故所证等式成立。 22．如果ϕ(, ) x y 和ψ (, ) x y 都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而 y x s = − ϕ ψ ， x y t =ϕ +ψ 那么 s t + i 是 x + iy 的解析函数。 证明 由ϕ(, ) x y 和ψ (, ) x y 都具有二阶连续偏导数，而 y x s =ϕ −ψ ， x y t =ϕ +ψ 知，s t, 具有一阶 连续的偏导数，在证 s t, 满足 C－R 方程即可。注意 0 ϕxx yy +ϕ = ， 0 ψ xx yy +ψ = ，则 x yx xx xy yy y s t =−=+ = ϕ ψ ϕψ ； y yy xy xx yx x s t =ϕ − =− − =− ψ ϕψ ，故 s t, 满足 C－R 方程，即
s+it是x+iy的解析函数。 为区城D内的调和函数及/=-,间厂是不是D内的解析函数?为什么2 解∫是D内的解析函数。因a为区域D内的调和函数,故u2和-1在D内有一阶连续的偏导数。 Ou au auau 又 即满足C—R方程。 24.函数v=x+y是u=x+y的共轭调和函数吗?为什么? 解不是。因+iv不能构成一解析函数。 25.设l和v都是调和函数,如果v是u的共轭调和函数,那么l也是v的共轭调和函数。这句话对 吗?为什么? 解不对。参考27题的第二问。 证明:一对共轭调和函数的乘积仍是调和函数 证明设v是u的共轭调和函数,则x+l=0,Vx+"y=0,l1=",ly=-V,。又 ()x=l2+2uV+nyx,(n)y=ly+2+y,故(m)x+(m),=0,即一对 共轭调和函数的乘积仍是调和函数 27.如果∫(二)=l+iv是一解析函数,试证 1)if(=)也是解析函数;2)-是v的共轭调和函数 a|/(=)1|() oy2=4(2+y2)=4|f(=)F。 证明1)if(=)=v-i,而f()=l+iv是一解析函数,故l,v满足C-R方程,进而v2=(-l) -(-u)2。故if(二)也是解析函数 2)由∫(=)=+iv是一解析函数,if()=v-il故-l是v的共轭调和函数 21f()P202|f()P02 =(,+-,)(l2+y2) =2n2+2v2+2u2+2v2+2(x+un)+2vx+n) =4(v2+2)=4f()P 28.证明:=x2-y2和y==22都是调和函数,但是l+不是解析函数 证明 Vy y 6y (x2+y2)(x2+y2)2 则 lnx+n=2+(-2)=0,Vx+(x2+y2)(x2+y2)(x2+y)0
- 7 - s t + i 是 x + iy 的解析函数。 23．设u 为区域 D 内的调和函数及 i u u f x y ∂ ∂ = − ∂ ∂ ，问 f 是不是 D 内的解析函数？为什么？ 解 f 是 D 内的解析函数。因u 为区域 D 内的调和函数，故 x u 和 y −u 在 D 内有一阶连续的偏导数。 又 2 2 2 2 x y u uuu x xy y ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = =− = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ； 2 y x uu u x xy y ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = =− −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂∂ ∂ ⎝ ⎠ ，即满足 C－R 方程。 24．函数vxy = + 是uxy = + 的共轭调和函数吗？为什么？ 解 不是。因u v + i 不能构成一解析函数。 25．设u 和v 都是调和函数，如果v 是u 的共轭调和函数，那么u 也是v 的共轭调和函数。这句话对 吗？为什么？ 解 不对。参考 27 题的第二问。 26．证明：一对共轭调和函数的乘积仍是调和函数。 证明 设v 是u 的共轭调和函数，则 0 xx yy u u + = ， 0 xx yy v v + = ， x y u v = ， y x u v = − 。又 () 2 xx xx x x xx uv u v u v uv =+ + ， () 2 yy yy y y yy uv u v u v uv = + + ，故() () 0 xx yy uv uv + = ，即一对 共轭调和函数的乘积仍是调和函数。 27．如果 f () i z uv = + 是一解析函数，试证： 1）i () f z 也是解析函数； 2）−u 是v 的共轭调和函数； 3） 2 22 2 22 2 2 2 | ( )| | ( )| 4( ) 4 | '( ) | x x fz fz u v fz x y ∂ ∂ + = += ∂ ∂ 。 证明 1）i () i f z vu = − ，而 f () i z uv = + 是一解析函数，故u v, 满足 C－R 方程，进而 ( ) x y v u = − ， ( ) y x v u =− − 。故i () f z 也是解析函数。 2）由 f () i z uv = + 是一解析函数，i () i f z vu = − 。故 −u 是v 的共轭调和函数。 3） 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 | ( )| | ( )| ( )( ) fz fz u v x y xy ∂ ∂ ∂∂ + =+ + ∂ ∂ ∂∂ 2222 22 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 4( ) 4 | '( ) | x x y y xx yy xx yy x x u v u v uu u vv v u v fz = ++++ + + + = += 28．证明： 2 2 ux y = − 和 2 2 y v x y = + 都是调和函数，但是u v + i 不是解析函数。 证明 2 x u x = ， 2 y u y = − ， 2 22 2 ( ) x xy v x y − = + ， 2 2 2 22 ( ) y x y v x y − = + ， 2 2 23 2 22 8 2 ( )( ) xx xy y v x y xy = − + + ， 3 2 23 2 22 8 6 ( )( ) yy y y v x y xy = − + + ，则 2 ( 2) 0 xx yy u u + = +− = ， 2 3 2 23 2 23 2 22 888 0 ( )( )( ) xx yy xy y y v v xy xy xy += + − = +++
29.求具有下列形式的所有调和函数n:1)=(ax+by)a与b为常数2)u=f2 解1)由u1=qf',ln=a2f",ln=b2f",而ux+ln=0,则∫"=0,即∫=c1(ax+by)+c2° f, u=2f+f fl, u f",而u 0,则 f"+2-f'=0,即∫ 30.由下列各已知调和函数求解析函数∫(=)=+iv 1)u=(x-y)x2+4xy+y2) x2+y2,f(2)=0 3)l=2(x-1)y,f(2) 4)v=arcta 0 x2+6xy-3y2 6xy-3y2,则 f(x)=l2-in=3x2+6x-3y-1(3x-6x-3y)=3(1-)2,故 R f∫'( (x2+y2)2(x2+y2)2(x2+y2)2(z2)2 1 1 又f(2)=0,则f(z) 3)f(=)=l1-in=2y-2(x-1)=-2i(x-1+iy)=-2i(二-1),故 f()=-(x-1)2+c,又f(2)=-i,则f()=-(-1)2 )f(二) 故f(二)=lnz+c,C∈R 31.设v= e sin y,求p的值使v为调和函数,并求出解析函数∫()=l+iv。 解"x+vn= e sin y(p2-1)=0,知p=±1。当P=1时,f(=)=e+c,c∈R;当p=-1时, f(=) c∈R 32.如果(x,y)是区域D内的调和函数,C为D内以-为中心的任何一个正向圆周:|=-=0=r 它的内部完全含于D。试证: 1)(x,y)在(x,y)的值等于a(x,y)在圆周C上的平均值,即 u(x, yo)=u(xo+rcos (, yo+rsin o )do 2)l(x,y)在(x,y)的值等于n(x,y)在圆域|z--0≤上的平均值,即 u(xo, yo)=J u(*o+rcos p,y,o+rsing)rdodr 证明1)由平均值公式(P86)
- 8 - 29．求具有下列形式的所有调和函数u ：1）u f ax by a b = ( ), + 与 为常数；2） y u f x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠。 解 1）由 2 2 ', '', '', x xx yy u af u a f u b f == = 而 0 xx yy u u + = ，则 f '' 0 = ，即 1 2 f = ++ c ax by c ( ) 。 2）由 2 2 34 2 1 1 ', 2 ' '', ', '', x xx y yy y yy u fu f f u fu f x xx x x =− = + = = 而 0 xx yy u u + = ，则 2 2 1 2 1 '' 2 ' 0, arctan yy y f f fc c xx x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + == + ⎝ ⎠ 即 。 30．由下列各已知调和函数求解析函数 f () i z uv = + ： 1） 2 2 u x y x xy y =− + + ( )( 4 ) ； 2） 2 2 , (2) 0 y v f x y = = + ； 3）u x yf = − =− 2( 1) , (2) i ； 4） arctan , 0 y v x x = > 。 解 1） 2 22 2 3 6 3, 3 6 3 x y u x xy y u x xy y =+− =−− ，则 2 22 2 2 '( ) i 3 6 3 i(3 6 3 ) 3(1 ) x y f z u u x xy y x xy y i z =− = + − − − − = − ，故 3 f z iz cc ( ) (1 ) i , =− + ∈\ ； 2） 22 22 2 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2i 1 '( ) i i ( ) ( ) ( ) () y x x y xy x y xy z fz v v x y x y x y zz z − − −− =+ = + = = = ++ + ，故 1 11 ( ) , (2) 0 ( ) 2 fz c f fz z z =− + = = − 又 ，则 ； 3） '( ) i 2 2i( 1) 2i( 1 i ) 2i( 1) x y fz u u y x x y z = − = − − =− − + =− − ，故 2 2 fz z c f fz z ( ) i( 1) , (2) i ( ) i( 1) =− − + =− =− − 又 ，则 ； 4） 22 22 22 i 1 '( ) i i y x x y xy z fz v v x y x y x y zz z − − =+ = + = = = + ++ ，故 f z z cc ( ) ln , = + ∈\ 。 31．设 sin px ve y = ，求 p 的值使v 为调和函数，并求出解析函数 f () i z uv = + 。 解 2 sin ( 1) 0 px xx yy v v e yp + = −= ，知 p = ±1。当 p =1时， () , z f z e cc = + ∈\ ；当 p = −1时， () , z f z e cc − =− + ∈\ 。 32．如果uxy (, ) 是区域 D 内的调和函数，C 为 D 内以 0 z 为中心的任何一个正向圆周： 0 | | zz r − = ， 它的内部完全含于 D 。试证： 1）uxy (, ) 在 0 0 (, ) x y 的值等于uxy (, ) 在圆周C 上的平均值，即 2 00 0 0 0 1 ( , ) ( cos , sin ) 2 ux y ux r y r d π ϕ ϕ ϕ π = ++ ∫ ； 2）uxy (, ) 在 0 0 (, ) x y 的值等于uxy (, ) 在圆域 0 0 | | zz r − ≤ 上的平均值，即 0 2 00 0 0 2 0 0 0 1 ( , ) ( cos , sin ) r u x y u x r y r rd dr r π ϕ ϕ ϕ π = ++ ∫ ∫ 。 证明 1）由平均值公式（P86）
f(=2"4J(-+Re)d 只取其实部有:a(x002J(x+rcos+ rSin g)dlp; 2)由1)知(x+ros9+ sino)dob=-2x(x,)b=m(x,) 33.如果∫(=)=l+iv在区域D内处处解析,C为D内的正向圆周:|=|=R,它的内部完全含于D 设z为C内一点,并令2=R/2,试证 () ds =0 证明因二为C内一点,|班日R2/E=R2=R>R,故(在C及其内部解析。由 Cauchy基本定理知④d/(s) () dz=0。 34.根据柯西积分公式与习题33的结果,证明 f(二)= f(4M5=,-∮ (R2-z)f() (2-=)(R 其中C为=}=R 证明由柯因积分公式有:f()=n1手5 2n9d5;而由3题结果知∮) d==0,故 R 将这两式相减即得 35如果令2=Re,=re,验证 ds/s ide (R2 (5-z)(2-2)R2-2 Arcos(0-g)+r 并由34题的结果,证明 f(=) )f(Re) 2r Jo R2-2Rrcos(8-0)+r2d6 取其实部,得 u(x,y=u(rcos, rsin R--2Rrcos(0-) 这个积分称为泊松( Poisson)积分。通过这个公式,一个调和函数在一个圆内得值可用它在圆周上的 值来表示 R- R 证明 R=R-e=s dc/4 (2-2)(R2-5 R d515又 diR·e"d0_id,(2-25-2)=R2-2 Rr cos((-0)+r2,故 R
- 9 - 2 0 0 0 1 ( ) ( e) 2 i f z fz R d π θ θ π = + ∫ 只取其实部有： 2 00 0 0 0 1 ( , ) ( cos , sin ) 2 ux y ux r y r d π ϕ ϕ ϕ π = ++ ∫ ； 2）由 1）知 0 0 2 2 2 0 0 00 00 00 0 0 0 1 1 ( cos , sin ) 2 ( , ) ( , ) r r u x r y r rd dr u x y rdr u x y r r π ϕ ϕϕ π π π ++ = = ∫∫ ∫ 。 33．如果 f () i z uv = + 在区域 D 内处处解析，C 为 D 内的正向圆周：| | z = R ，它的内部完全含于 D 。 设 z 为C 内一点，并令 2 zRz = / ，试证 2 () () 0 C C f zf d d z zR ζ ζ ζ ζ ζ ζ = = − − ∫ ∫ v v 。 证明 因 z 为 C 内一点， 2 2 | | | / | /| | | | R z Rz R z RR z = = => ，故 f ( ) z ζ ζ − 在 C 及其内部解析。由 Cauchy 基本定理知： 2 () () 0 C C f zf d d z zR ζ ζ ζ ζ ζ ζ = = − − ∫ ∫ v v 。 34．根据柯西积分公式与习题 33 的结果，证明 2 2 2 1 1 1 ( )() () ( ) 2 i 2 i ( )( ) C C z R zz f f z fd d z R z zR z ζ ζζ ζ πζ ζ πζ ζ ⎡ ⎤ − =+ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − − −− v v ∫ ∫ ， 其中C 为| | z = R |. 证明 由柯西积分公式有： 1 () ( ) 2 i C f f z d z ζ ζ π ζ = − v∫ ；而由 33 题结果知 2 ( ) 0 C zf d z R ζ ζ ζ = − v∫ ，故 将这两式相减即得。 35 如果令 i i Re, e z r θ ϕ ζ = = ，验证 2 22 / i . ( )( ) ( )( ) R 2 cos( ) dd d z R z z z Rr r ζ ζζ θ ζ ζ ζ ζ θϕ = = − − − − − −+ 并由 34 题的结果，证明 22 i 2 2 2 0 1 ( )( e) ( ) 2 2 cos( ) R r fR f z d R Rr r θ π θ π θϕ − = − −+ ∫ . 取其实部，得 2 2 2 2 2 0 1 ( ) ( cos , sin ) ( , ) ( cos , sin ) 2 2 cos( ) R r uR R uxy ur r d R Rr r π θ θ ϕ ϕ θ π θϕ − = = − −+ ∫ 这个积分称为泊松（Poisson）积分。通过这个公式，一个调和函数在一个圆内得值可用它在圆周上的 值来表示。 证明 2 R R i R Re θ ζ ζ ζ − = =⋅ = ，故 2 2 / / . ( )( ) ( )( ) ( )( ) ddd zR z z z R z z ζ ζζ ζζ ζ ζ ζζ ζ ζ = = − − −− − − 又 i i d iR e d id R e θ θ ζ θ θ ζ ⋅ = = ⋅ ， 2 2 ( )( ) 2 cos( ) ζ ζ θϕ − −= − −+ z z R Rr r ，故
dc/s (5-z)(2-2)R2-2Rcos(-g)+r 又由34题知∫()= (R2-z)f() d=16(R2-r2)/(Re")d 2(-)R2-5)2zR2-2 Arcos(0-g)+r 36.设∫()在简单闭曲线C内及C上解析,且不恒为常数,n为正整数 )试用柯西积分公式证明 [f(=) f(=) 2)设M为f(2)在C上的最大值,L为C的长,d为z到C的最短距离,试用积分估值公式 (3.1.10)于1)中的等式,证明不等式 f(=) 3)令n→+∞,对2)中的不等式取极限,证明:|f(-)k≤M。这个结果表明:在闭区域内不 恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得(最大模原理)。 证明1)在柯西积分公式中将里面的函数f(二)换成[f(=)即得。 2)由1)知(+,[msnM,故 1)(Mr 3)对2)中的不等式取极限(n→>+∞),即得。 10
- 10 - 2 2 / i ( )( ) 2 cos( ) d d z z R Rr r ζ ζ θ ζ ζ θϕ = − − − −+ 。 又由 34 题知 2 22 i 22 2 1 ( )() 1 ( )( e) ( ) 2 i ( )( ) 2 2 cos( ) C C R zz f R r f R d fz d z R z R Rr r θ ζ θ ζ π ζ ζ π θϕ − − = = − − − −+ v v ∫ ∫ 。 36．设 f ( )z 在简单闭曲线C 内及C 上解析，且不恒为常数， n 为正整数. 1）试用柯西积分公式证明： 1 [ ( )] [ ( )] 2 i n n C f f z d z ζ ζ π ζ = − v∫ . 2）设 M 为| ( )| f ζ 在C 上的最大值， L 为C 的长，d 为 z 到C 的最短距离，试用积分估值公式 （3.1.10）于 1）中的等式，证明不等式： 1/ | ( )| 2 n L fz M π d ⎛ ⎞ ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 3）令 n → +∞ ，对 2）中的不等式取极限，证明：| ( )| f z M≤ 。这个结果表明：在闭区域内不 恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得（最大模原理）。 证明 1）在柯西积分公式中将里面的函数 f ( )z 换成[ ( )]n f z 即得。 2）由 1）知 1 [ ( )] | ( ) | |[ ( )] | 2 2 n nn n C f L f z f z ds M z d ζ πζ π =≤ ≤ − v∫ ，故 1/ 1/ | ( )| 2 2 n n L L n fz M M π π d d ⎛ ⎞ ⎛⎞ ≤ = ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ 。 3）对 2）中的不等式取极限（ n → +∞ ），即得
