例设四3+bx2y+ix3+cxy2)为解析函数,求 a,b,c的值 解设∫(z)=(qp3+bx2y)+i(x3+cy2)=u+iv 故 u=ay+bxy, v=x+cxy du ou =2b OV=2cxy,Ox =3xtcy, av =3ay+ bx 由于∫(z)解析,所以 au ay au dv ax ay ay ax 即2bx=2Cx→b=c, 3y2+bx2=-3x2-qgy2→3=-c,b=-3 故 1,b=-3,c=-3. PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fIneprint,com,cn
例 设 为解析函数，求 的值. ( ) 3 2 3 2 ay + bx y + i x + cxy a,b,c 解 设 f (z) = (ay + bx y) + i(x + cxy ) = u + iv 3 2 3 2 故 3 2 3 2 u = ay + bx y, v = x + cxy 2bxy, x u = ¶ ¶ 2cxy, y v = ¶ ¶ 3 , 2 2 x cy x v = + ¶ ¶ 3 , 2 2 ay bx y u = + ¶ ¶ 由于f (z) 解析，所以 x v y u y v x u ¶ ¶ = - ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ , 即 2bxy = 2cxy Þ b = c, 3 3 3 , 3 2 2 2 2 ay + bx = - x - cy Þ a = -c b = - 故 a = 1, b = -3, c = -3. PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
例解方程sinz=0 2 解sin e -e e 2ie z →e2=1 2iz 2kT →e →Z=k兀 k=0,±1,±2, PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fIneprint,com,cn
例 解方程 sin z = 0 解 0 2 1 2 sin 2 = - = - = - iz iz iz iz ie e i e e z 1 2 Þ = iz e iz k i e e p Þ = 2 2 Þ z = kp. (k = 0, ± 1, ± 2,L) PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
例求出(-2)2的值 解(-2) 2ln(-2) e 2[m2+(x+2k) √2ln2 =已 fcos 2(2k +1)T]+isin 2 (2k +1)Th (k=0,±1,±2,) PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fIneprint,com,cn
例 求出 的值. 2 (-2) 解 2 2ln( 2) ( 2) - - = e 2[ln2+ (p+2 p)] = i k e {cos[ 2(2 1) ] sin[ 2(2 1) ]} 2ln 2 = e k + p + i k + p (k = 0, ± 1, ± 2,L) PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
设C是=e,0从到的一周,则Rek=() C A-丌B丌C-xi D丌1 Re(z)=cose, dz=(sin e +icos e)de cos0 sin 0de+i cos 0d0=i 丌 丌 设C是=(1+)1从1到2的线段,则[agzz=() 丌 丌 丌 B C-(+1)Dl 4 此直线上rgx4 dz=(l+idt 则l=(1 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.com,cn
B C - i , Re( ) ( D i ) i c C z e z dz A q p p q p p p p = = - 设 是 从 ò - 到 的一周，则 2 Re( ) cos , ( sin cos ) cos sin cos z dz i d I d i d i p p p p q q q q q q q q q p - - = = - + = - + = ò ò (1 B C (1 ) ) , 1 2 a D 1+i 4 4 4 rg ( ) c C z i t z z i t d A i p p p = + = + 设 是 从 到 的线段，则ò arg , (1 ) 4 (1 ) 4 z dz i dt I i p p = = + = + 此直线上 则 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
设C是单位圆=c,0从0到2x,则=-=( B-4 c 8 D-8 1-cos0)+sin 0=2sin -dz=de 2丌 故=2 sin-de=8 设C是圆z=e, sin z dz=() e-e 0B-sin 2 C 2 sin 2 d -2tisin 2 被积函数除z=1外处处解析,故积分为0 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fIneprint,com,cn
4 B -4 , 0 2 C 8 , 1 ( ) D -8 i c C z e z dz A q = q p - = 设 是单位圆 从 到 则ò 2 2 2 0 1 (1 cos ) sin 2sin , 2 2sin 8 2 z dz d I d p q q q q q q - = - + = = = = 故 ò 0 -s 1 s in 2 2 sin 2 in ( ) 2 - 2 sin 2 i z c z C z e dz e A B C D i e q p p = = - 设 是圆 ，则Ñò 被积函数除z =1 0 外处处解析，故积分为 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
设C是沿抛物线y=x2-1从(-1,0)到(1,0)的弧段, 则 sin(1+zdz=() A0 B - c 1-coS2 D cos2-1 由sin(1+z)解析,积分和路径无关,且 原式=-Co+) (1,0) 1-cos 2 2+2)cos2zb=() A0B丌1C-2元iD2丌i 原式=cos2d+ =2 TI COS2z.=2兀 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.com,cn
2 1, ( 1,0) 1 0 sin( 0 B -cos2 C 1-cos2 D cos 1 ) ( ) 2-1 c A C y x z dz = - - + = ò 设 是沿抛物线 从 到（，）的弧段， 则 (1,0) ( 1,0) sin(1 ) -cos(1 ) 1 cos 2 z z - + = + = - 由 解析，积分和路径无关，且 原式 2 1 0 B i ( ) cos ( C -2 i D 2 i ) z A z z zdz p p p - = + = Ñò 2 2 1 1 2 0 cos cos 2 cos 2 z z z z zdz dz z p p i z i = = = = + = = 原式 Ñ Ñ ò ò PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
n( ez d=()A0B2xiC-27iD兀h -1|= 原式 In(ez) 2元l =2兀 z=1 tan i dz=o ao B2Tie 2 c tie 2 d 2Ti e 2 原式=2mi(1-)20=2mie2 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.com,cn
1 2 2 1 0 B 2 ln( ) ( ) C -2 D z A e dz i i i z z z p p p - = = - Ñò 1 ln( ) 2 2 z ez i i z 原式 = = p p = 1 1 - 1 1 2 2 - A 2 2 0 B 2 ie C ie D 2 tan () i z z z dz z e p p p = + = Ñò 1 ' 2 1 0 2 tan 2 ( ) 2 z z z i ie e p p - = + 原式 = = PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
C为圆周=2正向和圆周1=1负向组成,则=(0 A0B2兀C-2丌D2i 由复合闭路定理知道原式为0 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.com,cn
0 B 2 C -2 2 1 ( D 2 ) i z c e C z z dz z A p p p = = = 为圆周 正向和圆周 负向组成，则ò 由复合闭路定理知道原式为0 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
10 00 例计算 C0S(z+z+1) x+2+4 解当k≤时, x2+2z+424-22-z2≥4-2-1=1 故由柯西积分定理得 00 10 C0(zx+1) dz=0. x2+2z+4 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.com,cn
解 2 2 z + 2z + 4 ³ 4 - 2z - z ³ 4 - 2 - 1 = 1, d . 2 4 cos( 1) 2 100 1 z z z z z ò z + + + + 例 计算 = 当 z £ 1时, 故由柯西积分定理得 d 0. 2 4 cos( 1) 2 100 1 = + + + + ò = z z z z z z PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
dz 例计算下列积分()J.,,(2),二d 內为大于1的自然数 解因为z=0是和的奇点所以 dz 2Ti yn)=0; z”(n-1) e dz 2ni 2πi L e e 0(n =0 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fIneprint,com,cn
解 0 ( 1) 1 (1) ( 1)! d 2 (1) = - = - p = ò z n z n n i z z = 0; 0 ( 1) 1 ( ) ( 1)! d 2 (2) = - = - p = ò z z n z n z e n i z e z 0 ( 1)! 2 = - p = z z e n i . ( 1)! 2 - p = n i , (2) d . d (1) 1 1 z z e z z z n z z ò = n ò = n为大于1的自然数. 例 计算下列积分 因为 是 和 的奇点,所以 1 0 n z n z e z z = PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn