HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 主、两向量的混和积 1定义2设有三个向量a,B,Y,称a与B的向量积 axB再与向量y的数量积为向量a,By 的混合积,记作[OBy] 即[aBy]=(a×B)·y AO 高等粤
三、两向量的混和积 1.定义2 称 与 的向量积 再与向量 的数量积为向量, , 即 [ ]＝ ( ) 的混合积，记作 [ ] 设有三个向量, ,
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 2.混合积的坐标表示式 设向量a=(a2a1,a)B=(bx,b,b),y=(cx,Cy,CE 则有 j k B x x k b b (a×B)·y= 6. 6 AO 高等粤
则有 设向量 = (ax , ay , az ), = (cx , cy , cz = (b ), x , by , bz ), 2.混合积的坐标表示式 y z y z b b a a = x z x z b b a a − x y x y b b a a i j + k , ( ) y z y z b b a a = x z x z b b a a − x y x y b b a a cx cy + cz , x y z x y z b b b = a a a i j k
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG axB)y=bb, b x 混合积性质: ()[aBr]=[Bya][raBI = -[ayB]=-lBay AO 高等粤
( ) . c c c b b b a a a x y z x y z x y z = 混合积性质： (1) [ ] = [ ]= [ ] = – [ ]= – [ ] = – [ ]
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (2)a,β,Y共面←→[βy]=0 事实上, 若a,β,y在同一个平面上, 则a×β垂直于它们所在的平面, 故α×β垂直于y,即 (×β):Y=0 AO 高等粤
事实上， 若 , , 在同一个平面上， 则 垂直于它们所在的平面， 故 垂直于 , 即 ( ) = 0 (2) , , 共面 [ ]= 0
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 3、混合积(axB),y的几何意义 平行六面体 a·b rjab 底面积S=|a×B 为y在axB上的投影的绝对值 h=p jaxb 所以, V=S.h=|axBl1pg×y1 (a×β)·Y 混合积(α×β)·γ的绝对值等于以α,β,y为棱 的平行六面体的体积的数值。 AO 高等粤
混合积( ) 的绝对值等于以 , , 为棱 的平行六面体的体积 V 的数值。 h 平行六面体 所以， = |( ) | 3、混合积 ( ) 的几何意义 =| | h pij V = S h = | || | pij 底面积 S =| | 高 h 为 在 上的投影的绝对值 a b = |a| Prjab
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例5:已知空间内不在一个平面上的四点 B(x2,y2,z2) C(x3,y3,z3),D( 2 求四面体ABCD的体积。 解:四面体ABCD的体积等于以AB,AC和AD 为棱的平行六面体体积的六分之一, 即=Ab AB=(x2-x1,y2-y1,z2-21 3 1,-3 AD=(x4-x1,y4-y1,z4-21) AO 高等粤
例5:已知空间内不在一个平面上的四点 A (x 1 , y 1 , z 1 ), B ( x 2 , y 2 , z 2 ), C (x 3 , y 3 , z 3 ), D (x 4 , y 4 , z 4 ) 求四面体 ABCD 的体积。 解：四面体 ABCD 的体积等于以 AB, AC 和 AD 为棱的平行六面体体积的六分之一， |[ ]| . 6 1 V = AB AC AD AB = (x2 – x1 , y2 – y1 , z2 – z1 ), AC = (x3 – x1 , y3 – y1 , z3 – z1 ), AD = (x4 – x1 , y4 – y1 , z4 – z1 ), 即
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 所以, y2=y1 =±-x2-x 4 4 其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致 AO 高等粤
所以， V = , , , , , , , 6 1 4 1 4 1 4 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 x x y y z z x x y y z z x x y y z z − − − − − − − − − 其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG §3平面及其方程 平面方程 )平面的点法式方程 1.法向量 若一非零向量n垂直于一平面则称向量n为 平面Ⅰ的法向量 对平面/法向量n不唯 2°平面Ⅰ的法向量n与Ⅰ上任一向量垂直 AO 高等粤
§3 平面及其方程 (一) 平面的点法式方程 1. 法向量: 若一非零向量n垂直于一平面. 则称向量n为 平面 的法向量. 注: 1 对平面, 法向量n不唯一; 2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直. 一、平面方程
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 2.平面的点法式方程 设平面过定点M(xo2y,=0),且有法向量n=(A,B,C 对于平面上任一点M(x,y,z) 向量MM与n垂直 nMoM=O 而MM=(x-x2y-y2z-=0) x 得 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-20)=0(1) 称方程(1)为平面的点法式方程 AO 高等粤
2. 平面的点法式方程 设平面 过定点 M0 (x0 , y0 , z0 ), 且有法向量n=(A,B, C). 对于平面上任一点M(x, y, z), 向量M0M与n垂直. y x z M0 M n O n M0 M = 0 而M0 M =(x − x0 , y − y0 , z − z0 ), 得: A(x − x0 ) +B( y − y0 ) +C( z − z0 ) = 0 称方程(1) 为平面的点法式方程. (1)
HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例1:求过点(2,-3,0)且以n=(1,-2,3)为法向量的 平面的方程 解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为 1·(x-2)-2·(y+3)+3·(z-0)=0 x-2y+3-8=0 AO 高等粤
例1: 求过点(2, −3, 0)且以 n = (1, −2, 3)为法向量的 平面的方程. 解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为: 1 (x − 2) − 2 (y + 3) + 3 (z − 0) = 0 即: x − 2y + 3z − 8 = 0