Chapter 5(6) 微分方程小结 K<DDI
Chapter 5(6) 微分方程小结
内容小结 1.基本概念 微分方程,微分方程的阶,微分方程的解, 初始条件,初值问题 2.线性微分方程解的结构理论 y"+P(x)y+Q(x)y=0(1) 定理1如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个 解,那末y=C1y+C2y2也是(1)的解.(C1,C2是常 数) K
一、内容小结 1．基本概念 微分方程，微分方程的阶，微分方程的解， 初始条件，初值问题 2．线性微分方程解的结构理论 y + P(x) y + Q(x) y = 0 (1) 定理 1 如果函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 是方程(1)的两个 解,那末 1 1 2 2 y = C y + C y 也是(1)的解.（ 1 2 C , C 是常 数）
定理2:如果y;(x)与y2(x)是方程1)的两个线 性无关的特解,那么y=C1y1+C2y2就是方程1) 的通解 定理3设y是二阶非齐次线性方程 y+P(x)y+o(r)y=f() 的一个特解,Y是与(2)对应的齐次方程()的通 解,那么y=Y+y是二阶非齐次线性微分方程(2 的通解
定理 2：如果 ( ) 1 y x 与 ( ) 2 y x 是方程(1)的两个线 性无关的特解, 那么 1 1 2 2 y = C y + C y 就是方程(1) 的通解. 定 理 3 设 * y 是二阶非齐次线性方程 y + P(x) y + Q(x) y = f (x) (2) 的一个特解, Y 是 与(2)对应的齐次方程(1)的 通 解, 那么 * y = Y + y 是二阶非齐次线性微分方程(2) 的通解
定理4设非齐次方程(2)的右端∫(x)是几个函 数之和,如y"+P(x)y+Q(x)y=f(x)+f2(x) 而y与y2分别是方程 y+P(x)y+o(xy=f(x) 解的叠加原理 y+P(x)y+o(x)y=f(x) 的特解,那么y+y2就是原方程的特解 定理5 设1与y2是y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的两个特解 则v1-y2是y"+P(x)y+Q(x)y=0的特解
定 理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函 数之和, 如 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 y + P x y + Q x y = f x + f x 而 * 1 y 与 * 2 y 分别是方程, ( ) ( ) ( ) y + P x y + Q x y = f1 x ( ) ( ) ( ) y + P x y + Q x y = f 2 x 的特解, 那么 * 2 * 1 y + y 就是原方程的特解. 解的叠加原理 ( ) ( ) 0 . ( ) ( ) ( ) , 5. * 2 * 1 * 2 * 1 则 是 的特解 设 与 是 的两个特解 定理 − + + = + + = y y y P x y Q x y y y y P x y Q x y f x
K心 3.一阶微分方程及解法比较 微分方程 解法 y=M(x)N(y) dy_(M(x)d N(y) y=f() 作变量代换u= y=∫( ax+ by+c 令x=X+h,y=Y+k ax+by+Cl y'+P(x)y=e(x)y+e P(x)dx go( Po dx +C y+Px)y=g(x)y2=hP(x2=(1-nQx)
3．一阶微分方程及解法比较 微分方程 解法 y = M(x)N( y) = M x dx N y dy ( ) ( ) ( ) x y y = f x y 作变量代换 u = ( ) 1 1 1 a x b y c ax by c y f + + + + = 令x = X + h, y =Y + k y + P(x) y = Q(x) ( ( ) ) ( ) ( ) y e Q x e dx C P x dx P x dx + = − n y + P(x) y = Q(x) y n z y − = 令 1 z + (1− n)P(x)z = (1− n)Q(x)
P(x, ])dr+O(x, y)dy=0.g_og ay ax 通解为: u(x, y)=P(x, yo)dx+.o(x, y)dy C xo K
x Q y P P x y dx Q x y dy = ( , ) + ( , ) = 0,且 通解为: ( , ) ( , ) ( , ) . 0 0 u x y P x y0 dx Q x y dy C y y x x = + =
4.可降阶微分方程及解法比较 微分方程 解法 ym=f(x)连续积分n次 y=(x,y)令y=D(x则”=m1()=中 dx =f(,y1)令y=p(,则y=p 小y K
4．可降阶微分方程及解法比较 微分方程 解法 ( ) ( ) y f x n = y = f (x, y) dx dp 令y = p(x),则y = p(x) = y = f ( y, y) dy dp 令y = p( y),则y = p 连续积分n次
5.二阶常系数齐次线性微分方程y+p+q=0的解法 特征方程为r2+pr+q=0 特征根的情况通解的表达式 实根≠ y=Ce +c2e2 实根r1=2 y=(C1+C2xe'l 复根n,2=a士iy=e(Ccs+C2sin) 注意推广到n阶微分方程的情形. K心
5．二阶常系数齐次线性微分方程 y + py + qy = 0 的解法 0 2 特征方程为 r + pr + q = 特征根的情况 通解的表达式 1 2 实根r r r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 1 2 实根r = r r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 复根r1,2 = i ( cos sin ) y e C1 x C2 x x = + 注意推广到n阶微分方程的情形
6.二阶常系数非齐次线性微分方程 K心 y"+py2+qy=f(x)的解法 f(x)的形式 特解形式 keten(x) f(=e pm(r) 0,λ不是特征根 k={1,x是特征单根 2,A是特征复根 f(x)=e[P(x)cos ax y*=x lom(x)cos ax +Pn(x)sin ax +em(r)sin ax
6.二阶常系数非齐次线性微分方程 y + py + qy = f (x) 的解法 f (x)的形式 特解形式 f (x) e Pm(x) x = y* x e Qm(x) k x = = 是特征复根 是特征单根 不是特征根 2, 1, 0, k ( )sin ] ( ) [ ( )cos P x x f x e P x x n l x + = ( )sin ] * [ ( )cos (2) (1) Q x x y x e Q x x m m k x + =
7.Euer方程及解法 x y+pix" y(n-l+.+pm,-Ixy'+p,y=f(x) 令x=e或t=lnx化为常系数微分方程 8.微分方程的简单应用 K
7．Euler方程及解法 ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y pn xy pn y f x n n n n + + + − + = − − 令x e 或t ln x化为常系数微分方程. t = = 8．微分方程的简单应用