《高等数学》课程教学资源：第一章 向量代数与空间解析几何（1.5-1.6）多元复合函数的导数、隐函数的导数

匚高等数学 81-5多元复合函数的导数 、链式法则

§1－5 多元复合函数的导数 一、链式法则

匚高等数学 定理1设=),=以x)在点x处可导而 z=f(u40)在x对应的点(,)可微 复合函数z=f(u(x),v(x)在点x处 可导 且 d_adnz,d(公式也称为 dx au dx ay dx链式法则) 证:只要证m4c △ △v △x→)0△xAx→>0△xOv△x->0△x 从而只要证△2=·△2△+0(△x)即可 au

则复合函数 z = f ( u(x), v(x))在点 x 处 可导. 且 x v v z x u u z x z d d d d d d     +   = (公式也称为 链式法则) 证: 设 u = u(x), v = v(x) 在点 x 处可导. 而 z = f (u, v)在 x 对应的点(u, v)可微. lim lim lim , 0 0 0 x v v z x u u z x z x x x     +     =   只要证  →  →  → 从而只要证 v 0( x)即可. v z u u z z  +     +    = 定理1

匚高等数学 给x以改变量Ax,因u,v是x的函数,可 得v,v的改变量△L,△v 又因z是u,v的函数,进而得到A 因z=f(l2)在(l2y)可微

又因 z 是 u, v 的函数, 进而得到z. 因 z = f (u, v)在 (u, v)可微. 给 x 以改变量x, 因u, v 是x的函数, 可 得u, v 的改变量u, v

匚高等数学 az △=△△+0(√△2+△v 同除以Δx≠0,得 Axan△x×O(A12+△2) Aaz△naz△ △x 令Ax>0,得 dz az du az dy t li 0(√△n2+△n2) dx au dx av dx ax→>0 △x

同除以 x  0, 得 x u v x v v z x u u z x z   +  +     +      =   0( ) 2 2 令 x → 0, 得 x u v x v v z x u u z x z x   +  +    +   =  → 0( ) lim d d d d d d 2 2 0 0( ) 2 2 v u v v z u u z z  +  +     +    =

匚高等数学 注意到当Ax→0时,△,A趋于0.从而 0(√△n2+△v2)imnO(√△a2+△v2),△n2+Av △x>0 △ △x→>0 △n2+△y2 △x 2 0(√△2+△y2 △Z △ 4x0√△n2+△2N(A 0 △X 无穷小乘有界量 dz az du az dv 故 dx a dx av dx

从而 x u v x   +   → 0( ) lim 2 2 0 x u v u v u v x   +    +   +  =  → 2 2 2 2 2 2 0 0( ) lim                  +           +   +  =  → 2 2 2 2 2 2 0 0( ) lim x v x u u v u v x = 0 x v v z x u u z x z d d d d d d     +   故 = 注意到当 x → 0时, u , v 趋于0. 无穷小乘有界量

匚高等数学 用同样的方法,可将该公式推广到中间变量 为3个,4个,…等情形 比如,设z=f(l,w),=(x.,y=vx,= 1y(x),满足定理条件则 dz az du az dy az dw dx au dx ay dx aw dx

用同样的方法, 可将该公式推广到中间变量 为3个, 4个, …等情形. 比如, 设 z = f (u, v, w), u = u(x), v = v(x), w = w(x), 满足定理条件. 则 x w w z x v v z x u u z x z d d d d d d d d     +    +   =

匚高等数学 例1.设z=tg(u+),=x2,v=lnx,求 dz x 解:(1)z=g(x2+hnx) z'=sec2(x2+Inx) (2x+-) (2)0=se0(+,dz az 2x. dx y dv1 sec(u+y av d

例1. 设 z = tg(u + v), u = x 2 , v = lnx, . d d x z 求 解: (1) z = tg (x 2 +lnx) (2) sec ( ), 2 u v u z = +   2 . d d x x u = sec ( ), 2 u v v z = +   . 1 d d x x v = z' = sec2 (x 2+lnx) ) 1 (2 x  x +

匚高等数学 故d az du az dy dx au dx av dx 2x sec(u+v)+sec(u+v) x 2x sec(x+hn x)+-sec(+In x) 若.是x,y的二元函数,=(xyv=u(x,y 此时z三f(l,v)=f(v(x,y)2v(x,y)是x,y的二元函数 如何求z对x,y的偏导数?

x v v z x u u z x z d d d d d d     +   故 = sec ( ) 1 2 sec ( ) 2 2 u v x = x u + v + + sec ( ln ) 1 2 sec ( ln ) 2 2 2 2 x x x = x x + x + + 若u, v是 x, y 的二元函数, u = u(x, y), v = v(x, y ), 此时z = f (u, v) = f (u(x, y), v(x, y))是x, y的二元函数. 如何求 z 对x, y 的偏导数?

匚高等数学 注意到求航是将y定 把z=f(v(x,y),v(x,y)作为一元 函数求导

. ( ( , ), ( , )) , 函数求导 把 作为一元 注意到求 就是将 固定 z f u x y v x y y x z =  

匚高等数学 由上述公式.有 1°,若z=f(l2v),l=l(x,y),=v(x,y)满足定 一理条件则复合函数z=f(l(x,y),vx,y)的偏导数为 az az au Sy az az au az av Ox Ou Ox Ov Ox Oy Ou Oy Ov oj (只须将定理1中导数符号改为偏导符号)

由上述公式. 有 1 ,若 z = f (u, v) , u = u(x, y), v = v(x, y))满足定 理条件. 则复合函数 z = f (u(x, y), v(x, y))的偏导数为 x v v z x u u z x z      +      =   y v v z y u u z y z      +      =   (只须将定理1中导数符号改为偏导符号)