《高等数学》课程教学资源：第一章 向量代数与空间解析几何（1.7-1.8）高阶偏导数及泰勒公式、方向导数

匚高等数学 §1-7高阶偏导数及泰勒公式

§1－7 高阶偏导数及泰勒公式

匚高等数学 、高阶偏导数 设z=f(x,y)的偏导数为(x,y),f(x,y) 由于它们还是x,y的函数因此,可继续讨论 f、(x,y),f"(x,y)的偏导数

z f (x, y) f (x, y), f (x, y). x y 设 = 的偏导数为   由于它们还是 x, y 的函数. 因此, 可继续讨论 f (x, y), f (x, y)的偏导数. x y   一、高阶偏导数

匚高等数学 设z=f(x,y)在区域D内可偏导若f(x,y) 〃"(x,y)还可偏导.则记, a=z fr(,y) of Ox ax (

( , ) . , ( , ) . ( , ), 还可偏导 则记 设 在区域 内可偏导 若 f x y z f x y D f x y y x  =            =  =    x f y f x y x y z xy ( , ) 2 ( , ) , 2 2           =  =   x f x f x y x z xx

匚高等数学 2=fm(x,y)= a of 02z =fr(r, v)d(af VoX axa 称为z=f(x,y)的二阶偏导数 称∫"(x,y),f"(x,y)为二阶混合偏导数

( , ) , 2 2           =  =   y f y f x y y z yy           =  =    y f x f x y y x z yx ( , ) 2 称为 z = f (x, y)的二阶偏导数. 称 f (x, y), f (x, y)为二阶混合偏导数. xy yx  

匚高等数学 类似可得三阶,四阶,…,n阶偏导数 如,若可偏导,则记 az 018za Q3a(ax2)abyo(a/等等

类似, 可得三阶, 四阶, …, n 阶偏导数. 如, 若 2 可偏导,则记 2 x z   , 2 2 3 3             =   x z x x z , . 2 2 2 3   等等           =    x z x y y z

匚高等数学 例1设=x2y2+x+smy+3求全部二阶偏导和Q 一解 g 解:=5小x Q g-JXA+CO2 小 95VXM 95x =寸 了 92:0

例1. sin 3, . 3 3 2 2 xz z x y x y  设 = + + + 求全部二阶偏导和 解 : 2 1 , 2 = +  y x xz 2 cos . 2 x y y yz = +  2 , 2 2 2 y x z =  4 , 2 xy y xz =    0 . 3 3 = xz 2 sin , 2 2 2 x y y z = −  4 . 2 xy x yz =   

匚高等数学 在例,有 02z02 Oxo avax 问题 是否任何函数的二阶混合偏导数都相等? 若不是,那么满足什么条件时,二阶混合 偏导数才相等呢?

1 , . 2 2 y x z x y z    =    在例 中 有 若不是, 那么满足什么条件时, 二阶混合 偏导数才相等呢? 问题: 是否任何函数的二阶混合偏导数都相等?

匚高等数学 定理1 若z=f(1)=f(x,y)的两个混合偏导数 f af 在X。=(x0,y)的某邻域U(X0) Oxy avox 内存在,且它们在X连续,则 82f(X0)_02f(X0) avOx

若 z = f (X) = f (x, y)的两个混合偏导数 , , , ( , ) ( ) 0 0 0 0 0 2 2 内存在 且它们在 连续 在 的某邻域 X X x y U X y x f x y f =       则 y x f X x y f X    =    ( ) ( ) 0 2 0 2 定理1

匚高等数学 分析.按定义 f(x,y)=lim f(x+△x,y)-f(x2y) △x→>0 △x 8,(x, y)=lm 8(x,y+Ay)g(x,y) △y->0 一△y f(x,y)=l(x,yly=lim f(x,y+Ay)-f(x, y △y>0 △

分析. 按定义 , ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 x f x x y f x y f x y x x  +  −  =  → , ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 y g x y y g x y g x y y y  +  −  =  → f (x, y) xy    y x f x y  = ( , ) , ( , ) ( , ) lim 0 y f x y y f x y x x y   +  −  =  →

匚高等数学 =1m f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△ △y→>0△ yLAx→>0 △x lim/(x+Ax, y)-f(x,y) Ax->0 △ lim lim Lf(x+Ax, y+Ay)-f(x, y+Ay 4y→>0△x->0△△ f(x+Ar,y)+f(x,DI

y y =  → 1 lim 0     +  +  − +   → x f x x y y f x y y x ( , ) ( , ) lim 0     +  − −  → x f x x y f x y x ( , ) ( , ) lim 0  ( , ) ( , ) 1 1 lim lim 0 0 f x x y y f x y y y x y x +  +  − +     =  →  → − f (x + x, y) + f (x, y)