HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 二、空间曲线及其方程 1.空间曲线的一般方程 设有两块曲面SS2,它们的 方程依次为: F(x,y,z)=0 S2:G(x,y,z)=0 X S1,S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程 而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程 因此 F(x,y2)=0 G(x,y,2)=0 即为交线C的方程,称为空间曲线C的一般方程 AO 高等粤
设有两块曲面S1 , S2 , 它们的 方程依次为: S1 : F (x, y, z) = 0 S2 : G (x, y, z) = 0 S1 , S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程, 而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程. 因此 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 即为交线C的方程, 称为空间曲线C的一般方程. (2) x y z o S1 S2 C 二、空间曲线及其方程 1. 空间曲线的一般方程
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例5:柱面x2+y2=1与平面x+y+z2 的交线是一个圆,它的一般方程是12 x++=2 AO 高等粤
x 2+y 2=1 x+y+z=2. y x z 0 例5: 柱面 x 2 + y 2 = 1与平面x+y+z=2 的交线是一个圆, 它的一般方程是
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 2.空间曲线的参数方程 将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个 参数的函数 X-x (t) y=y(t (3) 2=2 当给定t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着t 的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做 空间曲线的参数方程 AO 高等粤
2. 空间曲线的参数方程 将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个 参数t的函数. x = x (t) y = y (t) (3) z = z (t) 当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t 的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做 空间曲线的参数方程
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例6:如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以 角速度绕z轴旋转,同时又以线速度ν沿 平行于z轴的正方向上升(其中O,v都是常数) 那末点M构成的图形叫做螺旋线,试建立其 参数方程 ∠ 解:取时间t为参数,设当t=0时, 动点位于x轴上的一点 A(a,0,0)处,经过时间t,由A 运动到Mx,y,z),M在xOy面 t 上的投影为M(x,y,0 AO 高等粤
例6: 如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 + y 2 = a 2上以 角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿 平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其 参数方程. 解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A 运动到M(x, y, z), M在xOy面 上的投影为M (x, y, 0). x y z h A t OM M
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (1)动点在圆柱面上以角速度O绕轴旋转, 所以经过时间t,∠AOM′=O.从而 x=| OM.COS∠AOM′= acos@ t y= OM.Sin∠AOM′= asino t (2)动点同时以线速度ν沿z轴向上升因而 z=MM=vt 得螺旋线的参数方程 x= acos t y=asino t z= vt 注:还可以用其它变量作参数 M AO 高等粤
(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM = t. 从而 x = |OM | ·cosAOM = acos t y = |OM | ·sinAOM = asin t (2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而 z = MM = vt 得螺旋线的参数方程 x = acos t y = asin t z = vt 注: 还可以用其它变量作参数. x y z A OM t M
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例如:令=06为参数;螺旋 线的参数方程为 x= acos y=asin e z=be h oM 这里b tt 当从0变到O0+a是,由b00变到bO0+ba, 即M点上升的高度与OM转过的角度成正比 特别,当a=2x时,M点上升高度h=2b 在工程上称h=2πb为螺距 AO 高等粤
y x z A OM t M 例如: 令 = t. 为参数; 螺旋 线的参数方程为: x = acos y = asin z = b . v 这里b = 当从 0变到 0 + 是, z由b 0变到 b 0+ b , 即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比. 特别, 当 = 2 时, M点上升高度h = 2 b, h 在工程上称 h = 2 b为螺距
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 3.空间曲线在坐标面上投影 设空间曲线C的一般方程 F(x,y,z)=0 G(x,y,2)=0 由方程组(4)消去z后得方程H(x,y)=0(5) 方程(5)表示一个母线平行于z轴的柱面 曲线C一定在柱面上 空间曲线C在xOy面上的 投影曲线必定包含于 H(x2y)=0 ∠ AO 高等粤
3. 空间曲线在坐标面上投影 设空间曲线C的一般方程 F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0 (4) 由方程组(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5) 方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线 C 一定在柱面上. x y z oo C 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于: H (x, y) = 0 z = 0
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 注:同理可得曲线在yO面或O面上的 投影曲线方程 AO 高等粤
注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的 投影曲线方程
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例7:已知两个球面的方程分别为 x2+y2+ 和x2+(y-1)2+ 求它们的交线C在xO面上的投影曲线的方程 解:联立两个方程消去z,得 椭圆柱面 2x2+4(y-) 两球面的交线C在xOy面上的投影曲线方程为 2x2+4(y 0 AO 高等粤
例7: 已知两个球面的方程分别为: x 2 + y 2 + z 2 = 1 和 x 2 + (y −1)2 + (z−1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程. 解: 联立两个方程消去 z ,得 = + − = 0 ) 1 2 1 2 4( 2 2 z x y ) 1 2 1 2 4( 2 2 x + y − = 两球面的交线C 在 x O y 面上的投影曲线方程为 椭圆柱面
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例8:设一个立体由上半球面z=√4-x2-y2和锥面 z=√3(x2+y2)所围成,求它在xoy面上的投影 解:半球面与锥面的交线为 4-x C =、3(x2+y 由方程消去z,得x2+y2=1(圆柱面) x2+y2≤1 于是交线C在xoy面上的投影曲线为 这是xoy面上的一个圆 =0 所以,所求立体在xo面上的投影为:x2+y2≤1 AO 高等粤
设一个立体由上半球面 和锥面 2 2 z = 4 − x − y 3( ) 2 2 z = x + y 所围成, 求它在xoy面上的投影. 解: 半球面与锥面的交线为 = + = − − 3( ) 4 : 2 2 2 2 z x y z x y C 由方程消去 z , 得 x 2 + y 2 =1 y x z O x 2 + y 2 1 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x 2 + y 2 = 1 z = 0 这是xoy面上的一个圆. 所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x 2 + y 2 1 例8: (圆柱面)