条件分布率 、条件分布 设(,)的联合分布律为: P5=x1,=y}=p(,j)i,j=1,2 若P{=y}>0,则在事件=%}发生的条件 下事件{=x}÷1,2,发生的条件概率为 P P{5=x1=y;}=i=1,2,,() P 电子科技大学4U
电子科技大学 条件分布率 设(ξ, η)的联合分布律为: P{ = x , = y } = p(i, j) i, j = 1,2,.... i j 若P {η=yj }>0, 则在事件{η=yj } 发生的条件 下事件{ξ=xi } i= 1,2,.. 发生的条件概率为 { } 1,2,.... (*) . = = = i = p p P x y j i j i j 二、条件分布
条件分布率 此概率数列具有分布律的性质: 1)P{=x1=y}≥0i=1,2, o 2)∑P=x=y}=1现实 1 称()为在=y的条件下随机变量ξ的条件分 布律 乘法 ()式可以等价地改写为 公式 P=x,=}=P=P5=x=y 电子科技大学4U
电子科技大学 条件分布率 1) P{ = x = y } 0 i = 1,2,.... i j 此概率数列具有分布律的性质: 2) { } 1 1 = = = + i= i j P x y 称(*)为在η=yj的条件下,随机变量ξ 的条件分 布律. (*)式可以等价地改写为 { , } { } { }, i j j i j P = x = y = P = y P = x = y (i, j = 1,2,....). 现实 乘法 公式
条件分布率 例射击问题矿山事故问题 思考定义连续性随机变量的条件分布会遇到 什么问题? 定义233给定x∈R,对任意>0,B>0有 P{x-a≤"0 且对任意y∈R,极限 Jm.P{≤yx-a≤50 电子科技大学4U
电子科技大学 条件分布率 射击问题 矿山事故问题 思考 定义连续性随机变量的条件分布会遇到 什么问题？ 定义2.3.3 给定 xR , 对任意 > 0，β > 0有 P{ x - α η 0 lim { } , 0 - + → + P y x x 且对任意y R , 极限 例
条件分布率 F(x+B,y)-F(x-a,p)y是自变量 a,B)0+F(x+B,)-F(x-a,)x是固定值 存在称此极限函数为在ξ=x的条件下随机变 量的条件分布函数记作Fn(yx) 若(,)是连续型随机变量且满足fx,y,f(x) 在(xy附近连续且f(x)>0则有 f(x,ν)hyf(x,v)dhy Fns(xl f(x, v)dv f=(x)
电子科技大学 条件分布率 存在,称此极限函数为在ξ= x的条件下,随机变 量ξ的条件分布函数.记作 Fη|ξ(y |x). ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim , 0 + - - + - - = → + F x F x F x y F x y 若(ξ,η)是连续型随机变量,且满足f(x, y), fξ (x) 在(x, y)附近连续,且 fξ (x) >0 则有 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) f x f x v dv f x v dv f x v dv F x y y y - - - = = y是自变量 x是固定值
条件分布率 称 nIs(vlr)= f(a,y 15 为在ξ=x的条件下随机变量y的条件概率密度 同理在=y的条件下随机变量条件概率密度 为 fEn(xly)=FEn(y) f(x, y (y) 条件分布与一般分布具有几乎相同的概率性质, 例如 F 15 75
电子科技大学 条件分布率 ( ) ( , ) ( ) ( ) f x f x y f y x F y x 称 = = 为在ξ=x 的条件下随机变量η的条件概率密度. 同理在η=y 的条件下随机变量ξ的条件概率密度 为 ( ) ( , ) ( ) ( ) f y f x y f x y F x y = = 条件分布与一般分布具有几乎相同的概率性质, 例如： - = x F ( y x) f (v x)dv
条件分布率 +OO fme(vx)dv=1 在“-c”的条件下,随机事件{as<b}的 条件概率为 b P{a≤n<b5=e}=!mn(v)h 条件密度例条件概率计算例 问题能否给出随机变量与相互独立的 另一等价条件? 电子科技大学4U
电子科技大学 条件分布率 在“ξ=c”的条件下，随机事件{a ≤η＜ b} 的 条件概率为 条件密度例 ( ) = 1 + - f v x dv 条件概率计算 问题你能否给出随机变量ξ 与η 相互独立的 另一等价条件？ = = b a P{a b c} f (v c)dv 例
条件分布率 与与7相互独立台Fn(xy=F4(x) 对所有(x,y)∈R成立 与m相互独立兮P{=x=y}=P=x} 对所有(x,y)成立 与与相互独立fn(xy)=f(x) 几乎处处成立
电子科技大学 条件分布率 F x y F (x), 与相互独立 （ ）= 对所有(x, y)∈R2成立. { } { }, i j i 与相互独立 P = x = y = P = x 对所有（ , ）成立. i j x y f (x y) f (x) 与 相互独立 = 几乎处处成立
条件分布率 例1某射手进行射击,击中目标两次则停止 射击每次的命中率为(0
电子科技大学 条件分布率 P{ξ= i,η=j}= p 2 (1－p) j－2 , ( 1≤i＜j＝2,3, …) 解 1 2 … i … j 例1 某射手进行射击，击中目标两次则停止 射击, 每次的命中率为p (0＜p＜1), 令ξ 表示第一 次命中目标的射击次数，令ξ表示第二次命中目 标的射击次数，求条件分布律 P{ξ=i η=j }
条件分布率 P==∑P5=,==∑P2(1-p)2 =(-1)p2(1-p)y2,(=2,3,) 当j=2,3,时,条件分布律存在 P===P{=i,=}/Pm= =p2(1-p)2/-1)p2(1-p)y2 (=1,2,…,j-1 电子科技大学4
电子科技大学 条件分布率 当 j＝2, 3, …时，条件分布律存在 - = - - = = = = = = - 1 1 2 2 1 1 { } { , } (1 ) j i j j i P j P i j p p ( 1) (1 ) , ( 2,3, ) = j - p 2 - p j-2 j = P{ = i = j} = P{ = i, = j}/ P{ = j} 2 2 2 2 (1 ) /( 1) (1 ) - - = - - - j j p p j p p , ( 1,2, , 1) 1 1 = - - = i j j
条件分布率 例2某矿山一年内发生的事故总数~P(), 个事故是致命的概率为(0<p<1),设一年内发 生致命事故的次数为n,试写出y的分布律 解已知 P{5=k}=,,e - (k=0,1,2,…) ! 在发生k次事故的条件下即{=已发生), 的条件分布律为 P=ml=k}=Cp”1-p)m,(m=0,2,…,k) 电子科技大学4
电子科技大学 条件分布率 例2 某矿山一年内发生的事故总数ξ～P(λ)， 一 个事故是致命的概率为p (0＜p＜1)，设一年内发 生致命事故的次数为η, 试写出η的分布律. 解 已知 在发生 k 次事故的条件下(即{ξ=k}已发生)，η 的条件分布律为 , ( 0,1,2, ) ! { = } = e - k = k P k k P{ m k} C p (1 p) , (m 0,1,2, ,k) m m k m = = = k - - =