《线性代数》第四章 向量空间（4.1）正交矩阵与正交变换

Chapter 4(1

Chapter 4(1) 正交矩阵与正交变换

教学要求: 1.了解正交变换与正交矩阵的概念以及它们的 性质 K心D

教学要求： 1. 了解正交变换与正交矩阵的概念以及它们的 性质

A 正交矩阵的定义与性质 二正交变换 K心[

一 .正交矩阵的定义与性质 二.正交变换

正交矩阵的定义与性质 1.定义 若m阶方阵A满足AA=E,则称A为正交矩阵 2.性质 (1)A=士1;(:AA=E,AA=1,42=1 (2)A,B为正交矩阵,则AB也是正交矩阵; ((AB)(AB)=B(AA)B=BB=E. (3)A是正交矩阵分A1=A;(:AA=E) (4)A是正交矩阵台A也是正交矩阵; ((A)A=AA=AA=E

一 .正交矩阵的定义与性质 1. 定义 若n阶方阵 A满足 AA = E,则称 A为正交矩阵. 2. 性质 (1) A = 1; ( , 1, 1.) 2  AA = E AA = A = (2) A, B为正交矩阵,则AB也是正交矩阵; ((AB)(AB) = B(AA)B = BB = E.) (3) ; 1 A  A = A 是正交矩阵 − ( AA = E.) (4) A是正交矩阵  A也是正交矩阵; ( ( ) .) 1 A A = AA = AA = E − 

(5)方阵A是正交矩阵台 A的列行向量组是正交的单位向量组 Proof 12 n 设A= 21 22 n 102 1n2 n 11 21 则A= 1222 n2 n n nn

( ) . (5) 的列 行 向量组是正交的单位向量组 方阵 是正交矩阵 A A  Proof.             = n n nn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 设 ( , , , ) = 1 2  n              = n n nn n n a a a a a a a a a A        1 2 12 22 2 11 21 1 则                = n    2 1

∵A'A=E分 1902 bipa] 81,a2)aan yai, an) (%@1 24%2,a2)aiana2: an) E bha, en,a2)aian an,an) 今(a, 0,i≠

 AA = E ( n ) E n =                       , , , 1 2 2 1   E n n n n n n =                                                1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 E n n n n n n =              ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1                          ( , 1,2, , ). 0, 1, ( , ) i j n i j i j i j =      =    =

ex1.下列矩阵是不是正交矩阵: 2 1-21-20 2 304 (1)66 6 ,(2) 12 20 23 2 2 不是 3 6 是 Solution K

ex1. 下列矩阵是不是正交矩阵： , 6 2 2 2 3 2 3 2 0 0 2 1 2 1 6 5 2 1 6 1 6 1 2 1 2 1 2 1 2 1 (1)                     − − − − . 2 0 1 1 1 2 3 0 4 (2)           Solution. 是 不是

ex2若A为正交矩阵则A也是正交矩阵 Proof.∵:A为正交矩阵,A1=A,4=士1 又A=AA1=AA *=(AA-IAA (4A)44 =AAAA A2A4-1 E

2. , . ex 若A为正交矩阵则A *也是正交矩阵 Proof.  A为正交矩阵, , 1. 1  =  =  − A A A * −1 又 A = A A ( ) * * 1 1 ( ) − −   A A = A A A A = A A , ( )  −1 = A A A A −1 = A A A A 2 −1 = A AA = E

ex3求以a1=(1,1,1,1),a2=(1,1,-1,-1) 图心酬 为前两列的正交矩阵 Method1取ax3=(1,0,0,0),a4=(0,0,0,1 显然a1,a2,a3,a4线性无关 正交化,取月1=a1=(1,1,1,1) 则2=a2-(a,B1) B1=(1,1,-1,-1), (B1,月1 (a3,月 (a3,月2 B:=a3-(B,B)m,3B2=2”2,0) BA=6e(d4, R 1 2)(a4,/3) 42月2 04 (A2p1)(B2,B2)(63,B3 3

. 3. (1,1,1,1) , (1,1, 1, 1) 1 2 为前两列的正交矩阵 ex 求以 =   = − −  Method1. (1,0,0,0) , (0,0,0,1) 3 4 取 =   =  , , , . 显然1 2 3 4线性无关 正交化, (1,1,1,1) , 1 1 取 =  =  ( , ) ( , ) 1 1 1 2 1 2 2      则 =  − = (1,1,−1,−1) , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 3            =  − − ,0,0), 2 1 , 2 1 = ( − ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 3 3 3 4 3 2 2 2 4 2 1 1 1 4 1 4 4                 =  − ). − − 2 1 , 2 1 (0,0, 4 = −

单位化,D1= 2222 2222 2√2 22 ,0,0),P4=(0,0 2 22 P 2 2 0 22 22

单位化, ) , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 ( 1p =  ) , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 ( 2 p = − −  ,0,0) , 2 2 , 2 2 ( 3 p = −  ) . 2 2 , 2 2 (0,0, 4 p = −  . 2 2 0 2 1 2 1 2 2 0 2 1 2 1 0 2 2 2 1 2 1 0 2 2 2 1 2 1                     − − − − P =