匚高等数学 §1-3多元函数的偏导数
§1－3 多元函数的偏导数
匚高等数学 、偏导数的定义 在二元函数z=f(x,y)中,有两个自变量x,y,但 若固定其中一个自变量,比如,令y=y而让x变化 则=成为一元函数z=f(x,y),我们可用讨论一元 函数的方法来讨论它的导数,称为偏导数
在二元函数 z = f (x, y)中, 有两个自变量 x, y, 但 若固定其中一个自变量, 比如, 令y = y0 , 而让 x 变化. 则 z 成为一元函数 z = f (x, y0 ), 我们可用讨论一元 函数的方法来讨论它的导数, 称为偏导数. 一、偏导数的定义
匚高等数学 定 义设z=f(x)=f(x,y)在x=(xny)的 某邻域U(X0)内有定义固定y=y,在x0 给x以增量Δx.相应函数增量记作 △x2=f(x+△x2y0)-f(x,y) 称为z在点X处关于x的偏增量
设 z = f (X) = f (x, y) 在 X0 = (x0 , y0 ) 的 某邻域 U(X0 )内有定义. 固定 y = y0 , 在 x0 给 x 以增量 x . 相应函数增量记作 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 z f x x y f x y x = + − 称为 z 在点 X0 处关于 x 的偏增量. 定 义
匚高等数学 如果极限imA2=mCn+△x1)/(x0)存在 △x->0△xAx→>0 △x 则 称这个极限值为z=f(x,y)在(x,yo)处对x的偏 导数记作f(xf(x0,y) ax y=y y=yo 即入f(x,y)=m(+Ax,y)-f(x2,y) Ax→ △x 此时也称f(x,y)在(xo2y0)处对x的偏导数存在否则 称/(xy)在(xy)处对x的偏导数不存在
. ( , ) ( , ) lim lim 0 0 0 0 0 0 如果极限 存在 x f x x y f x y x z x x x + − = → → 则称这个极限值为 z = f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处对 x 的偏 导数. ( , ), 0 0 f x y x 记作 即 x f x x y f x y f x y x x + − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 此时也称 f (x, y)在(x0 , y0 ) 处对x 的偏导数存在. 否则 称f (x, y)在(x0 , y0 ) 处对x的偏导数不存在. , 0 0 y y x x x z = = x f x y x f y y x x = = ( , ) 0 0 0 0 或
匚高等数学 类似若固定x=x而让y变,=f(y减成 为y的一元函数 若极限m△2=m(x+y)-/(x,n)存在 △y->0△x △x 则称它为z=f(x2y)在(x02y)处对y的偏导数 记作 yo) az of 0 或 y=) 甲fr(x0,y0)=li f(o, yo +ay)-f(xo, yo) △y->0 △
类似, 若固定 x = x0 , 而让 y 变, z = f (x0 , y)成 为 y 的一元函数. . ( , ) ( , ) lim lim 0 0 0 0 0 0 若极限 存在 x f x y y f x y x z y y y + − = → → 则称它为z = f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数. y f x y y f y z f x y y y y x x y y x x y = = = = ( , ) ( , ), , 0 0 0 0 0 0 0 0 记作 或 即 y f x y y f x y f x y y y + − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0
匚高等数学 若z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处时x的 偏导数都存在,即x,y)∈D,m(x+△x)-/(x,y) △x→>0 △x 存在此时,它是x,y的二元函数,称为z对x的偏导 函数.简称偏导数 记作(x∞=Ozf(x, ax f(x,y)=li f(x+Ax,y)-f(x, y) △x->0 △x 类似定义z对y的偏导函数
若 z = f (x, y) 在区域 D 内每一点 (x, y) 处时x的 偏导数都存在, 即(x, y)D, x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 存在. 此时, 它是 x, y的二元函数. 称为 z 对 x 的偏导 函数. 简称偏导数. . ( , ) ( , ), , , x f x y x z x z f x y x x 记作 类似定义 z 对 y 的偏导函数. x f x x y f x y f x y x x + − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 即
匚高等数学 注 1.由偏导数定义知,所谓f(x,y)对x的偏导 数,就是将y看作常数,将∫(x,y)看作一元函 数来定义的 因此在实际计算时,求fx(x,y)时,只须将 y看作常数,用一元函数求导公式求即可 求f(x,y时,只须将x看作常数用一元 函数求导公式求即可
1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏导 数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看作一元函 数来定义的. 注 因此,在实际计算时, 求 f 'x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元函数求导公式求即可. 求 f 'y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元 函数求导公式求即可
匚高等数学 2/:(60)/(0是/:(,y)/(xy 在点(ny)的值.算/(0)y(x0)2 可用3种方法 (1)用定义算 (2)先算fx(x,y),,(x,y,再算x(x01) f(x023y0) (3)先算f(x,y),(x0),再算fx(xy) 再算f3(0) f1(xo230)
2.f 'x (x0 , y0 ) 就是 f 'x (x, y) 在点(x0 , y0 )的值. 算 f 'x (x0 , y0 ) 可用3种方法. f 'y (x0 , y0 ) f 'y (x, y) f 'y (x0 , y0 ) (1) 用定义算. (2) 先算 f 'x (x, y), 再算 f 'x (x0 , y0 f ' ) y (x, y), f 'y (x0 , y0 ). (3)先算 f (x, y0 ), 再算 f 'x (x, y0 ) 再算 f 'x (x0 , y0 ) f (x0 , y), f 'y (x0 , y), f 'y (x0 , y0 )
匚高等数学 例1求z=x2+3xy+y2在(1,2)处的偏导数 解: =2x+3y 从而 =2+6=8 Oxx y=2 =3x+2y,从而 =3+4=7 Ovx= 或∫(x,2)=x2+6x+4,f(x,2)=2x+6, 故∫'(l2)=2+6=8
例1. 3 (1, 2) . 求z = x 2 + xy + y 2在 处的偏导数 解: 2 3 , 2 6 8. 2 1 = + = = + = = y x x z x y x z 从而 3 2 , 3 4 7. 2 1 = + = = + = = y y x z x y y z 从而 或 f (x, 2) = x 2 + 6x + 4, f 'x (x, 2) = 2x + 6, 故 f 'x (1, 2) = 2+ 6 = 8
匚高等数学 例2求=x如m2y的偏导数 解: 0z= 2xsin 2 y, ax z =x cos 2y. 2=2x cos 2y
例2. sin 2 . 求z = x2 y的偏导数 解 : 2 xsin 2 y, xz = cos 2 2 2 = x y yz 2x cos 2y 2 =