Chapter 4(5 第二类曲面积分
Chapter 4(5) 第二类曲面积分
教学要求: 1.了解第二类(对坐标的)曲面积分的概念与性质; 2.掌握计算第二类曲面积分的方法; 3.了解两类曲面积分的关系; 4.了解第二类曲面积分的应用 K<DD
教学要求： 1. 了解第二类(对坐标的)曲面积分的概念与性质; 2. 掌握计算第二类曲面积分的方法; 4. 了解第二类曲面积分的应用. 3. 了解两类曲面积分的关系;
一曲面的投影 二实例流量问题) 定义与性质 四.计算方法 五.两类曲面积分的关系 K心
一 .曲面的投影 二.实例(流量问题) 三.定义与性质 四.计算方法 五.两类曲面积分的关系
一曲面的投影 观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面有双侧曲面和单侧曲面 K心
一 .曲面的投影 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面有双侧曲面和单侧曲面
典型的双侧曲面典型的单侧曲面 1sos1 莫比乌斯( Mobius)带 K心
典型的双侧曲面 n 典型的单侧曲面 莫比乌斯(Mobius) 带
曲面的侧是利用曲面上法向量的指向来确定的 取定了法向量或选定了侧的曲面叫做有向曲面 有向曲面的投影的具体规定如下: 设∑是有向曲面△为Σ上一小块曲面在xoy面上的 投影为△S)x,其面积为△a)xy,曲面上各点处法向 量与z轴夹角为y,且cosy不变号则 (△) cy cosy>0 (△S)xy={-(△a cOsy <O ry 0 cOSy=0 K心
曲面的侧是利用曲面上法向量的指向来确定的. 取定了法向量或选定了侧的曲面叫做有向曲面. 有向曲面的投影的具体规定如下： 量 与 轴夹角为 且 不变号 则 投影为 其面积为 曲面上各点处法向 设 是有向曲面 为 上一小块曲面 在 面上的 , cos , ( ) , ( ) , . , z S S xoy x y x y ; 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( ) = − = x y x y S x y
类似地 (Ao)y cosa>0 (△S)z=1-(△o)yzc0sa0 (△S)x2={-(△ xz C0S<0 0 cos B=0 K心
类似地 ; 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( ) = − = yz yz S yz . 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( ) = − = x z x z S x z
二实例流量问题) 设某流体以一定的速度 v=P(x, y, z)i+o(x, y, z)j+R(, v,z)k 从给定曲面的负侧流侧,P,Q,R为连续函数 求单位时间内流经曲酡的总流量Φ Solution 若Σ为平面区域 面积为4,其法向量 n=(cosa, cos B, cosy), 此时q= Av cos(玩,v)=Avn K心
二.实例(流量问题) . , , , , ( , , ) ( , , ) ( , , ) = + + 求单位时间内流经曲面 的总流量 从给定曲面的负侧流向正 侧 为连续函数 设某流体以一定的速度 P Q R P x y z i Q x y z j R x y z k Solution. {cos , cos , cos }, , , = n 面积为A 其法向量 若 为平面区域 A v 0 n A cos( , ) . 此时q = A n = A n
对曲面Σ来说须把它分成n个小片△S,在各小片上把 △S近似看成平面取M1(;,1,5)∈△S,用这点的 v(M1)近似代替流速用n(M)={cosa;,c0s月;,cosy;} 代替△S;上各点处的单位法向量 z△S (51,m25;) K心
( ) , , ( , , ) , , , 近似代替流速 近似看成平面 取 用这点的 对曲面 来 说 须把它分成 个小片 在各小片上把 i i i i i i i i M S M S n S . ( ) {cos , cos , cos } 代 替 上各点处的单位法向量 用 i i i i i S n M = x y z o • Si ( , , ) i i i i v ni
那么AS内的流量近似值为 △①;≈v(Mz)n(Mz)△S (Pcosa; +Ocos Bi+ROSY] )As =P(△S)z+c(△S;)a+R(△s;)xy ①≈∑|P(△S)z+Q(△S)ax+R(AS)y 取=max{△S的直径}, 10;1 K心
那么Si内的流量近似值为 = P i +Q i + R i Si ( cos cos cos ) i Mi n Mi Si ( ) ( ) P Si yz Q Si zx R Si x y = ( ) + ( ) + ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] 1 i yz i zx i x y n i P S + Q S + R S = max{ }, 1 取 i的直径 i n = S lim [ ( ) ( ) ( ) ]. 1 0 i yz i zx i x y n i = P S + Q S + R S → =