Chapter 2 向量与向量空间小结
Chapter 2 向量与向量空间小结
内容小结 向量的概念 直线及方程 向量的线性运算 平面及方程 向量向量的表示法2空间解直线方程的转化 代数]数量积 析几何距离 向量积 平面直线的关系 混合积 投影及公垂线 向量组的线性相关性 3.m维向量组向量组秩与极大无关组 及相关概念 向量空间 Schmidt正交化方法 K
一、内容小结 3. n维向量组 及相关概念 1. 向量 代数 混合积 向量积 数量积 向量的表示法 向量的线性运算 向量的概念 2. 空间解 析几何 投影及公垂线 平面直线的关系 距离 直线方程的转化 平面及方程 直线及方程 Schimidt 正交化方法 向量空间 向量组秩与极大无关组 向量组的线性相关性
内容小结 1.向量代数 向量概念 向量的 向量的 线性运犷 表示法 向量的积 数量积 混合积 向量积
一、内容小结 向量的 线性运算 向量的 表示法 数量积 混合积 向量积 向量的积 向量概念 1. 向量代数
(1)向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量 重要概念 向量的模、单位向量、零向量、 自由向量、相等向量、负向量、 平行向量、向径 K
(1)向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量. 自由向量、 相等向量、 负向量、 向径. 重要概念: 向量的模、单位向量、零向量、 平行向量
(2)向量的线性运算 +b=c 1)加法:a+b=c 日D口 2)减法:a-b=d a-b=d 3)向量与数的乘法 设是一个数,向量与的乘积a规定为 (1)元>0,A与d同向,|n|=2|a (2)=0,An=0 (3)4<0,M与反向,|M科|·|a
1) 加法： a b c + = (2)向量的线性运算 a b d a − = b 2) 减法： a b c + = a b d − = 3) 向量与数的乘法： 设 是一个数，向量a 与 的乘积 a 规定为 (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | = (2) = 0, 0 a = (3) 0, a 与a 反向， | a | | | | a | =
(3)向量的表示法 向量的分解式:a=axi+upj+a2k 在三个坐标轴上的分向量: 向量的坐标表示式:a={ax,anp,a2} 向量的坐标:ax,ay,z 其中axa1,a2分别为向量在x,y,z轴上的投影 向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式 a+b=fax+bx, ay+by,az+bxj (ax +bxi+(av+byj+(az+bz)k K
向量的分解式： { , , } a = ax ay az , , , . 其中ax, ay az 分别为向量在 x y z 轴上的投影 a ax i ay j az k = + + 在三个坐标轴上的分向量： ax i ay j az k , , 向量的坐标表示式： 向量的坐标： ax ay az , , (3)向量的表示法 向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式 { , , } a + b = ax + bx ay + by az + bz ax bx i ay by j az bz k = ( + ) + ( + ) + ( + )
b={ z2-b2} (ax -br)i+( 公 )j+(a2-b2)k na=Mar, nav, naz=(ha +(amn,)j+(1n2)k 向量模长的坐标表示式|aF=ax2+ay2+a2 向量方向余弦的坐标表示式 cosa= 2 cos B 2 2 +,+a a、-+a1n+ cos a+cos B+cosy=1) COSY= 2 ax tay taz a=(cos a, cos B, cos r
{ , , } a − b = ax − bx ay − by az − bz { , , } a = ax ay az ax bx i ay by j az bz k = ( − ) + ( − ) + ( − ) ax i ay j az k = ( ) + ( ) + ( ) 2 2 2 | | a = ax + ay + az 向量模长的坐标表示式 向量方向余弦的坐标表示式 2 2 2 cos x y z x a a a a + + = 2 2 2 cos x y z y a a a a + + = 2 2 2 cos x y z z a a a a + + = ( cos cos cos 1 ) 2 2 2 + + = ( cos ,cos ,cos ) 0 a =
(4)数量积(点积、内积) d·b=‖bcob其中b为与b的夹角 数量积的坐标表达式ab=abx+a1b+ab 两向量夹角余弦的坐标表示式 b、+a,b,+Lb xx zZ coS B= 2 +an,2+an2、b2+b,+b 2 b a、b.+a.b,.+a.b.=0 aB=aPrjaB=BPrjBa
(4)数量积（点积、内积） a b | a || b | cos = 其中 为a 与b 的夹角 a b = axbx + ayby + azbz 数量积的坐标表达式 a b ⊥ axbx + ayby + azbz = 0 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + = 两向量夹角余弦的坐标表示式 Pr Pr . = j = j
(5)向量积(叉积、外积) c|=l‖b|sin其中叛与的夹角 c的方向既垂直于a,又垂直,指向符合右手系 j k 向量积的坐标表达式a×b b b. b ∥b ax月为以a,为邻边的平行四边形的面积
(5)向量积（叉积、外积） | c | | a || b |sin = 其中 为a 与b 的夹角 c 的方向既垂直于a ，又垂直于b ，指向符合右手系. 向量积的坐标表达式 x y z x y z b b b a a a i j k a b = a b // z z y y x x b a b a b a = = 为以, 为邻边的平行四边形的面积.
(6)混合积 (ab)=(a×b)C=bb,b 混合积(a6)是一个数,它的绝对值表示以 向量a,B,y为棱的平行六面体的体积 a,B,面台(cpy)=0 K
(abc) a b c = ( ) x y z x y z x y z c c c b b b a a a = (6)混合积 , , . ( ) , 向量 为棱的平行六面体的体积 混合积 是一个数 它的绝对值表示以 , , ( ) = 0. 共面
