随机变量的数字特征 §3.5条件数学期望与方差 条件数学期望概念引例 定义351设(,)是二维随机变量条件分布函 数Fn(y或 5|7 (x在,若 Q ydFn(yx)<o或 y sn(xly)<∞ 则E(|x)=E(n5=x)- +oO ydFns(vx) 称为在ξ=x的条件下,随机变量猫条件数学 期望. 电子科技大学
随机变量的数字特征 电子科技大学 一、 条件数学期望概念 引例 F ( y x) F ( x y) 定义3.5.1 设(ξ,η)是二维随机变量,条件分布函 数 或 存在，若 y dF ( y x) 或 x dF (x y) 则 E( x) E( x) ˆ y dF ( y x) 称为在ξ=x的条件下,随机变量ξ的条件数学 期望
随机变量的数字特征 +oO E(S y)=E(Sn=y)=x dFEn(xy) 是在n=y的条件下,随机变量ξ的条件数学期望 若(ξ,)是连续型随机变量,则 E(x)=」mn2(x)d, E()=」ytn(xM 例3.6.1 例3.62 例3.63 电子科技大学
随机变量的数字特征 电子科技大学 则 E( y) E( y) ˆ x dF (x y) 是在η=y的条件下,随机变量ξ的条件数学期望. 若(ξ,η)是连续型随机变量,则 ( ) ( ) , E x yf y x dy E y xf x y dx ( ) ( ) 例3.6.1 例3.6.2 例3.6.3
随机变量的数字特征 注一般有 E05=)=以(.B(57=)=60 2关于y的 定理351设函数g(x)在R上连续,若 归函数 co 1g (x )dFEln(xy)<+oo 则随机变量g()在“n=y”条件下的条件数期望为 Elg(5)n=y1=[8(x)dFEn (xy) 同理Eg()与=x=(p)Fm(x) 电子大
随机变量的数字特征 电子科技大学 一般有 E( x) μ(x), E( y) δ(y). 注 ξ关于η的 回归函数 定理3.5.1 设函数g(x)在R上连续,若 g( x) dF ( x y) 则随机变量g(ξ)在“η=y”条件下的条件数期望为 E[g( ) y] g( x)dF ( x y) 同理 E[g() x] g( y)dF ( y x)
随机变量的数字特征 注E(n=x)=(x),E(引7=y)=0() 是实值函数可以证明随机变量的函数 6(n)=E(5im,(5)=E(m75, 仍是随机变量 有随机变量 的概率性质 定理352设,,是(,P)上的随机变 量,g()为R上连续函数,且各数学期望存在有 以下性质: 电子科技大学
随机变量的数字特征 电子科技大学 是实值函数,可以证明随机变量的函数 δ() E( ), μ( ) E( ), 仍是随机变量. 有随机变量 的概率性质. E( x) (x), E( y) δ( y). 定理3.5.2 设ξ,η,ζ是(Ω,F, P)上的随机变 量,g(·)为R上连续函数,且各数学期望存在.有 以下性质： 注
随机变量的数字特征 1)如果与相互独立,则E(5m)=E(5); 证:与相互独立 →Fn(xy)=F(x,∈R →对v∈R,E()=Jxt(x) xdFE(x)=E(s), →E(5m)=E(5) 2)(=AE(4全数学期望公式 证:F(x,y)=F2(y)F2(x)
随机变量的数字特征 电子科技大学 1) 如果ξ与η相互独立,则 E() E(); F (x y) F (x), y R. 证:ξ与η相互独立, y R, E( y) xdF (x y) 对 ( ) ( ), xdF x E E( ) E( ). 2) E( ) E[E( )]; F(x, y) F ( y)F (x y) 证 全数学期望公式
随机变量的数字特征 E(EISm)=EI5yldf,() =「"u「xdF2(xy)F(y) +0+0 I xldFsin(xy MFy(y) xIF(x,y)=E引 3)E|g(7)7|=g(7)E|57k 证对vy∈R 电子科技大
随机变量的数字特征 电子科技大学 [ xdF (x y)]dF ( y) Y E{E[ ]} E[ y]dF ( y) x[dF (x y)dF ( y)] Y xdF(x, y)E[]. 3) E[ g( ) ] g( )E[ ]; 证 对y R
随机变量的数字特征 +0 Elg(n)5n=y]= g(y).xdFEln(xy g(y rdFs(xp)=g(D)E(sly) →E|g(m)5m=g(m)E|5m; AE()引1=E7),E(n刀 证用全数学期望公式2)以及3) Elg(n).5|=E(Elg(n).snIB Eg(7),E(7 电子科技大学
随机变量的数字特征 电子科技大学 E[g( ) y] g( y) xdF (x y) g( y) xdF (x y) g( y)E( y) E[ g( ) ] g( )E[ ]; 4) E[g() ] E[g() E( )]. 证 用全数学期望公式2）以及3） [ ( ) ( )]. [ ( ) ] { [ ( ) ]} E g E E g E E g
随机变量的数字特征 5)E(cn)=c,c是常数; 证对vy,E(en=y)=cdan(x)=c, E(cn)=c 6)EIg()=EEIg()nlb 证根据性质3) EEIg(n).In1)=EIg(n).E(n)]=EIg(n) 7)Ea+bn5=0E()+bE(On5)b是常数 自证 电子科技大学
随机变量的数字特征 电子科技大学 5) E ( c ) c , c 是常数; E(c y) cdF (x y) c, 证 对 y , E(c) c. 6) E[g()] E{E[g()]}； 证 根据性质3） E{E[g()1]} E[g() E(1)] E[g()] 7) E[a b ] aE( ) bE( ),a,b是常数； 自证
随机变量的数字特征 8)E15-E(5m2≤E5-g(n)自学p234 定义3.5.2称 D(5n=D)=EIS-E(5n=y) 为“y=y”的条件下,随机变量ξ的条件方差 注为随机变量相对于条件数学期望 E(57=y 的偏离程度的衡量指标 电子科技大学
随机变量的数字特征 电子科技大学 8) [ ( )] [ ( )] . 2 2 E E E g 自学p234 定义3.5.2 称 2 D( y) E[ E( y)] 为“η=y”的条件下,随机变量ξ的条件方差. 为随机变量ξ 相对于条件数学期望 E( y) 注 的偏离程度的衡量指标
随机变量的数字特征 离散型全数学期望公式 若是离散型随机变量: P=yk}=p,(k=12,文 =1 记4=仞=Jk,E(54)=E(7=yk 则有E(5)=∑E(54)P(4) 例364 例3.6.5 电子科技大
随机变量的数字特征 电子科技大学 离散型全数学期望公式 若η是离散型随机变量： 1 { } ,( 1,2, 1, k k k k P y p k ), p { }, ( ) ( ), k k k k 记 A y E A E y ( ) ( ) ( ). 1 k 则有 E E Ak P Ak 例3.6.4 例3.6.5