西安交通大学：《复变函数与积分变换》课程教学资源（课后习题解答）习题三解答.pdf_大学文库

- 1 - 习题三解答 1.沿下列路线计算积分 ∫ +i z dz 3 0 2 。（1）自原点到3 + i 的直线段（2）自原点沿实轴至 3，再由 3 沿垂直向上至3 + i ；（3）自原点沿虚轴至 i，再由 i 沿水平方向右至3 + i 。解（1） ⎩ ⎨ ⎧ = = , 3 , y t x t 0 ≤ t ≤ 1，故 z = 3t + it ，0 ≤ t ≤ 1。 dz = (3 + i)dt 于是 z dz ( )( ) 3t it 3 i dt 2 3 1 0 1 0 2 = + + ∫ ∫ + ( ) ∫ = + 1 0 3 2 3 i t dt ( ) i 3 26 3 i 6 3 1 0 1 (3 i) | 3 1 3 3 3 = + t = + = + （2） ∫∫∫∫ + + = + + 3 i 0 3 i 0 2 2 2 2 1 2 z dz z dz z dz z dz C C 。C1 之参数方程为 ⎩ ⎨ ⎧ = = , 3 , y t x t (0 ≤ t ≤ 1)；C2 之参数方程为 ⎩ ⎨ ⎧ = = , 3, y t x (0 ≤ t ≤ 1) 故 ( ) ∫∫ ∫ + = ⋅ + + ⋅ = + 3 i 0 1 0 1 0 2 2 2 i 3 26 z dz 9t 3dt 3 it i dt 6 。（3） ∫ ∫∫ ∫ ∫ + + = + = + 3 i 0 i 0 3 i i 2 2 2 2 2 3 4 z dz z dt z dz z dz z dz C C 。 C3 : z = it( ) 0 ≤ t ≤ 1 ； : 3 i (0 1) C4 z = t + ≤ t ≤ ，故 ( ) ∫∫ ∫ + = − ⋅ + + ⋅ = + 3 i 0 1 0 1 0 2 2 2 i 3 26 z dz t i dt 3t i 3dt 6 2．分别沿 y = x 与 2 y = x 算出、积分 ( ) ∫ + + i x y dz 1 0 2 i 的值。解（1）沿 y = x 。此时 z = t + it( ) 0 ≤ t ≤ 1 。 dz = (1+ i)dt ，于是 ( ) ()( ) ∫ ∫ + + = + + 1 i 0 1 0 2 2 x i y dz t it 1 i dt ( ) ( ) ( ) ∫ ⎟ = − + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + = + + 1 0 2 i 6 5 6 1 2 i 3 1 1 i t it dt 1 i 。（2）沿 2 y = x ，此时 i ( ) 0 1 2 z = t + t ≤ t ≤ 。 dz = (1+ i 2t)dt ，故 ( )( )( ) ∫ ∫ + + = + + 1 i 0 1 0 2 2 2 x i y dz t it 1 i 2t dt ( )( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = + + = + + 1 0 1 0 2 2 3 1 i t 1 i 2t dt 1 i t i 2t dt ( ) i 6 5 6 1 2 i 3 1 1 i ⎟ = − + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + 。 3．设 f ( )z 在单连域 D 内解析，C 为 D 内任何一条正向简单闭曲线，问 [ ( )] [ ( )] ∫ ∫ C Re f z dz = C Im f z dz = 0 是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。解未必成立。令 f ( )z = z ，C : z = 1，则 f (z)在全平面上解析，但是 x 3+i C2 O C1 C3 i C4 y (z) 3

- 2 - [ ] ( ) [ ] ∫ ∫ = π θ θ 2 0 Re Re i i C f z dz e de ( ) ∫ = − + = ≠ π θ θ θ θ π 2 0 cos sin i cos d i 0 [ ] ( ) [ ] ∫ ∫ = π θ θ 2 0 i i Im f z dz Im e de C ( ) ∫ = − + = − ≠ π θ θ θ θ π 2 0 sin sin i cos d 0 4．利用单位圆上 1 z z = 的性质，及柯西积分公式说明 2 i C zdz = π v∫ ，其中C 为正向单位圆周| |1 z = 。解 1 2 i C C zdz dz z = = π v v ∫ ∫ ，（利用柯西积分公式） 5．计算积分 dz z z ∫ C 的值，其中 C 为正向圆周：（1） z = 2；（2） z = 4 解（1）因在| z |= 2 上有| z |= 2， | | 4 2 z ⋅ z = z = ，从而有 z z 4 = ，故有 4 i 2 | | | | 2 2 | | 2 4 = = = π ∫ ∫ = ∫ = dz z dz dz z z C z z Z （2）因在 C 上有| z |= 4， | | 16 2 z ⋅ z = z = ，从而有 z z 16 = ，故有 8 i 4 | | | | 4 4 | | 4 16 = = = π ∫ ∫ = ∫ = dz z dz dz z z C z z Z 6．利用观察法得出下列积分的值。解利用柯西－古萨基本定理和柯西积分公式。 7．沿指定曲线的正向计算下列各积分。（1） ∫C − z dz z e 2 ，C :| z − 2 |= 1 （2） 2 2 C dz z a − v∫ ，Cza a :| | − = （3） i 2 1 z C e dz z + v∫ ，C z :| 2i | 3/ 2 − = （4） 3 C zdz z − v∫ ，C z :| | 2 = （5） 2 3 , ( 1)( 1) C dz z z − − v∫ Cz r :| | 1 = < （6） 3 cos C z zdz v∫ ，C z 为包围＝的闭曲线 0 （7） 2 2 ( 1)( 4) C dz z z + + v∫ ，C z :| | 3/ 2 = （8） sin C zdz z v∫ ，C :| z |= 1 （9） ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − C dz z z 2 2 sin π ，C :| z |= 2 （10） 5 z C e dz z v∫ ，C :| z |= 1 解（1）由 Cauchy 积分公式， ∫ = = − = C z z z dz e e z e 2 i 2 i 2 2 π 2 π （2）解 1： ∫ ∫ = + = − + = − = C C z a z a a dz z a z a z a dz i 1 2 i 1 2 2 π π ，解 2： ∫ ∫ ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = C C − C dz z a dz z a a z a dz 1 1 2 1 2 2 [ ] 2 i 0 i 2 1 a a π = π − = （3）由 Cauchy 积分公式， ii i 2 i /( i) 2i / 1 -i i zz z C C z e dz e dz z e e zzz π π = + = == + + v v ∫ ∫

- 5 - B1 C1 C2 B2 M N E F B G H 故 2 0 1 Re . 1 4 z d π ζ ζ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + ∫ 13．设C1 与C2 为相交于 M、N 两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为 B1与 B2 。 B1与 B2 的公共部分为 B 。如果 f ( )z 在 B1 − B 与 B2 − B 内解析，在C1、C2 上也解析，证明： 1 2 () () C C f z dz f z dz = v v ∫ ∫ 。证明在 B1 − B 上 f ( )z 为解析函数，则由柯西基本定理 () 0 MENGM f z dz = v∫ ；同理 () 0 MHNFM f z dz = v∫ 则 () () () () NGM MEN MHN NFM f z dz f z dz f z dz f z dz +=+ ∫∫∫∫ ，即 1 2 () () C C f z dz f z dz = v∫ ∫v 。 14．设 C 为不经过 a 与-a 的正向简单闭曲线，a 为不等于零的任何复数，试就a与-a同C的各种不同位置，计算积分 ∫C − dz z a z 2 2 。解（i）当 a 在 C 的内部而-a 在 C 的外部时 ∫ ∫ = + = − + = − = C z a C z a z dz z a z a z dz z a z 2 i i 2 2 π π 。（ii）当− a 在 C 的内部而 a 在 C 的外部时， ∫ ∫ = − = + − = − =− c c z a z a z dz z a z a z dz z a z 2 i i 2 2 π π （iii）当 a 与－a 在 C 的内部时，设C1 ,C2 分别为以 a,−a 为心半径充分小的圆周使 1 2 C ,C 均在C 的内部且互不相交也互不包含，则由复合闭路定理及 Cauchy 积分公式得 ∫ ∫ ∫ = + = + − + − + = c c − c dz i i i z a z a z dz z a z a z dz z a z 1 2 2 2 2 π π π （iv）当 a 与－a 都在 C 的外部时，由 Cauchy-Gourssat 定理得 ∫ = C − dz z a z 0 2 2 。 15．设C1与C2 为两条互不包含，也互不相交的正向简单闭曲线，证明： 1 2 2 2 0 01 0 0 0 02 1 sin , 2 i sin , C C z dz zdz z zC π zz zz z zC ⎡ ⎤ ⎧ ⎢ ⎥ + = ⎨ − − ⎣ ⎦ ⎩ v v ∫ ∫ 当在内时, 当在内时. 证明利用 Cauchy 积分公式， 0 1 当在内时, z C 0 1 2 2 2 0 0 1 | 2 i z z C z dz z z π z z = = = − v∫ ，而 2 0 1 sin 0 2 i C zdz π z z = − v∫ ； 0 2 当在内时, z C 1 2 0 1 0 2 i C z dz π z z = − v∫ ，而 0 2 0 0 1 sin sin | sin 2 i z z C zdz z z π z z = = = − v∫ 。故结论成立。 16．设函数 f ( )z 在0 <| z |< 1内解析，且沿任何圆周 C：| z |= r ，0 < r < 1的积分为零，问 f ( )z 是否需在 z=0 处解析？试举例说明之。解不一定。如令 ( ) 2 1 z f z = ，则其在0 <| z |< 1内解析，且沿任何圆周 C：| z |= r ，0 < r < 1的积分

- 6 - ( ) ∫ ∫ = = = C z r dz z f z dz | | 2 0 1 但显然 ( ) 2 1 z f z = 在 z=0 处不解析。 17.设 f ( )z 与 g( )z 在区域 D 内处处解析，C 为 D 内任何一条简单光滑闭曲线，它的内部全属于 D。如果 f () () z = g z 在 C 上所有点都成立，试证在C 的内部所有点处 f (z) = g(z)也成立。证因 f () () z , g z 在 D 内处处解析故在C 上及其内部也处处解析，设 0 z 为C 的内部的任一点，则由 Cauchy 积分公式有 ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ − = − = C C dz z z g z i dz g z z z f z i f z 0 0 0 0 2 1 , 2 1 π π ，又因在 C 上 f ( )z = g(z)，故 ( ) ( ) ∫ ∫ − = C C − dz z z g z dz z z f z 0 0 ，从而 () (), 0 0 f z = g z 由 0 z 的任意性，在C 的内部均有 f (z) = g(z)。 18．设区域 D 是圆环域， f ( )z 在 D 内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周 K K 1 2 与，K K 2 1 包含， 0 z 为 K K1 2 , 之间任一点，试证（3.5.1）仍成立，但 1 2 C KK ( ). − 要换成见图 + 证明参照 78 页闭路变形定理的证明方法。 19．设 f ( )z 在单连通区域 D 内解析，且不为零，C 为 D 内任何一条简单光滑闭曲线，问积分 ( ) ( ) ∫C f z f ' z dz 是否为零？为什么？解等于零。因 f ( )z 在 D 内解析，故 f (z) 具有各阶导数且仍为解析函数，从而 f '( )z 在 D 内也解析，又因在 D 内 f ( )z ≠ 0，故 ( ) f ( )z f ' z 在 D 内解析，从而在 C 上及 C 的内部也解析，于是由 Cauchy-Gourssat 定理，有 ( ) ( ) ∫ = C dz f z f z 0 ' 。 20．试说明柯西－古萨基本定理中的C 为什么可以不是简单闭曲线？ 21．设 f ( )z 在区域 D 内解析，C 为 D 内的任意一条正向简单闭曲线，证明：对在 D 内但不在C 上的任意一点 0 z ，等式： 2 0 0 '( ) ( ) ( ) C C f z fz dz dz zz zz = − − v v ∫ ∫ 成立。证明利用 Cauchy 积分公式，有 0 0 0 '( ) 2 i '( ) | 2 i '( ) z z C f z dz f z f z z z = = π π = − v∫ ；而由高阶导数公式 0 2 0 0 () 2i '( ) | 2 i '( ) ( ) 1! z z C f z dz f z f z z z π = = = π − v∫ ，故所证等式成立。 22．如果ϕ(, ) x y 和ψ (, ) x y 都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而 y x s = − ϕ ψ ， x y t =ϕ +ψ 那么 s t + i 是 x + iy 的解析函数。证明由ϕ(, ) x y 和ψ (, ) x y 都具有二阶连续偏导数，而 y x s =ϕ −ψ ， x y t =ϕ +ψ 知，s t, 具有一阶连续的偏导数，在证 s t, 满足 C－R 方程即可。注意 0 ϕxx yy +ϕ = ， 0 ψ xx yy +ψ = ，则 x yx xx xy yy y s t =−=+ = ϕ ψ ϕψ ； y yy xy xx yx x s t =ϕ − =− − =− ψ ϕψ ，故 s t, 满足 C－R 方程，即

- 7 - s t + i 是 x + iy 的解析函数。 23．设u 为区域 D 内的调和函数及 i u u f x y ∂ ∂ = − ∂ ∂ ，问 f 是不是 D 内的解析函数？为什么？解 f 是 D 内的解析函数。因u 为区域 D 内的调和函数，故 x u 和 y −u 在 D 内有一阶连续的偏导数。又 2 2 2 2 x y u uuu x xy y ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = =− = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ； 2 y x uu u x xy y ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = =− −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂∂ ∂ ⎝ ⎠ ，即满足 C－R 方程。 24．函数vxy = + 是uxy = + 的共轭调和函数吗？为什么？解不是。因u v + i 不能构成一解析函数。 25．设u 和v 都是调和函数，如果v 是u 的共轭调和函数，那么u 也是v 的共轭调和函数。这句话对吗？为什么？解不对。参考 27 题的第二问。 26．证明：一对共轭调和函数的乘积仍是调和函数。证明设v 是u 的共轭调和函数，则 0 xx yy u u + = ， 0 xx yy v v + = ， x y u v = ， y x u v = − 。又 () 2 xx xx x x xx uv u v u v uv =+ + ， () 2 yy yy y y yy uv u v u v uv = + + ，故() () 0 xx yy uv uv + = ，即一对共轭调和函数的乘积仍是调和函数。 27．如果 f () i z uv = + 是一解析函数，试证： 1）i () f z 也是解析函数； 2）−u 是v 的共轭调和函数； 3） 2 22 2 22 2 2 2 | ( )| | ( )| 4( ) 4 | '( ) | x x fz fz u v fz x y ∂ ∂ + = += ∂ ∂ 。证明 1）i () i f z vu = − ，而 f () i z uv = + 是一解析函数，故u v, 满足 C－R 方程，进而 ( ) x y v u = − ， ( ) y x v u =− − 。故i () f z 也是解析函数。 2）由 f () i z uv = + 是一解析函数，i () i f z vu = − 。故 −u 是v 的共轭调和函数。 3） 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 | ( )| | ( )| ( )( ) fz fz u v x y xy ∂ ∂ ∂∂ + =+ + ∂ ∂ ∂∂ 2222 22 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 4( ) 4 | '( ) | x x y y xx yy xx yy x x u v u v uu u vv v u v fz = ++++ + + + = += 28．证明： 2 2 ux y = − 和 2 2 y v x y = + 都是调和函数，但是u v + i 不是解析函数。证明 2 x u x = ， 2 y u y = − ， 2 22 2 ( ) x xy v x y − = + ， 2 2 2 22 ( ) y x y v x y − = + ， 2 2 23 2 22 8 2 ( )( ) xx xy y v x y xy = − + + ， 3 2 23 2 22 8 6 ( )( ) yy y y v x y xy = − + + ，则 2 ( 2) 0 xx yy u u + = +− = ， 2 3 2 23 2 23 2 22 888 0 ( )( )( ) xx yy xy y y v v xy xy xy += + − = +++

- 8 - 29．求具有下列形式的所有调和函数u ：1）u f ax by a b = ( ), + 与为常数；2） y u f x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠。解 1）由 2 2 ', '', '', x xx yy u af u a f u b f == = 而 0 xx yy u u + = ，则 f '' 0 = ，即 1 2 f = ++ c ax by c ( ) 。 2）由 2 2 34 2 1 1 ', 2 ' '', ', '', x xx y yy y yy u fu f f u fu f x xx x x =− = + = = 而 0 xx yy u u + = ，则 2 2 1 2 1 '' 2 ' 0, arctan yy y f f fc c xx x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + == + ⎝ ⎠ 即。 30．由下列各已知调和函数求解析函数 f () i z uv = + ： 1） 2 2 u x y x xy y =− + + ( )( 4 ) ； 2） 2 2 , (2) 0 y v f x y = = + ； 3）u x yf = − =− 2( 1) , (2) i ； 4） arctan , 0 y v x x = > 。解 1） 2 22 2 3 6 3, 3 6 3 x y u x xy y u x xy y =+− =−− ，则 2 22 2 2 '( ) i 3 6 3 i(3 6 3 ) 3(1 ) x y f z u u x xy y x xy y i z =− = + − − − − = − ，故 3 f z iz cc ( ) (1 ) i , =− + ∈\ ； 2） 22 22 2 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2i 1 '( ) i i ( ) ( ) ( ) () y x x y xy x y xy z fz v v x y x y x y zz z − − −− =+ = + = = = ++ + ，故 1 11 ( ) , (2) 0 ( ) 2 fz c f fz z z =− + = = − 又，则； 3） '( ) i 2 2i( 1) 2i( 1 i ) 2i( 1) x y fz u u y x x y z = − = − − =− − + =− − ，故 2 2 fz z c f fz z ( ) i( 1) , (2) i ( ) i( 1) =− − + =− =− − 又，则； 4） 22 22 22 i 1 '( ) i i y x x y xy z fz v v x y x y x y zz z − − =+ = + = = = + ++ ，故 f z z cc ( ) ln , = + ∈\ 。 31．设 sin px ve y = ，求 p 的值使v 为调和函数，并求出解析函数 f () i z uv = + 。解 2 sin ( 1) 0 px xx yy v v e yp + = −= ，知 p = ±1。当 p =1时， () , z f z e cc = + ∈\ ；当 p = −1时， () , z f z e cc − =− + ∈\ 。 32．如果uxy (, ) 是区域 D 内的调和函数，C 为 D 内以 0 z 为中心的任何一个正向圆周： 0 | | zz r − = ，它的内部完全含于 D 。试证： 1）uxy (, ) 在 0 0 (, ) x y 的值等于uxy (, ) 在圆周C 上的平均值，即 2 00 0 0 0 1 ( , ) ( cos , sin ) 2 ux y ux r y r d π ϕ ϕ ϕ π = ++ ∫ ； 2）uxy (, ) 在 0 0 (, ) x y 的值等于uxy (, ) 在圆域 0 0 | | zz r − ≤ 上的平均值，即 0 2 00 0 0 2 0 0 0 1 ( , ) ( cos , sin ) r u x y u x r y r rd dr r π ϕ ϕ ϕ π = ++ ∫ ∫ 。证明 1）由平均值公式（P86）

- 9 - 2 0 0 0 1 ( ) ( e) 2 i f z fz R d π θ θ π = + ∫ 只取其实部有： 2 00 0 0 0 1 ( , ) ( cos , sin ) 2 ux y ux r y r d π ϕ ϕ ϕ π = ++ ∫ ； 2）由 1）知 0 0 2 2 2 0 0 00 00 00 0 0 0 1 1 ( cos , sin ) 2 ( , ) ( , ) r r u x r y r rd dr u x y rdr u x y r r π ϕ ϕϕ π π π ++ = = ∫∫ ∫ 。 33．如果 f () i z uv = + 在区域 D 内处处解析，C 为 D 内的正向圆周：| | z = R ，它的内部完全含于 D 。设 z 为C 内一点，并令 2 zRz = / ，试证 2 () () 0 C C f zf d d z zR ζ ζ ζ ζ ζ ζ = = − − ∫ ∫ v v 。证明因 z 为 C 内一点， 2 2 | | | / | /| | | | R z Rz R z RR z = = => ，故 f ( ) z ζ ζ − 在 C 及其内部解析。由 Cauchy 基本定理知： 2 () () 0 C C f zf d d z zR ζ ζ ζ ζ ζ ζ = = − − ∫ ∫ v v 。 34．根据柯西积分公式与习题 33 的结果，证明 2 2 2 1 1 1 ( )() () ( ) 2 i 2 i ( )( ) C C z R zz f f z fd d z R z zR z ζ ζζ ζ πζ ζ πζ ζ ⎡ ⎤ − =+ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − − −− v v ∫ ∫ ，其中C 为| | z = R |. 证明由柯西积分公式有： 1 () ( ) 2 i C f f z d z ζ ζ π ζ = − v∫ ；而由 33 题结果知 2 ( ) 0 C zf d z R ζ ζ ζ = − v∫ ，故将这两式相减即得。 35 如果令 i i Re, e z r θ ϕ ζ = = ，验证 2 22 / i . ( )( ) ( )( ) R 2 cos( ) dd d z R z z z Rr r ζ ζζ θ ζ ζ ζ ζ θϕ = = − − − − − −+ 并由 34 题的结果，证明 22 i 2 2 2 0 1 ( )( e) ( ) 2 2 cos( ) R r fR f z d R Rr r θ π θ π θϕ − = − −+ ∫ . 取其实部，得 2 2 2 2 2 0 1 ( ) ( cos , sin ) ( , ) ( cos , sin ) 2 2 cos( ) R r uR R uxy ur r d R Rr r π θ θ ϕ ϕ θ π θϕ − = = − −+ ∫ 这个积分称为泊松（Poisson）积分。通过这个公式，一个调和函数在一个圆内得值可用它在圆周上的值来表示。证明 2 R R i R Re θ ζ ζ ζ − = =⋅ = ，故 2 2 / / . ( )( ) ( )( ) ( )( ) ddd zR z z z R z z ζ ζζ ζζ ζ ζ ζζ ζ ζ = = − − −− − − 又 i i d iR e d id R e θ θ ζ θ θ ζ ⋅ = = ⋅ ， 2 2 ( )( ) 2 cos( ) ζ ζ θϕ − −= − −+ z z R Rr r ，故